Calculadora de Permutações

A calculadora de permutações é a ferramenta ideal para descobrir de quantas maneiras diferentes você pode organizar n objetos distintos, selecionando uma amostra de r elementos por vez. Na análise combinatória, ela revela o número exato de arranjos possíveis em grupos onde a ordem dos elementos é fundamental. O número total de objetos disponíveis para organização é denotado por n, enquanto a quantidade de elementos em cada subgrupo (a amostra) é indicada por r.

Por exemplo, se quisermos organizar as letras XYZ em grupos de duas letras, teremos as seguintes combinações ordenadas: XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY, resultando em 6 arranjos distintos.

Para usar esta calculadora de permutações, basta digitar o valor de n, referente ao número total de objetos que serão dispostos, e digitar o valor de r, o número de elementos de cada grupo. Em seguida, clique em "Calcular". Caso precise realizar um novo cálculo, utilize o botão "Limpar" para apagar os dados e inserir um conjunto diferente de números.

Permutações

A permutação de um conjunto é um arranjo de seus membros em uma sequência ou ordem específica. Se um conjunto já estiver ordenado, chamamos de permutação de seus elementos. Nas permutações, a ordem dos elementos importa. Por exemplo, os arranjos AB e BA representam duas permutações totalmente diferentes. O número de permutações de n objetos selecionados em amostras de tamanho r é denotado matematicamente como nPr (arranjo simples).

O cálculo do número de permutações depende das características dos objetos que estão sendo agrupados e se há permissão para repetições. A menos que seja especificado o contrário, assume-se que não são permitidas repetições ao calcularmos permutações simples.

Neste artigo, focaremos em exemplos práticos de permutações sem repetição.

As permutações baseiam-se no Princípio Fundamental da Contagem. Este princípio estabelece que, se um experimento é composto por k eventos onde a primeira etapa ocorre de n₁ maneiras, a segunda etapa de n₂ maneiras, e assim sucessivamente até que o último evento ocorra de nₖ maneiras, o número total de formas em que o experimento pode ocorrer sequencialmente é o produto de suas etapas individuais: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Suponha que desejamos descobrir o número de arranjos possíveis para as letras ABC, sem repetição. Qualquer uma das três letras pode vir primeiro; portanto, existem 3 maneiras de escolher a posição inicial.

Após a definição da primeira letra, restam duas opções, logo, há 2 maneiras de preencher a segunda posição. Finalmente, após a escolha da segunda letra, restará apenas uma opção para o final. Assim, há apenas 1 maneira de definir a terceira letra.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o cálculo será 3 × 2 × 1 = 6 maneiras de organizar as letras ABC. Essas permutações são: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA.

O Fatorial

Anteriormente, demonstramos que o número de permutações de 3 objetos distintos é calculado por 3 × 2 × 1 = 6. De modo geral, o número total de permutações de n objetos (utilizando todos ao mesmo tempo) é dado pela multiplicação n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

A multiplicação sequencial de todos os números inteiros em ordem decrescente a partir de um determinado número, digamos n, até 1, é chamada de fatorial, sendo representada matematicamente pelo símbolo de exclamação (!).

Portanto, a fórmula é n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, o que se lê como "n fatorial".

Vale ressaltar por definição matemática que 0! = 1 e 1! = 1.

O Exemplo de Permutações

A pista de atletismo padrão para as corridas nas Olimpíadas geralmente possui 9 raias. No entanto, na prova dos 100 metros rasos, a raia 1 geralmente não é utilizada. Dessa forma, 8 corredores são distribuídos nas raias de 2 a 9 lado a lado. De quantas maneiras possíveis esses 8 competidores podem ser posicionados nestas 8 raias disponíveis?

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:

• qualquer um dos 8 corredores pode ocupar a raia 2;
• qualquer um dos 7 corredores restantes pode ocupar a raia 3;
• qualquer um dos 6 corredores restantes pode ocupar a raia 4;
• qualquer um dos 5 corredores restantes pode ocupar a raia 5;
• qualquer um dos 4 corredores restantes pode ocupar a raia 6;
• qualquer um dos 3 corredores restantes pode ocupar a raia 7;
• qualquer um dos 2 corredores restantes pode ocupar a raia 8;
• o único corredor que sobrou ocupará a raia 9.

Logo, o total de permutações possíveis para organizar os 8 corredores nas 8 raias é de 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 maneiras.

Na calculadora de permutações, basta digitar 8 na caixa n (objetos) e 8 na caixa r (amostra), e clicar em "Calcular" para obter rapidamente o valor 40.320.

Permutação de Subconjuntos

Nos exemplos anteriores, analisamos o cálculo de permutações considerando a organização de todos os objetos disponíveis simultaneamente. Contudo, há diversas situações em que precisamos extrair e organizar os objetos em grupos menores.

Nesses casos, onde o total de objetos é denotado por n e o tamanho do subgrupo (a amostra) é indicado por r, utilizamos a seguinte fórmula da análise combinatória para encontrar o número de arranjos:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Essa fórmula é indispensável para calcular permutações simples sem repetições quando precisamos ordenar, de forma específica, uma amostra r retirada de um conjunto maior n.

Por outro lado, se a intenção for organizar todos os elementos do conjunto (ou seja, r igual a n) em uma determinada ordem sem repetições, recaímos na fórmula clássica:

$$ₙPᵣ=n!$$

Exemplo

No cenário descrito acima, calculamos as formas possíveis de organizar os oito corredores utilizando todas as vagas da corrida. Agora, imagine que, para essa mesma disputa, três medalhas serão entregues no pódio. O primeiro colocado ganha o ouro; o segundo, a prata; e o terceiro, o bronze. Dentre os 8 corredores, de quantas formas distintas essas medalhas de ouro, prata e bronze podem ser distribuídas?

