順列計算機

順列計算機は、n個の異なる要素からr個を選び出し、順序を考慮して並べる方法の総数（順列）を簡単に求めることができる便利なツールです。順列は、グループ内の要素の「配置順序」が重要な場合に用いられます。全体の要素数はn、選び出す要素数はrで表されます。

例えば、X、Y、Zの3つの文字から2文字を選んで並べる場合、XY、XZ、YZ、YX、ZX、ZYの6通りの順列が存在します。

順列計算機の使い方は非常にシンプルです。全体の要素数である「n」と、選び出して並べる要素数である「r」を入力し、「計算」ボタンをクリックするだけです。「クリア」ボタンを押せば入力値をリセットでき、すぐに新しい数値で計算をやり直すことができます。

順列

順列（Permutation）とは、ある集合の要素を特定の順序で並べることを指します。集合がすでに順序付けられている場合、それはその要素の順列の一つです。順列においては「順番」が非常に重要となります。例えば、順列「AB」と「BA」は全く異なる2つの順列として扱われます。n個の要素からr個を選んで並べる順列の数は、一般に ₙPᵣ として表されます。

順列の総数は、対象となる要素の種類や、同じ要素の重複（繰り返し）を許すかどうかによって計算方法が異なります。通常、特に明記されていない限り、重複を許さない「非重複順列」として計算されます。

本記事では、この重複を許さない順列（非重複順列）の基本概念や計算例について詳しく解説します。

順列は「積の法則（数え上げの基本原理）」に基づいています。ある事象がk個の連続したステップで構成されているとします。1番目のステップがn₁通り、2番目のステップがn₂通り、さらにk番目のステップがnₖ通り発生する場合、事象全体が連続して発生する総数は、各ステップのパターンの積である n₁ × n₂ × ... × nₖ で求められます。

文字A、B、Cを重複させずに並べる順列の総数を考えてみましょう。最初の文字にはA、B、Cのどれでも選べるため、3通りの選択肢があります。

最初の文字を決めた後、残りは2文字となるため、2番目の文字の選択肢は2通りです。2番目の文字が決まると残りは1文字となり、3番目の文字の選択肢は1通りのみとなります。

したがって、積の法則により、文字A、B、Cを並べる方法は 3 × 2 × 1 = 6 通りとなります。具体的には、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6パターンです。

階乗

前述の通り、3つの異なる要素をすべて並べる順列の数は 3 × 2 × 1 = 6 で計算できることがわかりました。これを一般化すると、n個の要素すべてを並べる順列の総数は、n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 で求められます。

これは、nから1までのすべての整数の積です。ある自然数nから1までのすべての整数の積を「階乗（Factorial）」と呼び、数学では感嘆符（!）を用いて表します。

つまり、 n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 であり、これを「nの階乗」と読みます。

なお、定義により 0! = 1 であり、1! = 1 となる点に注意してください。

順列の例

オリンピックなどの陸上競技の標準トラックは通常9レーンあります。しかし、100メートル走では通常レーン1は使用されず、8人のランナーがレーン2からレーン9に配置されます。では、この8人のランナーをレーン2から9に配置する方法は全部で何通りあるでしょうか？

積の法則を用いて計算すると、以下のようになります：

• レーン2には、8人のランナーの誰でも配置できるため、8通り。
• レーン3には、残りの7人のランナーの誰かを配置できるため、7通り。
• レーン4には、残りの6人のランナーから選ぶため、6通り。
• レーン5には、残りの5人のランナーから選ぶため、5通り。
• レーン6には、残りの4人のランナーから選ぶため、4通り。
• レーン7には、残りの3人のランナーから選ぶため、3通り。
• レーン8には、残りの2人のランナーから選ぶため、2通り。
• レーン9には、最後の1人が入るため、1通り。

したがって、8つのレーンに8人のランナーを配置する順列の総数は、 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 通りとなります。

当サイトの順列計算機を使用する場合は、「n（全体の要素数）」と「r（選び出す要素数）」の両方のボックスに「8」を入力し、「計算」をクリックするだけで、瞬時に40,320という結果を得ることができます。

サブセットの順列

これまでの例では、すべての要素を並べる場合（n個からn個を選ぶ順列）を計算しました。しかし、全体の一部だけを抽出して並べる場合（サブセットの順列）も頻繁に発生します。

このような場合、全体の要素数をn、選び出す要素数（サンプルサイズ）をrとすると、順列の数は以下の公式で求められます：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

この公式は、重複を許さず、集合nの中からr個を選んで特定の順序で並べる場合の順列計算に使用されます。

なお、集合のすべての要素を重複なしで並べる場合（つまり r = n の場合）は、以下の式が成り立ちます：

$$ₙPᵣ=n!$$

例

先ほどの100メートル走の例では、8人のランナー全員のレーン配置を考えました。今度は同じレースにおいて、メダルの獲得パターンを考えてみましょう。1位が金メダル、2位が銀メダル、3位が銅メダルを獲得します。8人のランナーの中から、金、銀、銅のメダリストを決定する方法は全部で何通りあるでしょうか？

