परम्यूटेशन कैलकुलेटर

हमारा परम्यूटेशन कैलकुलेटर (Permutation Calculator) एक समय में 'r' तत्वों को चुनकर 'n' विशिष्ट वस्तुओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की गणना करता है। यह टूल सटीक रूप से बताता है कि वस्तुओं को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, खासकर तब जब उनका क्रम (Order) महत्वपूर्ण हो। यहाँ 'n' व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुओं की कुल संख्या को दर्शाता है, जबकि 'r' प्रत्येक समूह में चुने गए तत्वों की संख्या को प्रदर्शित करता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम 'XYZ' अक्षरों को दो अक्षरों के समूहों में व्यवस्थित करना चाहते हैं, तो हमारे पास कुल 6 संभावित तरीके होंगे: XY, XZ, YZ, YX, ZX, और ZY।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करना बेहद आसान है। बस 'n' (वस्तुओं की कुल संख्या) और 'r' (प्रत्येक समूह में तत्वों की संख्या) दर्ज करें, और फिर "Calculate" (गणना करें) पर क्लिक करें। संख्याओं का नया सेट दर्ज करने के लिए आप "Clear" (साफ़ करें) बटन दबाकर कैलकुलेटर को रीसेट भी कर सकते हैं।

परम्यूटेशन

किसी सेट का परम्यूटेशन (Permutation) उसके सदस्यों को एक विशेष क्रम (Order) में व्यवस्थित करने की प्रक्रिया है। यदि सेट पहले से ही क्रमबद्ध है, तो यह उसके तत्वों का परम्यूटेशन कहलाता है। परम्यूटेशन में तत्वों का क्रम बेहद महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण के लिए, व्यवस्था 'AB' और 'BA' दो अलग-अलग परम्यूटेशन माने जाते हैं। गणितीय रूप से, nPr, 'n' वस्तुओं में से 'r' वस्तुओं के नमूने लेकर बनने वाले परम्यूटेशन की कुल संख्या को दर्शाता है।

परम्यूटेशन की कुल संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि कितनी वस्तुओं को व्यवस्थित किया जा रहा है और क्या इसमें दोहराव (Repetition) की अनुमति है या नहीं। परम्यूटेशन की गणना करते समय, यह मान लिया जाता है कि जब तक स्पष्ट रूप से न कहा जाए, दोहराव की अनुमति नहीं है।

इस लेख में, हम बिना दोहराव वाले परम्यूटेशन के विभिन्न उदाहरणों पर चर्चा करेंगे।

परम्यूटेशन गणना के मूलभूत सिद्धांत (Fundamental Counting Principle) पर काम करते हैं। इस सिद्धांत के अनुसार, यदि किसी प्रयोग में 'k' घटनाएँ (Events) होती हैं, जहाँ पहली घटना n₁ बार होती है, दूसरी घटना n₂ बार होती है, और इसी तरह यह क्रम nₖ तक चलता है; तो उन सभी घटनाओं के एक साथ क्रमिक रूप से होने के कुल तरीकों की संख्या उनकी व्यक्तिगत घटनाओं के गुणनफल (Product) के बराबर होती है: n₁ × n₂ × ... × nₖ।

मान लीजिए कि हम जानना चाहते हैं कि 'ABC' अक्षरों को बिना दोहराव के कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। चूँकि कोई भी अक्षर पहले आ सकता है, इसलिए पहले स्थान के लिए तीन संभावनाएँ हैं।

पहला अक्षर चुनने के बाद, केवल दो अक्षर शेष बचते हैं। इन दोनों में से किसी भी अक्षर को दूसरे स्थान पर रखा जा सकता है, इसलिए दूसरे अक्षर को चुनने के दो तरीके हैं। दूसरा अक्षर सेट होने के बाद, केवल एक ही अक्षर बचेगा। अंततः, तीसरे अक्षर को चुनने का केवल एक ही तरीका होगा।

इस प्रकार, गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार, 'ABC' अक्षरों को व्यवस्थित करने के कुल 3 × 2 × 1 = 6 तरीके हैं। ये व्यवस्थाएं हैं: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, और CBA।