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, qualquer um dos 8 corredores pode vencer e ocupar a primeira posição. Uma vez definido o campeão, restarão 7 corredores competindo pelo segundo lugar. E, definida a segunda colocação, restarão 6 atletas na disputa pela terceira posição. Portanto, o número total de arranjos possíveis para preencher do primeiro ao terceiro lugar entre os 8 corredores é: 8 × 7 × 6 = 336.

Podemos resolver também aplicando a fórmula matemática de permutação:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Substituindo os valores, obtemos:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Para verificar isso na calculadora de permutações, digite 8 na caixa n (objetos) e 3 na caixa r (amostra), depois clique em "Calcular" para obter o resultado exato de 336.

Permutações e Combinações: A Diferença

Outro pilar da contagem é a combinação. As combinações representam as diferentes formas de selecionar um número menor de objetos (a amostra r) a partir de um conjunto maior de objetos n. O número de combinações de r elementos dentre n opções é denotado simplesmente por ₙCᵣ.

Ao explicarmos a permutação, frisamos exaustivamente que a ordem do agrupamento importa. E é exatamente aqui que reside a principal diferença entre permutações e combinações: nas combinações, a ordem dos elementos não tem qualquer importância.

Como exemplo prático, detalhamos que as permutações das letras XYZ, agrupadas duas a duas, geram seis opções exclusivas: XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY. Logo, temos seis permutações.

No entanto, as combinações das letras XYZ em grupos de dois elementos formam apenas as opções XY, XZ e YZ (três combinações ao todo). Isso acontece porque, na lógica das combinações, XY e YX são considerados exatamente o mesmo grupo. O mesmo vale para XZ/ZX e YZ/ZY. Assim sendo, a ordem de arranjo é irrelevante no cálculo combinatório clássico.

A fórmula utilizada para o número de combinações de r objetos a partir de um conjunto n é:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Exemplo de Cálculo de Combinações

No exemplo da corrida, descobrimos de quantas formas poderíamos distribuir o pódio (1º, 2º e 3º lugares) entre 8 corredores, sendo a posição de cada um crucial. Mas, e se o objetivo fosse apenas formar um grupo de 3 medalhistas selecionados dentre os 8, sem nos importarmos com quem levou o ouro, a prata ou o bronze? O critério passaria a ser unicamente "ganhar qualquer medalha".

Nesse contexto, aplicamos as combinações justamente porque a ordem de chegada entre os vencedores perde a relevância. Utilizamos, então, a fórmula de combinação:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

A quantidade de maneiras diferentes de selecionar os 3 medalhistas dentro do conjunto de 8 corredores é calculada por:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Exemplos de cálculo de permutações

1. O produtor de um telejornal dispõe de 5 palestrantes convidados, mas possui tempo na pauta para apresentar apenas 3 deles em seu painel de análises. A sequência em que esses especialistas falam afeta a dinâmica do programa. De quantas formas o produtor pode estruturar a ordem de apresentação? Sabendo que a ordem importa e não haverá repetição (um mesmo especialista não discursa duas vezes no mesmo bloco), a fórmula ideal para o problema é a de permutações.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Fica evidente que o produtor tem à disposição 60 opções de arranjos diferentes para estruturar o bloco de palestras.

2. Um crítico de gastronomia mapeou os 10 melhores restaurantes de sushi da cidade com a missão de publicar o "Top 3" oficial. Os estabelecimentos selecionados devem estar dispostos em uma ordem exata de primeiro, segundo e terceiro colocados, e o mesmo restaurante não pode ocupar duas posições do pódio. As exigências apontam novamente para o conceito de permutações (posições hierárquicas, ordem fundamental e ausência de repetições). Utilizamos a fórmula:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Quando enfatizamos que "a ordem é importante" na definição de permutação, isso não significa estritamente que precisaremos de uma ordem numérica sequencial, como posições de 1 a 10. A ideia de ordem também remete à destinação de elementos específicos para vagas exclusivas de objetos ou funções.

Imagine um gerente administrativo de uma empresa de manutenção que recebe, no mesmo dia, quatro serviços de pintura. Os locais são: o escritório de uma agência, o armazém de uma fábrica, uma loja de roupas e um quarto residencial. A empresa possui uma equipe de seis pintores. Como o dia de trabalho comporta apenas um local por funcionário, quatro profissionais serão deslocados e dois receberão folga.

Nesse caso, os locais (escritório, armazém, loja e quarto) são equivalentes e análogos às posições 1, 2, 3 e 4.

O gestor enfrentará o seguinte raciocínio:

• 6 candidatos disponíveis que podem ser enviados ao escritório;
• 5 candidatos restantes para a função de pintura no armazém;
• 4 candidatos restantes para atuar na loja;
• 3 candidatos restantes para a demanda do quarto residencial.

Intuitivamente, podemos prever que a quantidade de alocações da escala de trabalho é igual a 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Como o ambiente designado para cada pintor representa um arranjo específico onde a "ordem" dos fatores cria cenários de trabalhos completamente distintos — e sendo as repetições proibidas (um único pintor não fará dois locais em um dia) —, estamos diante de uma aplicação clássica da fórmula de permutação.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

O gerente tem exatamente 360 maneiras distintas de planejar a alocação dos quatro pedidos aos seus profissionais habilitados sob essas restrições operacionais.