순열 계산기

순열 계산기(Permutation Calculator)는 $n$개의 서로 다른 항목 중에서 $r$개를 선택하여 순서대로 나열하는 모든 경우의 수를 쉽고 빠르게 계산해 줍니다. 순열은 항목의 순서가 중요한 경우에 활용되며, 전체 항목의 수는 $n$, 선택할 항목의 수는 $r$로 표시합니다.

예를 들어, X, Y, Z 세 글자 중 두 글자를 뽑아 나열한다면 XY, XZ, YZ, YX, ZX, ZY의 총 6가지 경우의 수가 발생합니다.

본 계산기를 사용하는 방법은 간단합니다. 배열할 전체 항목의 수인 $n$을 입력하고, 선택할 항목의 수인 $r$을 입력한 후 "계산하기" 버튼을 클릭하기만 하면 됩니다.

순열

수학에서 순열(Permutation)이란 주어진 집합의 원소들을 특정한 순서에 따라 나열하는 것을 의미합니다. 순열의 가장 큰 특징은 원소의 순서가 결과에 영향을 미친다는 점입니다. 예를 들어, 'A, B'를 나열할 때 'AB'와 'BA'는 완전히 다른 두 개의 순열로 취급됩니다. $n$개의 항목 중 $r$개를 선택해 나열하는 순열의 수는 기호로 $nPr$로 표기합니다.

순열의 경우의 수는 나열할 대상과 '중복 허용 여부'에 따라 달라집니다. 일반적으로 별도의 조건이 명시되지 않은 이상, 순열은 반복(중복)을 허용하지 않는 것을 기본 전제로 합니다.

이 가이드에서는 반복 없는 순열의 개념과 계산법을 중점적으로 살펴봅니다.

순열은 수학의 '곱의 법칙(기본 경우의 수 원리)'을 따릅니다. 어떤 사건이 $k$개의 연속된 단계로 이루어져 있고, 첫 번째 단계가 일어날 경우의 수가 $n_1$, 두 번째가 $n_2$ 등 $k$번째 단계가 $n_k$ 번 발생할 수 있다면, 전체 사건이 발생할 총 경우의 수는 각 단계의 경우의 수를 모두 곱한 값인 *$n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$*로 주어집니다.

예를 들어, A, B, C 세 글자를 중복 없이 모두 사용하여 만들 수 있는 배열의 수를 계산해 보겠습니다. 첫 번째 자리에 올 수 있는 글자는 A, B, C 중 하나이므로 3가지 경우가 있습니다.

첫 번째 글자가 정해지면 남은 글자는 두 개이며, 두 번째 자리에 올 수 있는 경우는 2가지입니다. 두 번째 자리까지 채워지고 나면 마지막 세 번째 자리는 남은 한 글자가 차지하므로 1가지 경우만 남게 됩니다.

따라서 곱의 법칙에 의해 A, B, C를 나열하는 총 방법의 수는 3 × 2 × 1 = 6가지가 됩니다. 실제 가능한 순열은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA입니다.

팩토리얼

앞선 예제를 통해 3개의 서로 다른 항목을 모두 나열하는 경우의 수가 3 × 2 × 1 = 6임을 확인했습니다. 이를 일반화하면, $n$개의 항목을 모두 일렬로 나열하는 전체 순열의 수는 *$n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1$*이 됩니다.

이는 $n$부터 1까지의 모든 자연수를 곱한 값과 같습니다. 이처럼 1부터 특정 자연수 $n$까지의 모든 자연수를 차례대로 곱하는 것을 수학에서는 팩토리얼(Factorial, 계승)이라고 부르며, 느낌표 기호(!)를 사용하여 나타냅니다.

수식으로 표현하면 *$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1$*이 되며, 이를 '$n$ 팩토리얼'이라고 읽습니다.

참고로 수학적 약속에 의해 *$0! = 1$*이며, *$1! = 1$*임을 유의하시기 바랍니다.

순열의 예

올림픽 육상 표준 트랙은 보통 9개의 레인으로 구성됩니다. 하지만 100미터 달리기에서는 주로 1번 레인을 비워둡니다. 따라서 8명의 선수가 2번부터 9번 레인에 배정됩니다. 그렇다면 8명의 선수를 8개의 레인에 각각 배치하는 경우의 수는 총 몇 가지일까요?