फैक्टोरियल

ऊपर दिए गए उदाहरण में हमने देखा कि 3 अलग-अलग वस्तुओं के परम्यूटेशन की संख्या 3 × 2 × 1 = 6 होती है। सामान्य तौर पर, कुल 'n' वस्तुओं के परम्यूटेशन की संख्या n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 के रूप में व्यक्त की जाती है।

यह 'n' से 1 तक के सभी पूर्णांकों (Integers) का गुणनफल है। किसी पूर्णांक 'n' से 1 तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को "फैक्टोरियल" कहा जाता है, और इसे ! (विस्मयादिबोधक चिह्न या Exclamation mark) द्वारा दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 होता है, जिसे 'n फैक्टोरियल' (n factorial) कहा जाता है।

कृपया ध्यान दें कि 0!=1 और 1!=1 होता है।

परम्यूटेशन का उदाहरण

ओलंपिक में रेसिंग के लिए मानक ट्रैक में आमतौर पर 9 लेन (lanes) होती हैं। हालांकि, 100 मीटर की दौड़ के लिए आमतौर पर लेन 1 का उपयोग नहीं किया जाता है। मान लीजिए कि 8 धावकों (runners) को लेन 2 से 9 तक एक पंक्ति में रखा जाना है। इन 8 धावकों को लेन 2 से 9 पर कितने संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार:

• 8 धावकों में से कोई भी लेन 2 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 7 धावकों में से कोई भी लेन 3 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 6 धावकों में से कोई भी लेन 4 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 5 धावकों में से कोई भी लेन 5 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 4 धावकों में से कोई भी लेन 6 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 3 धावकों में से कोई भी लेन 7 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 2 धावकों में से कोई भी लेन 8 प्राप्त कर सकता है,
• और बचा हुआ 1 धावक लेन 9 प्राप्त करता है।

इसलिए, 8 ट्रैक्स पर 8 धावकों को व्यवस्थित करने के कुल संभावित परम्यूटेशन 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 तरीके होंगे।

हमारे परम्यूटेशन कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, 'n' (वस्तुएं) और 'r' (नमूना) दोनों बॉक्स में 8 दर्ज करें और 40,320 उत्तर प्राप्त करने के लिए "Calculate" पर क्लिक करें।

सबसेट का परम्यूटेशन

पिछले उदाहरणों में, हमने वस्तुओं के परम्यूटेशन को तब देखा जब व्यवस्था में सभी वस्तुओं को शामिल किया गया था। हालाँकि, कई बार ऐसी स्थितियाँ भी आती हैं जहाँ वस्तुओं को छोटे समूहों या सबसेट (subsets) में व्यवस्थित किया जाना होता है।

ऐसे मामलों में, वस्तुओं की कुल संख्या को 'n' द्वारा दर्शाया जाता है, और छोटे समूहों में ली गई वस्तुओं की संख्या (नमूना) को 'r' द्वारा दर्शाया जाता है। इस स्थिति में परम्यूटेशन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

इस सूत्र का उपयोग बिना दोहराव के परम्यूटेशन की गणना के लिए किया जाता है, खासकर तब जब हमें 'n' वस्तुओं के सेट में से 'r' वस्तुओं का नमूना लेकर उन्हें एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करना हो।

यदि हमें किसी सेट के सभी तत्वों को एक निश्चित क्रम में और बिना दोहराव के व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की गणना करनी हो (जहाँ n = r), तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$ₙPᵣ=n!$$

उदाहरण

पिछले उदाहरण में, हमने 100 मीटर की दौड़ में सभी आठ धावकों के लिए संभावित व्यवस्थाओं की संख्या पर विचार किया था। अब मान लीजिए कि उसी दौड़ में शीर्ष तीन स्थानों के लिए पदक दिए जाने हैं। दौड़ के विजेता को स्वर्ण पदक (Gold) मिलता है, जबकि दूसरे और तीसरे स्थान पर रहने वाले धावकों को क्रमशः रजत (Silver) और कांस्य पदक (Bronze) मिलते हैं। अब सवाल यह है कि दौड़ में भाग ले रहे 8 धावकों में से हम कितने अलग-अलग तरीकों से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक विजेताओं का चयन कर सकते हैं?

गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार, 8 धावकों में से कोई भी पहला स्थान प्राप्त कर सकता है। पहला स्थान तय होने के बाद, दूसरे स्थान के लिए प्रतिस्पर्धा करने हेतु 7 धावक बचेंगे। इसी तरह, दूसरा स्थान तय होने के बाद, तीसरे स्थान की दौड़ में 6 धावक शेष रहेंगे। इसलिए, 8 धावकों में से पहले, दूसरे और तीसरे स्थान के लिए संभावित परम्यूटेशन की कुल संख्या होगी: 8 × 7 × 6 = 336

यदि हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

तो हमें यह परिणाम मिलता है:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

और हमारे परम्यूटेशन कैलकुलेटर में, 'n' (वस्तुएं) बॉक्स में 8 और 'r' (नमूना) बॉक्स में 3 दर्ज करें, और 336 उत्तर प्राप्त करने के लिए "Calculate" पर क्लिक करें।

परम्यूटेशन और संयोजन: अंतर

एक अन्य महत्वपूर्ण गणना तकनीक 'संयोजन' या कॉम्बिनेशन (Combination) है। कॉम्बिनेशन हमें बताता है कि वस्तुओं की एक बड़ी संख्या 'n' में से कुछ वस्तुओं 'r' (नमूना) को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है। 'n' वस्तुओं में से 'r' वस्तुओं के कॉम्बिनेशन की संख्या को ₙCᵣ द्वारा दर्शाया जाता है।

परम्यूटेशन की परिभाषा में हमने स्पष्ट किया था कि इसमें वस्तुओं का क्रम (Order) या व्यवस्था अत्यंत महत्वपूर्ण होती है। यही परम्यूटेशन और कॉम्बिनेशन के बीच का मुख्य अंतर है, क्योंकि कॉम्बिनेशन में वस्तुओं का क्रम बिल्कुल भी मायने नहीं रखता है।

उदाहरण के लिए, हमने देखा था कि 'XYZ' अक्षरों को दो-दो के समूहों में व्यवस्थित करने पर परम्यूटेशन होंगे: XY, XZ, YZ, YX, ZX और ZY। इस प्रकार, हमें कुल 6 परम्यूटेशन मिलते हैं।

हालाँकि, 'XYZ' अक्षरों को दो-दो के समूहों में चुनने पर कॉम्बिनेशन केवल तीन ही होंगे: XY, XZ, और YZ। ऐसा इसलिए है क्योंकि कॉम्बिनेशन में 'XY' और 'YX' को एक ही संयोजन माना जाता है; यही नियम 'XZ' और 'ZX', तथा 'YZ' और 'ZY' पर भी लागू होता है। इसलिए, कॉम्बिनेशन की गणना करते समय व्यवस्था का क्रम कोई मायने नहीं रखता।

'n' वस्तुओं में से 'r' वस्तुओं के कॉम्बिनेशन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

कॉम्बिनेशन की गणना का उदाहरण

8 धावकों के समूह में से पहले, दूसरे और तीसरे स्थान का चयन करने के तरीकों की संख्या हमने पिछले उदाहरण में देखी थी। अब मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि 8 धावकों के समूह में से 3 पदक विजेताओं को चुनने के कितने अलग-अलग तरीके हैं, जहाँ उनका स्थान (position) कोई मायने नहीं रखता। दूसरे शब्दों में, जब तक धावक को पदक मिल रहा है, इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह पहले, दूसरे या तीसरे स्थान पर है।

इस स्थिति में कॉम्बिनेशन का उपयोग किया जाएगा क्योंकि पदकों का क्रम यहाँ महत्वहीन (unimportant) है। अतः, इसे हल करने के लिए हम कॉम्बिनेशन सूत्र का उपयोग करेंगे।

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8 धावकों में से 3 पदक विजेताओं का चयन करने के कुल तरीके इस प्रकार होंगे:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

