เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน

เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation Calculator) ใช้สำหรับคำนวณจำนวนวิธีที่คุณสามารถจัดเรียงวัตถุที่แตกต่างกันจำนวน n ชิ้น โดยเลือกมาจัดเรียงครั้งละ r ชิ้น เครื่องมือนี้จะช่วยหาจำนวนรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการจัดกลุ่มวัตถุ โดยให้ความสำคัญกับ "ลำดับของการจัดเรียง" ตัวแปร n จะแทนจำนวนวัตถุทั้งหมดที่มี ในขณะที่ r จะแทนจำนวนองค์ประกอบที่ถูกเลือกมาในแต่ละกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการจัดเรียงตัวอักษร XYZ เป็นกลุ่ม กลุ่มละ 2 ตัว คุณจะได้รูปแบบการจัดเรียงทั้งหมด 6 วิธี ได้แก่ XY, XZ, YZ, YX, ZX และ ZY

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้ เพียงแค่ป้อนค่า n (จำนวนวัตถุทั้งหมดที่จะจัดเรียง) และค่า r (จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการเลือกมาในแต่ละกลุ่ม) จากนั้นคลิกปุ่ม "คำนวณ" เพื่อดูผลลัพธ์ที่รวดเร็วและแม่นยำ

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

การเรียงสับเปลี่ยนของเซตคือการจัดเรียงสมาชิกโดยคำนึงถึงตำแหน่ง หรือ "ลำดับ" อย่างชัดเจน สำหรับคณิตศาสตร์เรื่องการเรียงสับเปลี่ยน ลำดับของสมาชิกถือเป็นสิ่งสำคัญที่สุด ตัวอย่างเช่น การจัดเรียงเป็น AB และ BA จะถูกนับเป็นการเรียงสับเปลี่ยน 2 วิธีที่แตกต่างกัน จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้น โดยเลือกมาจัดเรียงครั้งละ r ชิ้น จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ nPr

การคำนวณจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุที่ถูกนำมาจัดเรียง และเงื่อนไขว่าอนุญาตให้ใช้ซ้ำได้หรือไม่ ในบทความนี้ หากไม่มีการระบุเป็นอย่างอื่น เราจะถือว่าเป็นการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนแบบ ไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ (Without Replacement)

การเรียงสับเปลี่ยนทำงานตาม กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Counting Principle) ซึ่งระบุว่า หากการทดลองสุ่มประกอบด้วยเหตุการณ์ย่อย k เหตุการณ์ โดยเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นได้ n₁ วิธี เหตุการณ์ที่สองเกิดขึ้นได้ n₂ วิธี ไปเรื่อยๆ จนถึงเหตุการณ์ที่ k เกิดขึ้นได้ nₖ วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นต่อเนื่องกันจะเท่ากับผลคูณของจำนวนวิธีในแต่ละเหตุการณ์ นั่นคือ n₁ × n₂ × ... × nₖ

สมมติว่าเราต้องการทราบจำนวนวิธีในการจัดเรียงตัวอักษร ABC โดยไม่มีการใช้ตัวอักษรซ้ำ ตำแหน่งแรกสามารถเป็นตัวอักษรใดก็ได้ จึงเลือกได้ 3 วิธี

เมื่อตั้งค่าตำแหน่งแรกแล้ว จะเหลือตัวอักษรอีกสองตัวให้เลือกสำหรับตำแหน่งที่สอง ดังนั้น ตำแหน่งที่สองจึงเลือกได้ 2 วิธี และเมื่อตั้งค่าตำแหน่งที่สองแล้ว จะเหลือตัวอักษรเพียงตัวเดียวเท่านั้นสำหรับตำแหน่งที่สาม ซึ่งแปลว่าเลือกได้เพียง 1 วิธี

ดังนั้น ตามกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จำนวนวิธีจัดเรียงตัวอักษร ABC จึงมีทั้งหมด 3 × 2 × 1 = 6 วิธี ซึ่งได้แก่ ABC, ACB, BCA, BAC, CAB และ CBA

แฟกทอเรียล (Factorial)

จากตัวอย่างข้างต้น เราจะเห็นว่าจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ 3 ชิ้นที่แตกต่างกัน หาได้จาก 3 × 2 × 1 = 6 โดยทั่วไปแล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้นทั้งหมด จะสามารถหาได้จาก n × (n-1) × (n-2) × ... × 1

นั่นคือการคูณจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งแต่ n ลดหลั่นลงไปจนถึง 1 การคูณทางคณิตศาสตร์ในลักษณะนี้เรียกว่า แฟกทอเรียล (Factorial) และเขียนแทนด้วยเครื่องหมายอัศเจรีย์ (!)