곱의 법칙을 적용하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

• 8명의 선수 중 아무나 2번 레인을 배정받을 수 있습니다 (8가지).
• 남은 7명의 선수 중 아무나 3번 레인을 배정받을 수 있습니다 (7가지).
• 남은 6명의 선수 중 아무나 4번 레인을 배정받을 수 있습니다 (6가지).
• 남은 5명의 선수 중 아무나 5번 레인을 배정받을 수 있습니다 (5가지).
• 남은 4명의 선수 중 아무나 6번 레인을 배정받을 수 있습니다 (4가지).
• 남은 3명의 선수 중 아무나 7번 레인을 배정받을 수 있습니다 (3가지).
• 남은 2명의 선수 중 아무나 8번 레인을 배정받을 수 있습니다 (2가지).
• 마지막 남은 1명의 선수는 자동으로 9번 레인을 배정받게 됩니다 (1가지).

결과적으로 8개의 레인에 8명의 선수를 배치하는 모든 가능한 순열의 수는 *$8! = 8 \times 7 \times 6 \times ... \times 2 \times 1 = 40,320$*가지입니다.

본 순열 계산기의 전체 항목($n$)과 선택 항목($r$) 입력란에 모두 8을 입력하고 "계산하기"를 클릭하면 동일하게 40,320이라는 결과를 얻을 수 있습니다.

부분집합의 순열

앞선 예제에서는 주어진 모든 항목을 전부 나열하는 경우의 수를 살펴보았습니다. 하지만 전체 항목 중 일부만을 선택하여 나열해야 하는 상황이 훨씬 더 빈번하게 발생합니다.

이처럼 전체 항목의 수를 $n$, 그중 선택해서 나열할 항목(샘플)의 수를 $r$이라고 할 때, 순열 공식은 다음과 같습니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

이 공식은 중복을 허용하지 않고 순서를 고려할 때 사용되는 핵심적인 순열 공식입니다. 즉, 크기가 $n$인 집합에서 $r$개의 원소를 뽑아 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구해줍니다.

만약 $r$이 전체 항목 수 $n$과 같다면(즉, 집합의 모든 요소를 나열한다면), 계산 공식은 다음과 같이 단순화됩니다:

$$ₙPᵣ=n!$$

예제

앞서 100미터 달리기에서 8명의 주자를 8개의 레인에 모두 배치하는 경우를 계산했습니다. 이번에는 달리기 결과에 따라 1위, 2위, 3위에게 각각 금메달, 은메달, 동메달을 수여한다고 가정해 보겠습니다. 8명의 출전 선수 중 금, 은, 동메달리스트가 결정되는 경우의 수는 총 몇 가지일까요?

곱의 법칙을 적용해 직관적으로 풀어보면, 8명의 선수 누구나 1등(금메달)이 될 수 있으므로 첫 번째 자리는 8가지 경우의 수가 있습니다. 1등이 결정된 후, 남은 7명의 선수가 2등(은메달)을 두고 경쟁합니다. 2등이 결정되면 남은 6명의 선수가 3등(동메달) 자리를 놓고 경쟁하게 됩니다. 따라서 8명의 선수 중 1등부터 3등까지를 결정하는 총순열의 수는 8 × 7 × 6 = 336가지입니다.

이를 앞서 배운 순열 공식에 대입해 보면 다음과 같습니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

계산 과정을 거치면:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

본 웹사이트의 순열 계산기에서도 $n$(객체) 란에 8을 입력하고 $r$(샘플) 란에 3을 입력한 뒤 "계산하기"를 클릭하면 단 몇 초 만에 336이라는 결괏값을 도출해 냅니다.

순열과 조합: 차이점

경우의 수를 구하는 또 다른 중요한 수학적 개념으로 **조합(Combination)**이 있습니다. 조합은 전체 $n$개의 항목 중에서 $r$개의 항목을 단순히 '선택'만 하는 방법의 수를 의미합니다. 조합은 기호로 $ₙCᵣ$로 표기합니다.

순열의 핵심은 항목의 '순서'나 '배열'이 결과에 영향을 미친다는 것입니다. 반면 조합에서는 순서가 전혀 중요하지 않습니다. 이것이 바로 순열과 조합을 구분하는 가장 큰 차이점입니다.

앞선 예시처럼 X, Y, Z 세 글자 중 두 글자를 순열로 뽑으면 XY, XZ, YZ, YX, ZX, ZY의 6가지 경우가 나옵니다.

하지만 이를 조합으로 뽑게 되면 결과는 XY, XZ, YZ 단 3가지뿐입니다. 조합에서는 뽑힌 순서와 무관하게 구성 요소만 같다면 동일한 결과로 취급하기 때문입니다. 즉, XY와 YX는 하나의 같은 조합이며, XZ와 ZX, YZ와 ZY 역시 각각 하나의 조합으로 간주합니다. 따라서 조합을 계산할 때 순서는 고려하지 않습니다.