परम्यूटेशन की गणना के उदाहरण

1. एक समाचार निर्माता (News Producer) अपने विश्लेषणात्मक कार्यक्रम के लिए 5 अतिथि वक्ताओं (Guest Speakers) में से 3 का चयन करना चाहता है। वक्ताओं के बोलने का क्रम महत्वपूर्ण है। निर्माता कितने अलग-अलग तरीकों से मेहमानों की प्रस्तुतियों को व्यवस्थित कर सकता है? चूँकि यहाँ क्रम (Order) महत्वपूर्ण है और एक ही अतिथि एक ही कार्यक्रम में दो बार नहीं आ सकता, इसलिए कोई दोहराव नहीं होगा। ऐसे में, हम परम्यूटेशन के सूत्र का उपयोग करेंगे।

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

इस प्रकार हम देख सकते हैं कि निर्माता के पास वक्ताओं की प्रस्तुति को व्यवस्थित करने के 60 अलग-अलग तरीके हैं।

2. एक फूड क्रिटिक (Food Critic) ने शहर के 10 बेहतरीन सुशी रेस्तरां चुने हैं, ताकि वह टॉप 3 सुशी रेस्तरां की रैंकिंग कर सके। इन रेस्तरां को एक निश्चित क्रम में प्रस्तुत किया जाना चाहिए जो रैंकिंग में उनका सही स्थान दर्शाए। इसके अलावा, एक ही रेस्तरां कई बार रैंकिंग में नहीं आ सकता है। इस प्रकार, यह स्थिति परम्यूटेशन सूत्र की सभी शर्तों को पूरा करती है - जहाँ क्रम महत्वपूर्ण है और कोई दोहराव नहीं है। इसके लिए हम परम्यूटेशन सूत्र का उपयोग करेंगे:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. जब हम कहते हैं कि परम्यूटेशन में "क्रम महत्वपूर्ण है", तो इसका मतलब यह नहीं है कि क्रम हमेशा 1 से 10 तक या किसी अन्य संख्यात्मक (Numeric) रूप में ही होना चाहिए। क्रम उन विशिष्ट वस्तुओं या स्थानों द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है, जिनके बीच हम अपने सेट के तत्वों को आवंटित (Allocate) करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक होम रिपेयर कंपनी के मैनेजर पर विचार करें। आज उसके पास पेंटिंग के 4 अलग-अलग ऑर्डर आए हैं: एक वीज़ा एजेंसी का कार्यालय, एक कारखाने का गोदाम, एक कपड़ों की दुकान, और एक निजी घर का कमरा। कंपनी के पास कुल 6 पेंटर काम करते हैं। एक पेंटर एक दिन में केवल एक ही जगह जा सकता है, जिसका अर्थ है कि बाकी बचे 2 पेंटर उस दिन छुट्टी पर रहेंगे।

यहाँ ये चार अलग-अलग स्थान 1, 2, 3, और 4 जैसी पोजीशन या पदों के समतुल्य हैं: वीज़ा एजेंसी का कार्यालय, कारखाने का गोदाम, कपड़ों की दुकान, और निजी घर का कमरा।

मैनेजर के पास निम्नलिखित विकल्प होंगे:

• 6 पेंटर (आवेदक) जिन्हें वीज़ा कार्यालय में भेजा जा सकता है,
• शेष 5 पेंटर जिन्हें कारखाने के गोदाम में भेजा जा सकता है,
• शेष 4 पेंटर जिन्हें कपड़ों की दुकान पर भेजा जा सकता है,
• और शेष 3 पेंटर जिन्हें निजी घर के कमरे में काम के लिए भेजा जा सकता है।

इसलिए, सीधे तौर पर गणना करने पर, हम कुल विकल्पों की संख्या को 6 × 5 × 4 × 3 = 360 के रूप में निकाल सकते हैं।

हमें यह शर्त दी गई है कि अलग-अलग स्थानों (वस्तुओं) पर पेंटर्स को भेजने का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है। साथ ही, किसी भी प्रकार के दोहराव (Repetition) की अनुमति नहीं है, यानी एक पेंटर एक ही दिन में एक से अधिक जगहों पर काम नहीं कर सकता। इसलिए हम यहाँ परम्यूटेशन सूत्र लागू कर सकते हैं:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

इससे यह स्पष्ट होता है कि दी गई शर्तों के तहत, होम रिपेयर कंपनी का मैनेजर अपने उपलब्ध पेंटर्स के बीच इन 4 ऑर्डर्स को 360 अलग-अलग तरीकों से आवंटित (Allocate) कर सकता है।