Kalkulator Permutasi

Kalkulator permutasi adalah alat praktis yang membantu Anda menghitung jumlah cara menyusun n objek berbeda dengan mengambil sampel sebanyak r elemen sekaligus. Dalam matematika, permutasi digunakan untuk mengetahui total kemungkinan susunan objek dari suatu himpunan di mana urutan penyusunannya sangatlah penting. Total keseluruhan objek yang akan disusun dilambangkan dengan n, sedangkan jumlah elemen yang diambil atau dipilih dalam setiap susunan dilambangkan dengan r.

Sebagai contoh, jika Anda ingin menyusun kelompok berisi dua huruf dari kumpulan huruf XYZ, Anda akan mendapatkan susunan: XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY. Totalnya ada 6 cara penyusunan.

Untuk menggunakan kalkulator online ini, cukup masukkan nilai n (jumlah total objek yang akan disusun) dan nilai r (jumlah sampel atau elemen yang dipilih), lalu klik tombol "Hitung". Anda juga dapat menggunakan tombol "Hapus" untuk mereset kalkulator dan memulai perhitungan baru dengan angka yang berbeda.

Permutasi

Permutasi dari suatu himpunan adalah proses penyusunan anggota-anggotanya dalam urutan atau sekuens tertentu. Jika sebuah himpunan sudah diurutkan, maka himpunan tersebut adalah permutasi dari elemen-elemennya sendiri. Aturan utama dalam permutasi adalah urutan elemen sangatlah penting. Sebagai contoh, susunan AB dan BA dihitung sebagai dua permutasi yang sama sekali berbeda. Jumlah permutasi dari n objek dengan sampel sebanyak r objek secara matematis dilambangkan dengan nPr.

Cara menghitung jumlah permutasi sangat bergantung pada karakteristik objek yang disusun, termasuk apakah elemen tersebut boleh diulang (dengan pengulangan) atau tidak. Kecuali dinyatakan sebaliknya, kita umumnya berasumsi bahwa tidak ada pengulangan yang diperbolehkan saat menghitung permutasi.

Pada artikel ini, kita akan fokus membahas contoh-contoh permutasi tanpa pengulangan.

Konsep permutasi berakar pada prinsip dasar perhitungan (aturan perkalian). Prinsip ini menyatakan bahwa jika suatu eksperimen terdiri dari k kejadian di mana kejadian pertama dapat terjadi sebanyak n₁ cara, kejadian kedua sebanyak n₂ cara, dan seterusnya hingga kejadian ke-k terjadi sebanyak nₖ cara, maka total cara eksperimen tersebut dapat terjadi secara berurutan adalah hasil kali dari setiap kejadian individu tersebut, yaitu: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Mari kita ambil contoh saat Anda ingin mengetahui jumlah kemungkinan susunan dari huruf A, B, dan C tanpa pengulangan. Setiap huruf dapat ditempatkan di posisi awal, sehingga ada 3 cara untuk menyusun huruf pertama.

Setelah huruf pertama terpilih, tersisa dua huruf, yang berarti ada 2 cara untuk memilih huruf kedua. Terakhir, setelah huruf kedua terpilih, hanya tersisa satu huruf untuk menempati posisi ketiga. Jadi, hanya ada 1 cara untuk menyusun huruf ketiga.

Berdasarkan prinsip perhitungan dasar tersebut, total cara untuk menyusun huruf ABC adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Keenam susunan permutasi tersebut adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.

Faktorial

Pada contoh sebelumnya, kita telah melihat bahwa jumlah permutasi dari 3 objek berbeda dihitung dengan 3 × 2 × 1 = 6. Secara umum, rumus untuk mencari total permutasi dari n objek secara keseluruhan dihitung dengan n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Operasi ini merupakan perkalian berurutan dari bilangan bulat n turun hingga angka 1. Dalam matematika, perkalian menurun dari suatu bilangan bulat positif hingga 1 ini dikenal dengan istilah faktorial, dan dilambangkan dengan simbol tanda seru (!).

Jadi, rumusnya dapat ditulis sebagai n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, yang dibaca sebagai "n faktorial".

Perlu diingat juga aturan khusus dalam faktorial di mana 0! = 1 dan 1! = 1.

Contoh Permutasi

Lintasan lari standar di ajang Olimpiade biasanya memiliki 9 jalur. Namun, untuk nomor lari sprint 100 meter, jalur 1 umumnya tidak digunakan. Sebanyak 8 pelari akan ditempatkan di jalur 2 hingga 9 secara berturut-turut. Pertanyaannya, ada berapa banyak kemungkinan susunan penempatan ke-8 pelari tersebut pada jalur 2 sampai 9?