$n$개의 항목에서 $r$개를 선택하는 조합의 경우의 수를 구하는 공식은 다음과 같습니다:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

조합 계산의 예

앞선 육상 경기 예제에서는 8명의 주자 중 금, 은, 동메달이라는 순위를 구분하여 3명을 선택했습니다. 이번에는 순위에 상관없이 '메달을 받을 3명의 선수'를 뽑는 경우의 수를 구해 보겠습니다. 즉, 선수가 1등인지 3등인지는 중요하지 않고 오직 대표 3인으로 선발되었는지만 보는 것입니다.

이 상황에서는 순위라는 순서가 의미를 갖지 않으므로 순열이 아닌 조합을 사용해야 합니다. 조합 공식에 적용해 보면 다음과 같습니다.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8명의 주자에서 순위에 상관없이 3명의 메달리스트를 선발하는 경우의 수는 다음과 같이 계산됩니다:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

순열 계산 예제

1. 한 뉴스 프로듀서가 시사 분석 프로그램을 진행하기 위해 5명의 패널(게스트) 후보 중 3명을 선택해 발언 순서를 정하려고 합니다. 이때 발언 순서는 매우 중요하게 다뤄집니다. 한 사람이 같은 프로그램에 중복으로 발언할 수 없으므로 반복(중복)은 허용되지 않습니다. 순서가 중요하고 중복이 없으므로, 프로듀서가 패널의 발언 순서를 구성할 수 있는 경우의 수는 순열 공식으로 계산합니다.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

결과적으로 프로듀서가 패널을 구성하고 순서를 배치할 수 있는 방법은 총 60가지입니다.

2. 한 맛집 평론가가 동네에서 가장 맛있는 초밥 전문점 10곳을 후보로 선정하고, 그중 상위 Top 3 식당의 순위를 매기려고 합니다. 순위에 따라 1위부터 3위까지 나열해야 하므로 순서가 중요하며, 한 식당이 여러 순위를 동시에 차지할 수 없으므로 중복은 불가능합니다. 이 역시 순열 공식의 조건(순서 고려, 중복 불가)을 완벽히 충족합니다. 공식을 적용해 봅니다:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. 순열에서 '순서가 중요하다'는 것은 반드시 1위, 2위처럼 단순한 숫자의 나열만을 의미하지 않습니다. 집합의 원소들을 각각 '서로 다른 특징을 가진 대상'에 배정할 때도 순서의 개념이 동일하게 적용됩니다.

예를 들어, 한 인테리어 업체 매니저가 오늘 도색 작업을 해야 할 4건의 주문을 받았습니다. 작업 장소는 비자 대행사 사무실, 공장 창고, 의류 매장, 개인 주택으로 각각 다릅니다. 이 업체에는 총 6명의 페인트공이 소속되어 있으며, 페인트공 1명당 하루에 1곳의 장소만 작업할 수 있습니다. 즉, 4명이 배정되고 남은 2명은 휴무를 가지게 됩니다.

여기서 작업 장소인 비자 대행사 사무실, 공장 창고, 의류 매장, 개인 주택은 각각 1번, 2번, 3번, 4번의 '순서(자리)'와 완벽히 동일한 역할을 합니다.

매니저가 페인트공을 배정하는 과정은 다음과 같습니다:

• 비자 대행사 사무실에 배정될 수 있는 후보는 6명입니다.
• 공장 창고에 배정될 남은 후보는 5명입니다.
• 의류 매장에 배정될 남은 후보는 4명입니다.
• 개인 주택에 배정될 남은 후보는 3명입니다.

따라서 직관적으로 계산해 보면 페인트공을 배정하는 총 경우의 수는 6 × 5 × 4 × 3 = 360가지가 됩니다.

서로 다른 작업 장소(대상)에 페인트공을 배정하는 것은 '순서를 부여'하는 것과 동일한 의미를 가지며, 한 사람이 여러 장소에서 작업할 수 없으므로 중복이 허용되지 않습니다. 결국 이는 전형적인 순열 문제에 해당하므로 공식을 바로 적용할 수 있습니다.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

이 계산을 통해, 해당 매니저가 주어진 페인트공들에게 4개의 서로 다른 작업 주문을 할당하는 방법이 총 360가지 존재함을 알 수 있습니다.