積の法則に基づくと、金メダル（1位）を獲得する可能性は8人のランナー全員にあります。1位が決まった後、銀メダル（2位）を獲得できるのは残りの7人です。さらに、2位が決まった後、銅メダル（3位）を獲得できるのは残りの6人となります。したがって、8人のランナーから1位〜3位を決める順列の総数は次のようになります： 8 × 7 × 6 = 336 通り

これを順列の公式に当てはめてみましょう：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

すると、以下の計算式が得られます。

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

順列計算機を使用する場合は、「n」のボックスに8、「r」のボックスに3を入力し、「計算」をクリックするだけで、336という結果が瞬時に算出されます。

順列と組み合わせ:違い

順列と並んで重要なもう一つの数え上げの手法が「組み合わせ（Combination）」です。組み合わせとは、n個の要素から順序を気にせずにr個を選ぶ方法のことです。n個からr個を選ぶ組み合わせの数は、一般に ₙCᵣ と表記されます。

順列では「並べる順序」が非常に重要であると説明しました。これがまさに順列と組み合わせの決定的な違いです。組み合わせにおいて、要素の並び順は一切考慮されません。

例えば、X、Y、Zの3文字から2文字を選ぶ順列の場合、XY、XZ、YZ、YX、ZX、ZYの6通りになると説明しました。

しかし、同じ条件で組み合わせを考えると、XY、XZ、YZの3通りのみとなります。組み合わせでは「XY」と「YX」は全く同じものとして扱われるからです。同様に「XZ」と「ZX」、「YZ」と「ZY」も同一視されます。このように、組み合わせの計算では選ばれた要素の順序は関係ありません。

n個の要素からr個の要素を選ぶ組み合わせの数は、以下の公式で求められます：

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

組み合わせの計算例

先ほどの陸上競技の例では、8人のランナーから1位、2位、3位のポジションを決める方法（順列）を計算しました。では今度は、順位を考慮せず、8人のランナーから単に「メダルを獲得する3人」を選ぶ方法が何通りあるかを知りたいとします。つまり、1位、2位、3位の区別をせず、とにかくメダリストになる3人を選ぶケースです。

この場合、選ばれた人の順序（順位）は重要ではないため、順列ではなく組み合わせを使用します。したがって、組み合わせの公式を適用します。

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8人のランナーから3人のメダリストを選ぶ組み合わせの数は、次のようになります：

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

順列の計算例

1. あるニュース番組のプロデューサーが、5人のゲスト候補から3人を選んで討論コーナーに出演させるとします。ゲストの発言順序は番組の進行上重要です。プロデューサーは、ゲストの登壇順序を何通りアレンジできるでしょうか？ この場合、登壇順序が重要であり、同じゲストが2回登場することはない（重複なし）ため、順列の公式を使用します。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

したがって、ゲストの登壇順序の組み合わせ（順列）は60通りあることがわかります。

2. あるレストラン評論家が、町にある10軒の優良な寿司屋の中から、トップ3のランキングを作成することにしました。このランキングは順位を明確にする必要があり、同じ店舗が複数回ランクインすることはありません。これは「順序が重要」かつ「重複なし」という順列の条件を完全に満たしています。順列の公式を適用してみましょう：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. 順列において「順序が重要」というのは、必ずしも「1位から順に」といった数字のランク付けだけを意味するわけではありません。要素を割り当てる「対象（場所や役割）」が異なる場合も、順序が重要であると見なされます。

例えば、住宅リフォーム会社のマネージャーの例を考えてみましょう。彼は今日、塗装の依頼を4件受けています。現場は「ビザ発給代理店のオフィス」「工場の倉庫」「アパレルショップ」「個人宅の部屋」の4ヶ所です。会社には6人の塗装職人がおり、1人の職人が1日に担当できるのは1つの現場のみです。現場に割り当てられなかった2人の職人は休日となります。

この場合、4つの現場（オフィス、倉庫、ショップ、個人宅）がそれぞれ、順位における「1位、2位、3位、4位」といった順序の役割を果たします。

マネージャーの職人の割り当て方は以下のようになります：

• オフィスには、6人の職人のうち誰でも割り当て可能（6通り）。
• 倉庫には、残りの5人の職人から割り当て可能（5通り）。
• アパレルショップには、残りの4人の職人から割り当て可能（4通り）。
• 個人宅には、残りの3人の職人から割り当て可能（3通り）。

したがって、直感的に考えても、割り当ての総数は 6 × 5 × 4 × 3 = 360 通りになると計算できます。

「どの職人をどの現場に配置するか」という順序（割り当ての組み合わせ）が重要であり、一人の職人が複数の現場を担当することはない（重複なし）という条件が揃っています。したがって、順列の公式を適用することができます。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

これにより、リフォーム会社のマネージャーが6人の職人を4つの現場に割り当てる方法は、全部で360通りあることがわかります。