Menggunakan prinsip dasar perhitungan, kita dapat menjabarkannya sebagai berikut:

• salah satu dari 8 pelari mendapat jalur 2,
• salah satu dari 7 pelari sisanya bisa mendapat jalur 3,
• salah satu dari 6 pelari sisanya bisa mendapat jalur 4,
• salah satu dari 5 pelari sisanya bisa mendapat jalur 5,
• salah satu dari 4 pelari sisanya bisa mendapat jalur 6,
• salah satu dari 3 pelari sisanya bisa mendapat jalur 7,
• salah satu dari 2 pelari sisanya dapat mendapat jalur 8,
• satu pelari sisanya otomatis mendapat jalur 9.

Oleh karena itu, total kemungkinan permutasi dari susunan 8 pelari pada 8 jalur lintasan adalah sebesar 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 cara.

Jika Anda menggunakan kalkulator permutasi kami, cukup masukkan angka 8 di kedua kolom, yaitu n (objek) dan r (sampel), lalu klik "Hitung" untuk langsung mendapatkan hasil 40.320.

Permutasi dari Himpunan Bagian

Pada contoh lintasan lari, kita menghitung permutasi dengan melibatkan keseluruhan objek yang ada. Namun dalam praktiknya, sering kali kita menghadapi situasi di mana hanya sebagian objek (himpunan bagian) yang dipilih dan disusun ke dalam kelompok yang lebih kecil.

Dalam skenario ini, jumlah total objek dilambangkan sebagai n, sedangkan jumlah objek yang dipilih sebagai sampel dilambangkan dengan r. Rumus matematika untuk menghitung total permutasinya adalah:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Rumus di atas secara spesifik digunakan untuk menyelesaikan soal permutasi tanpa pengulangan, yaitu ketika Anda perlu menyusun sekumpulan sampel sebanyak r yang diambil dari total himpunan n ke dalam urutan tertentu.

Sementara itu, jika ukuran sampel sama dengan jumlah keseluruhan himpunan (memilih semua elemen secara utuh) dalam urutan tertentu dan tanpa pengulangan, rumusnya akan disederhanakan menjadi:

$$ₙPᵣ=n!$$

Contoh

Melanjutkan studi kasus pelari di atas, anggaplah kini ada tiga medali yang diperebutkan di perlombaan 100 meter tersebut. Juara pertama akan memenangkan medali emas, sementara juara kedua dan ketiga masing-masing mendapatkan medali perak dan perunggu. Dari total 8 pelari yang bertanding, berapa banyak kemungkinan formasi peraih medali emas, perak, dan perunggu?

Menggunakan prinsip dasar perhitungan, 1 dari 8 pelari berpeluang menempati posisi pertama. Setelah juara pertama ditentukan, tersisa 7 pelari yang akan memperebutkan posisi kedua. Kemudian, setelah posisi kedua terisi, 6 pelari tersisa akan bersaing untuk posisi ketiga. Oleh karena itu, total kemungkinan susunan permutasi untuk podium pertama hingga ketiga dari 8 pelari tersebut adalah: 8 × 7 × 6 = 336.

Jika dihitung menggunakan rumus baku:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Maka perhitungannya menjadi:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Untuk perhitungan instan, buka kalkulator permutasi, masukkan nilai 8 di kotak n (objek) dan 3 di kotak r (sampel), lalu klik "Hitung" untuk langsung mendapatkan hasil 336.

Permutasi dan Kombinasi: Perbedaannya

Selain permutasi, teknik perhitungan matematika lain yang tak kalah penting adalah kombinasi. Kombinasi merupakan cara untuk memilih sejumlah objek yang lebih kecil (sampel r) dari total himpunan objek yang lebih besar (n). Jumlah kombinasi r objek dari total n objek umumnya dilambangkan dengan ₙCᵣ.

Seperti yang telah kita bahas, konsep dasar permutasi sangat menitikberatkan pada urutan atau susunan. Hal inilah yang menjadi perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi, karena dalam menghitung kombinasi, urutan objek tidaklah penting.

Sebagai ilustrasi, permutasi dua huruf dari himpunan huruf XYZ akan menghasilkan susunan: XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY. Total ada enam permutasi karena urutan diperhitungkan secara berbeda.

Namun, jika kita menggunakan kombinasi untuk memilih dua huruf dari XYZ, hasilnya hanya akan ada tiga kelompok kombinasi: XY, XZ, dan YZ. Ini karena dalam konsep kombinasi, kelompok huruf XY dan YX dianggap sebagai satu identitas yang sama. Begitu pula dengan XZ dan ZX, maupun YZ dan ZY. Jelas terlihat bahwa arah atau urutan penyusunan sama sekali tidak berpengaruh dalam kombinasi.

