Calculadora de Permutações

A calculadora de permutações calcula o número de maneiras que você pode organizar n objetos distintos, tomando uma amostra de r elementos de cada vez. Ela nos informa o número de possíveis arranjos de objetos em grupos onde a ordem de arranjo é importante. O número total de objetos a serem arranjados é indicado por n, enquanto o número de elementos em cada grupo é indicado por r.

Por exemplo, se quisermos organizar as letras XYZ em grupos de duas letras cada, então teremos XY, XZ, YZ, YX, ZX, e ZY: 6 formas.

Para usar esta calculadora, digite n, o número total de objetos a serem dispostos em alguma ordem, e digite r, o número de elementos em cada grupo, e depois clique em "Calcular". Usando o botão "Limpar", você também pode limpar a calculadora para inserir um conjunto diferente de números.

Permutações

A permutação de um conjunto é um arranjo de seus membros em uma sequência ou em uma ordem particular. Se um conjunto já estiver ordenado, é uma permutação de seus elementos. Para uma permutação, a ordem dos elementos é importante. Por exemplo, as permutações AB e BA são duas permutações diferentes. O número de permutações de n objetos em amostras de r objetos é denotado como nPr.

O cálculo do número de permutações depende dos objetos que estão sendo dispostos. Também depende se as repetições são permitidas ou não. A menos que seja indicado o contrário, assumimos que não são permitidas repetições ao calcular as permutações.

Neste artigo, veremos exemplos de permutações sem repetições.

As permutações seguem o princípio fundamental da contagem. Ela afirma que se uma experiência consiste de eventos k onde o primeiro evento ocorre n₁ vezes, o segundo evento ocorre n₂ vezes. Assim por diante até que o evento ocorra nₖ vezes. O número de formas em que o experimento pode ocorrer sequencialmente é dado pelo produto do número de vezes que os eventos individuais ocorrem, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Suponha que queremos saber o número de combinações possíveis das letras ABC, sem repetições em permutações. Qualquer uma das letras pode vir primeiro, portanto, há 3 maneiras de se definir a primeira letra.

Depois que a primeira letra é definida, restam duas letras, e qualquer uma das duas letras pode ser definida como a segunda letra, portanto há duas maneiras de definir a segunda letra. Depois que a segunda letra for configurada, restará apenas uma letra. Assim, há apenas uma maneira de definir a terceira letra.

Assim, pelo princípio fundamental de contagem, há 3 × 2 × 1 = 6 maneiras de organizar as letras ABC. Elas são ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA.

O Fatorial

Acima, estabelecemos que o número de permutações de 3 objetos distintos é dado por 3 × 2 × 1 = 6. Geralmente, o número de permutações de n objetos (ao todo) é dado por n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

A multiplicação de todos os números inteiros de um número inteiro, digamos n, até 1 é chamada de fatorial e é denotada por ! (o ponto de exclamação).

Portanto, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, e é chamado de n fatorial.

Note que 0!=1 e 1!=1.

O Exemplo de Permutações

A pista padrão para as corridas nas Olimpíadas geralmente tem 9 pistas. Entretanto, para a corrida de 100 metros, a pista 1 geralmente não é utilizada. 8 corredores são colocados nas pistas 2 a 9 em fila. Quantas formas possíveis os 8 corredores podem ser dispostos nas pistas 2 a 9?

Pelo princípio fundamental da contagem:

• qualquer um dos 8 corredores fica na pista 2,
• qualquer um dos 7 corredores restantes pode pegar a pista 3,
• qualquer um dos 6 corredores restantes pode pegar a pista 4,
• qualquer um dos 5 corredores restantes pode pegar a pista 5,
• qualquer um dos 4 corredores restantes pode pegar a pista 6,
• qualquer um dos 3 corredores restantes pode pegar a pista 7,
• qualquer um dos 2 corredores restantes pode receber a pista 8,
• um corredor restante recebe a pista 9.

Portanto, o total de permutações possíveis dos 8 corredores que podem ser dispostos nas 8 pistas é 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 maneiras.

Na calculadora de permutações, digite 8 nas caixas n (objetos) e r (amostra) e clique em Calcular para obter 40.320.

Permutação de Subconjuntos

Nos exemplos anteriores, analisamos as permutações dos objetos quando todos os objetos são considerados nos arranjos. Entretanto, há situações em que os objetos são dispostos em grupos menores.

Nesses casos, o número total de objetos é doado por n, o número de objetos nos grupos (amostra) é indicado por r, e a fórmula dá o número de permutações:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Esta fórmula é utilizada para calcular permutações sem repetições. E se precisarmos organizar em uma determinada ordem uma amostra r é retirada do conjunto n.

Se calcularmos o número de escolhas com as quais podemos organizar todos os elementos do conjunto em uma determinada ordem e sem repetições, podemos usar a seguinte fórmula:

$$ₙPᵣ=n!$$

Exemplo

No exemplo acima, analisamos o número de formas possíveis de organizar todos os oito corredores em uma corrida de 100 metros. Agora, na mesma corrida, três medalhas estão prontas para serem conquistadas. O primeiro lugar na corrida ganha a medalha de ouro, e os segundos e terceiros colocados ganham as medalhas de prata e bronze, respectivamente. Dos 8 corredores da corrida, quantas formas possíveis de conseguirmos as medalhas de ouro, prata e bronze?