ดังนั้น n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 ซึ่งจะอ่านว่า "เอ็นแฟกทอเรียล"

ทั้งนี้ โปรดทราบว่ามีกฎเกณฑ์พิเศษทางคณิตศาสตร์คือ 0! = 1 และ 1! = 1

ตัวอย่างของการเรียงสับเปลี่ยน

ลู่วิ่งมาตรฐานสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกมักจะมี 9 เลน อย่างไรก็ตาม สำหรับการแข่งขันวิ่ง 100 เมตร มักจะไม่ใช้งานเลนที่ 1 ทำให้นักวิ่งทั้ง 8 คนจะถูกจัดให้อยู่ในเลนที่ 2 ถึง 9 คำถามคือ เราสามารถจัดตำแหน่งนักวิ่ง 8 คนลงในเลนที่ 2 ถึง 9 ได้ทั้งหมดกี่วิธี?

ตามกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ:

• นักวิ่ง 1 คนจาก 8 คน จะถูกจัดให้เข้าเลนที่ 2 (เลือกได้ 8 วิธี)
• นักวิ่งที่เหลืออีก 7 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 3 (เลือกได้ 7 วิธี)
• นักวิ่งที่เหลืออีก 6 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 4
• นักวิ่งที่เหลืออีก 5 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 5
• นักวิ่งที่เหลืออีก 4 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 6
• นักวิ่งที่เหลืออีก 3 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 7
• นักวิ่งที่เหลืออีก 2 คน สามารถจัดให้เข้าเลนที่ 8
• นักวิ่งที่เหลือเพียง 1 คนสุดท้าย จะได้วิ่งในเลนที่ 9

ดังนั้น รูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการจัดนักวิ่ง 8 คนลงในลู่วิ่งทั้ง 8 เลน คือ 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 วิธี

หากคุณใช้งานเครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน ให้ป้อนเลข 8 ลงในช่อง n (วัตถุทั้งหมด) และช่อง r (ตัวอย่างที่เลือก) จากนั้นคลิกคำนวณ เพื่อให้ระบบประมวลผลคำตอบ 40,320 ได้อย่างรวดเร็ว

การเรียงสับเปลี่ยนของเซตย่อย

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราได้พิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนโดยนำวัตถุ "ทั้งหมด" มาจัดเรียง อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์จริงมักมีกรณีที่เราต้องการเลือกวัตถุเพียง "บางส่วน" มาจัดเป็นกลุ่มย่อย

ในกรณีดังกล่าว จำนวนวัตถุทั้งหมดจะแทนด้วยตัวแปร n และจำนวนวัตถุที่ถูกเลือกมาในกลุ่มย่อยจะแทนด้วย r โดยสูตรสำหรับการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนคือ:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

สูตรนี้ใช้ในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนแบบไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ และใช้เมื่อเราจำเป็นต้องจัดเรียงโดยให้ความสำคัญกับตำแหน่งหรือลำดับอย่างชัดเจน โดยเลือกมาครั้งละ r ชิ้น จากเซตทั้งหมด n ชิ้น

แต่หากเราต้องการคำนวณหาจำนวนรูปแบบที่เราสามารถจัดเรียงองค์ประกอบ "ทั้งหมด" ของเซตตามลำดับที่แน่นอนและไม่มีการทำซ้ำ เราสามารถใช้สูตรนี้แทนได้:

$$ₙPᵣ=n!$$

ตัวอย่างการใช้งานสูตร

ย้อนกลับไปในตัวอย่างการแข่งขันวิ่ง 100 เมตรที่มีนักวิ่ง 8 คน สมมติว่าในการแข่งขันนี้มีเหรียญรางวัลเพียง 3 เหรียญ ได้แก่ เหรียญทองสำหรับผู้ชนะอันดับที่หนึ่ง เหรียญเงินและเหรียญทองแดงสำหรับนักวิ่งอันดับที่สองและสามตามลำดับ คำถามคือ จากนักวิ่ง 8 คนนี้ จะสามารถเกิดผลลัพธ์ในการรับเหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดงได้ทั้งหมดกี่วิธี?

ตามกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ นักวิ่ง 1 คนจากทั้งหมด 8 คน สามารถเข้าเส้นชัยรับตำแหน่งที่หนึ่งได้ หลังจากตำแหน่งแรกถูกเติมเต็ม จะเหลือนักวิ่งเจ็ดคนเพื่อแข่งขันชิงตำแหน่งที่สอง และหลังจากตำแหน่งที่สอง จะเหลือนักวิ่งหกคนที่ชิงตำแหน่งที่สาม ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตำแหน่งที่หนึ่งถึงที่สามจากนักวิ่ง 8 คนคือ: 8 × 7 × 6 = 336 วิธี

หากเราคำนวณโดยใช้สูตร:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

และในเครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนออนไลน์ของเรา เพียงกรอกเลข 8 ลงในช่อง n (วัตถุ) และ 3 ในช่อง r (ตัวอย่าง) แล้วคลิก "คำนวณ" คุณก็จะได้ผลลัพธ์คือ 336 อย่างแม่นยำ

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) และ การจัดหมู่ (Combination): ความแตกต่าง

เทคนิคการนับที่สำคัญอีกประเภทหนึ่งในทางคณิตศาสตร์คือ การจัดหมู่ (Combination) ซึ่งคือวิธีการเลือกวัตถุจำนวน r ชิ้น ออกมาจากกลุ่มวัตถุจำนวนทั้งหมด n ชิ้น จำนวนวิธีในการจัดหมู่ของวัตถุ r ชิ้น จาก n ชิ้น จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ₙCᵣ

ในนิยามของการเรียงสับเปลี่ยน เราได้กล่าวไปแล้วว่าลำดับของการจัดเรียงถือเป็นสิ่งสำคัญ จุดนี้เองคือความแตกต่างหลัก เพราะ ในการจัดหมู่ ลำดับของการจัดเรียงไม่มีความสำคัญ

ตัวอย่างเช่น เราระบุว่าการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร XYZ เป็นกลุ่ม กลุ่มละ 2 ตัว จะได้รูปแบบที่แตกต่างกัน 6 วิธี คือ XY, XZ, YZ, YX, ZX และ ZY

อย่างไรก็ตาม หากเป็นการจัดหมู่ตัวอักษร XYZ เป็นกลุ่ม กลุ่มละ 2 ตัว จะนับได้เพียง 3 รูปแบบเท่านั้น คือ XY, XZ และ YZ เนื่องจากในการจัดหมู่ เราจะถือว่า XY และ YX คือกลุ่มเดียวกัน เช่นเดียวกับ XZ และ ZX รวมไปถึง YZ และ ZY ดังนั้น ลำดับก่อนหลังจึงไม่ถูกนำมาคิดคำนวณในการจัดหมู่

สูตรสำหรับคำนวณจำนวนวิธีในการจัดหมู่ของวัตถุ r ชิ้น จากทั้งหมด n ชิ้น คือ:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

ตัวอย่างการคำนวณการจัดหมู่ (Combination)

จากตัวอย่างนักวิ่ง 8 คนข้างต้น เราได้หาจำนวนวิธีที่สามารถเลือกผู้ชนะอันดับที่ 1, 2 และ 3 ไปแล้ว คราวนี้สมมติว่าเราเพียงแค่ต้องการทราบจำนวนวิธีที่จะเลือกผู้ชนะ 3 คน จากกลุ่มนักวิ่ง 8 คน โดยไม่ต้องคำนึงถึงอันดับของพวกเขา ไม่สำคัญว่าใครจะได้ที่ 1, 2 หรือ 3 ขอเพียงแค่เป็นคนที่ได้รับเหรียญรางวัลก็พอ

ในกรณีนี้ เราจะต้องใช้หลักการจัดหมู่ (Combination) เนื่องจากลำดับของเหรียญรางวัลไม่สำคัญ เราจึงคำนวณแก้ปัญหานี้ด้วยสูตรการจัดหมู่:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

จำนวนวิธีที่เราสามารถเลือกผู้ได้รับรางวัล 3 คน จากนักวิ่งทั้งหมด 8 คน คือ:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