Anda dapat menggunakan rumus berikut untuk menghitung jumlah kombinasi sampel r dari total objek n:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Contoh Penghitungan Kombinasi

Kembali pada studi kasus pelari di atas, kita telah memecahkan masalah mengenai banyaknya cara memilih juara pertama, kedua, dan ketiga dari 8 kontestan menggunakan permutasi. Sekarang, bagaimana jika kita sekadar ingin memilih 3 peraih medali dari 8 pelari tersebut, tanpa mempedulikan posisi juaranya? Tidak masalah apakah pelari tersebut menempati juara pertama, kedua, atau ketiga—yang terpenting mereka berhasil membawa pulang medali.

Kasus semacam ini harus diselesaikan menggunakan pendekatan kombinasi karena hierarki atau urutan medali tidak lagi penting.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Banyaknya cara untuk memilih sekadar 3 peraih medali dari 8 pelari dapat dihitung sebagai berikut:

$$₈C₃=\frac{8!}{3!× \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3!× 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Contoh Penghitungan Permutasi

1. Seorang produser acara berita akan mengundang 3 dari 5 calon pembicara tamu untuk sebuah program analisis. Urutan presentasi tamu sangatlah penting. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat oleh produser untuk jadwal tampil para pembicara tamu tersebut? Mengingat urutannya krusial dan satu tamu tidak mungkin tampil ganda di segmen yang sama (tidak ada pengulangan), kita dapat langsung menggunakan rumus permutasi:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!}= \frac{5!}{2!}= 5 × 4 × 3 = 60$$

Dapat disimpulkan bahwa sang produser memiliki 60 cara berbeda untuk menyusun jadwal tampil para tamu tersebut.

2. Seorang kritikus kuliner telah menyeleksi 10 restoran sushi terbaik di kotanya untuk menentukan peringkat 3 restoran sushi teratas. Daftar tersebut harus disajikan secara hierarkis guna menunjukkan tempat mereka dalam peringkat secara presisi. Tentu saja, satu nama restoran tidak bisa menempati lebih dari satu peringkat. Kondisi ini sangat memenuhi syarat perhitungan permutasi—urutan peringkat sangat dinilai dan menolak adanya pengulangan elemen. Kita akan menggunakan rumusnya:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!}= \frac{10!}{7!}= 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Sebagai catatan, ketika kita menyebutkan bahwa "urutan itu penting" dalam permutasi, hal tersebut tidak selalu merujuk pada urutan numerik mutlak seperti angka 1 sampai 10. Konsep "urutan" di sini juga merujuk pada alokasi spesifik dari elemen-elemen ke objek atau lokasi tertentu.

Misalnya, bayangkan seorang manajer di sebuah penyedia layanan renovasi rumah. Hari ini, ia menerima empat pesanan mengecat untuk lokasi yang berbeda: kantor agen visa, gudang pabrik, butik pakaian, dan kamar rumah pribadi. Perusahaan tersebut mempekerjakan enam tukang cat. Setiap tukang hanya dapat ditugaskan ke 1 lokasi per harinya, yang berarti 2 pekerja sisanya akan mendapat hari libur.

Empat lokasi pengecatan tersebut (kantor agen visa, gudang pabrik, butik pakaian, dan kamar rumah pribadi) bertindak selayaknya perwakilan dari posisi 1, 2, 3, dan 4.

Manajer tersebut akan menghadapi skenario perhitungan berikut:

• Ada 6 pilihan tukang cat yang bisa ditugaskan ke kantor agen visa,
• 5 tukang cat sisanya bisa ditugaskan ke gudang pabrik,
• 4 tukang cat sisanya siap dikirim ke butik pakaian,
• 3 tukang cat yang tersisa bisa ditugaskan mengecat kamar di rumah pribadi.

Secara logis, total variasi pilihannya dapat dihitung cepat melalui perkalian: 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Pemberian tugas spesifik kepada para tukang di tiap lokasi mengisyaratkan bahwa urutan alokasi ini amat penting bagi operasional. Selain itu, dilarang ada pengulangan, di mana satu pekerja mustahil mengerjakan lebih dari satu proyek di hari yang sama. Dengan demikian, penerapan rumus permutasi kembali menjadi solusi mutlak:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!}= \frac{6!}{2!}= 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Berdasarkan perhitungan di atas, ternyata ada 360 cara alokasi berbeda yang dapat diatur oleh sang manajer untuk membagikan tugas pengecatan hari itu kepada para pekerjanya.