Pelo princípio fundamental da contagem, qualquer um dos 8 corredores pode ocupar a primeira posição. Depois que a primeira posição tivesse sido preenchida, restariam sete corredores para disputar a segunda posição. E após a segunda posição, seis corredores estariam na disputa pela terceira posição. Portanto, o número total de possíveis permutações da primeira para a terceira posição a partir dos 8 corredores é: 8 × 7 × 6 = 336

Nós usamos a fórmula:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

E obtemos

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

E na calculadora de permutações, digite 8 na caixa n (objetos) e 3 na caixa r (amostra) e clique em "Calcular" para obter 336.

Permutações e Combinações: A Diferença

Outra técnica essencial de contagem é a combinação. As combinações são as várias maneiras pelas quais um número menor de objetos (amostra), r, pode ser selecionado entre um número maior de objetos, n. O número de combinações de r objetos de n objetos é denotado simplesmente por ₙCᵣ.

Na definição de permutação, mencionamos que a ordem ou disposição é importante. Bem, essa é a diferença entre permutações e combinações porque, em combinações, a ordem não é importante.

Então, por exemplo, declaramos que as permutações das letras XYZ em grupos de duas letras cada uma serão as seguintes XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY. Portanto, recebemos seis permutações.

Entretanto, as combinações das letras XYZ em grupos de duas letras cada uma são XY, XZ, e YZ; três combinações. Isto porque, em combinações, XY e YX são consideradas as mesmas combinações; as mesmas com XZ e ZX, e as mesmas com YZ e ZY. Portanto, a ordem de arranjo não importa no cálculo das combinações.

A fórmula dá o número de combinações de r objetos de n objetos:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Exemplo de Cálculo de Combinações

No exemplo acima com os corredores, obtivemos o número de maneiras que podemos selecionar a primeira, segunda e terceira posições de um grupo de 8 corredores. Suponhamos que queremos saber o número de maneiras pelas quais 3 medalhistas podem ser selecionados de um grupo de 8 corredores sem considerar suas posições. Não importa se a pessoa vem em primeiro, segundo ou terceiro lugar, desde que o corredor ganhe uma medalha.

Neste caso, as combinações são utilizadas porque a ordem das medalhas não é importante. Portanto, resolvemos isto usando a fórmula das combinações.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

O número de formas pelas quais 3 medalhistas podem ser selecionados entre 8 corredores é dado por:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Exemplos de cálculo de permutações

1. O produtor de notícias pode escolher 3 dos 5 palestrantes convidados para seu programa de análises. A ordem dos convidados é importante. Quantas formas diferentes o produtor pode organizar as apresentações dos convidados? A ordem é importante e a repetição não será usada porque o mesmo convidado não pode aparecer duas vezes no mesmo programa de notícias. Portanto, podemos usar a fórmula para permutações.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Desta forma, podemos ver que o produtor tem 60 maneiras de organizar os palestrantes.

2. Um crítico de restaurante selecionou 10 bons estabelecimentos na cidade que servem sushi para classificar os 3 melhores restaurantes de sushi. Os estabelecimentos devem ser apresentados em uma ordem que mostre sua posição na classificação. Além disso, o mesmo lugar não pode aparecer várias vezes na classificação. Portanto, satisfazemos os requisitos da fórmula de permutações - a ordem é importante e não deve haver repetições. Usamos a fórmula para as permutações:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Quando dizemos que a ordem é importante para permutações, isso não significa que a ordem deve ser numérica de 1 a, digamos, 10 ou qualquer outro número. A ordem pode ser formada por certos objetos entre os quais alocamos nossos elementos do conjunto.

Por exemplo, tome como exemplo o gerente de uma empresa de reparos domésticos. Ele tem hoje quatro pedidos de pintura de salas. Eles são de um escritório de uma agência de vistos, um armazém em uma fábrica, uma loja de roupas e um quarto em uma casa particular. A empresa tem seis pintores. Cada um deles pode ir a 1 instalação durante um dia. Os dois pintores restantes terão o dia de folga.

Estes objetos são o escritório de uma agência de vistos, um armazém em uma fábrica, uma loja de roupas e um quarto em uma casa particular, que são análogos das posições 1, 2, 3, e 4.

O gerente terá:

• 6 candidatos que podem ser designados para o escritório,
• 5 candidatos restantes a serem designados para o depósito,
• 4 candidatos restantes a serem enviados para a loja,
• 3 candidatos restantes que podem ser designados para um quarto em uma casa particular.

Portanto, intuitivamente, podemos descrever o número de escolhas como 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Nos é dada a condição de que a ordem em que os pintores são distribuídos sobre os objetos é importante para nós. Nenhuma repetição é permitida, ou seja, um pintor trabalhando em mais de um objeto no mesmo dia. Portanto, podemos aplicar a fórmula de permutação que já utilizamos.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Acontece que existem 360 maneiras diferentes de que um gerente de uma empresa de reparos domésticos possa alocar pedidos entre os pintores disponíveis em determinadas condições.