ตัวอย่างการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนเพิ่มเติม

1. โปรดิวเซอร์รายการข่าวต้องการเลือกวิทยากรรับเชิญ 3 คน จากทั้งหมด 5 คน เพื่อมาร่วมรายการวิเคราะห์ข่าว โดยลำดับการนำเสนอของวิทยากรแต่ละคนถือเป็นสิ่งสำคัญ โปรดิวเซอร์จะสามารถจัดลำดับคิวของวิทยากรได้ทั้งหมดกี่วิธี? กรณีนี้ ลำดับเป็นสิ่งสำคัญและจะไม่มีการทำซ้ำ เนื่องจากวิทยากรคนเดียวกันไม่สามารถออกรายการสองรอบในคิวที่ต่างกันได้ ดังนั้น เราจึงสามารถใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนได้:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่าโปรดิวเซอร์มีวิธีจัดลำดับวิทยากรได้แตกต่างกันถึง 60 วิธี

2. นักวิจารณ์อาหารได้คัดเลือกร้านซูชิชั้นเยี่ยม 10 แห่งในเมือง เพื่อนำมาจัดอันดับสุดยอดร้านซูชิ 3 อันดับแรก โดยร้านจะต้องถูกนำเสนอตามลำดับอันดับที่จัดไว้ และแน่นอนว่าร้านเดียวกันไม่สามารถปรากฏในการจัดอันดับได้หลายครั้ง เงื่อนไขนี้จึงตรงกับหลักการเรียงสับเปลี่ยน คือลำดับมีความสำคัญและไม่ควรมีการทำซ้ำ เราจึงคำนวณด้วยสูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

แสดงว่านักวิจารณ์สามารถจัดอันดับร้านซูชิได้มากถึง 720 รูปแบบ

3. เมื่อเราบอกว่า "ลำดับมีความสำคัญ" สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ไม่ได้หมายความว่าลำดับนั้นจะต้องเป็นแค่ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 หรือตัวเลขอื่นๆ เสมอไป ลำดับอาจอยู่ในรูปแบบของการจับคู่จัดสรรสมาชิกเข้ากับสถานที่หรือวัตถุเฉพาะเจาะจงก็ได้

ตัวอย่างเช่น ผู้จัดการบริษัทรับเหมาซ่อมแซมบ้าน วันนี้เขามีคิวงานทาสี 4 สถานที่ ได้แก่ สำนักงานตัวแทนวีซ่า, โกดังโรงงาน, ร้านขายเสื้อผ้า และห้องในบ้านส่วนตัว บริษัทมีช่างทาสี 6 คน ช่างแต่ละคนสามารถไปทำงานได้เพียง 1 สถานที่ต่อวัน และช่างอีก 2 คนที่เหลือจะได้หยุดพัก

สถานที่ทั้ง 4 แห่งนี้ (สำนักงานตัวแทนวีซ่า, โกดังโรงงาน, ร้านขายเสื้อผ้า และห้องในบ้านส่วนตัว) ก็เปรียบเสมือนตำแหน่งที่ 1, 2, 3 และ 4

ผู้จัดการจะมีตัวเลือกดังนี้:

• มีช่างทาสี 6 คน ที่สามารถเลือกมอบหมายให้ไปสำนักงานตัวแทนวีซ่า
• เหลือช่างทาสี 5 คน ที่สามารถเลือกมอบหมายให้ไปโกดังโรงงาน
• เหลือช่างทาสี 4 คน ที่สามารถเลือกมอบหมายให้ไปร้านขายเสื้อผ้า
• เหลือช่างทาสี 3 คน ที่สามารถเลือกมอบหมายให้ไปห้องในบ้านส่วนตัว

ตามสัญชาตญาณ เราสามารถอธิบายจำนวนวิธีทั้งหมดได้เป็น 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วิธี

เราจะเห็นเงื่อนไขว่าลำดับในการกระจายช่างทาสีไปยังสถานที่ต่างๆ มีความสำคัญ และไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ (กล่าวคือ ช่างทาสีไม่สามารถรับงานมากกว่าหนึ่งที่ในวันเดียวกันได้) เราจึงสามารถใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนได้อย่างสมบูรณ์:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

ปรากฎว่ามีถึง 360 วิธีที่แตกต่างกัน ที่ผู้จัดการบริษัทสามารถจัดสรรสถานที่ให้กับช่างทาสีที่มีอยู่ตามเงื่อนไขที่กำหนด