Proportionsberechnung

Unser professioneller Verhältnisrechner ermittelt schnell und präzise den fehlenden Wert einer Proportion. Mit anderen Worten: Er wandelt ein bestehendes Verhältnis in ein äquivalentes (gleichwertiges) Verhältnis um, basierend auf einem bekannten Wert der neuen Gleichung.

Bedienungsanleitung

So nutzen Sie den Verhältnisrechner

Nutzen Sie diesen Online-Rechner, wenn Sie eine Proportion mit einer unbekannten Variablen lösen möchten. Das Tool berechnet den fehlenden Wert aus der folgenden Gleichung:

A : B = C : D

Um die Berechnung durchzuführen, geben Sie einfach drei beliebige Werte für A, B, C oder D ein und klicken Sie auf "Berechnen". Der Rechner ermittelt nicht nur den fehlenden Wert, sondern erstellt auch anschauliche visuelle Darstellungen des Verhältnisses. Dazu gehören ein Kreisdiagramm (Tortendiagramm), ein Balkendiagramm und ein Rechteck, dessen Seitenlängen genau den Zahlen des gegebenen Verhältnisses entsprechen. Die Grafiken veranschaulichen dabei das Wertepaar, von dem ursprünglich beide Zahlen bekannt waren.

Geben Sie beispielsweise die Werte A, B und C ein, berechnet das Tool den Wert D und visualisiert das Verhältnis A : B. Geben Sie stattdessen B, C und D ein, erhalten Sie den fehlenden Wert für A sowie die grafische Darstellung des Verhältnisses C : D.

Verhältnisse und Proportionen

Definition eines Verhältnisses

Ein Verhältnis ist eine mathematische Methode, um zwei Werte miteinander zu vergleichen. Es gibt an, in welcher Beziehung zwei Größen zueinander stehen bzw. wie oft ein Wert in einem anderen enthalten ist. In der Regel werden Verhältnisse als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen Doppelpunkt getrennt sind (z. B. 1 : 3 oder 5 : 9). Sie können jedoch auch als Bruch oder sprachlich mit dem Wörtchen "zu" ausgedrückt werden. Hier sind die gängigsten Schreibweisen für Verhältnisse:

9:4

1 zu 3

4/5 oder \$\frac{4}{5}\$

Verhältnisse lassen sich auch hervorragend visuell als Torten- oder Balkendiagramm darstellen. Das Verhältnis 1 zu 3 kann beispielsweise auch als 1 : 3 oder 1/3 notiert und wie folgt abgebildet werden:

Verhältnisse skalieren (Erweitern und Kürzen)

Verhältnisse können beliebig nach oben erweitert (vergrößert) oder nach unten gekürzt (verkleinert) werden. Um ein Verhältnis zu erweitern, multipliziert man beide Zahlen mit demselben Faktor. Wenn Sie beispielsweise das Verhältnis 1 : 3 um den Faktor 4 vergrößern möchten, multiplizieren Sie sowohl die 1 als auch die 3 mit 4:

1 : 3 = (1 × 4) : (3 × 4) = 4 : 12

Beachten Sie, dass das neue Verhältnis dem ursprünglichen Verhältnis exakt entspricht, da der Bruch 4/12 wieder auf den Ausgangsbruch 1/3 gekürzt werden kann. Um ein Verhältnis zu verkleinern (zu kürzen), dividieren Sie beide Zahlen durch denselben Wert. Um beispielsweise das Verhältnis 25 : 70 um den Faktor 5 zu verkleinern, teilen Sie sowohl die 25 als auch die 70 durch 5:

25 : 70 = (25/5) : (70/5) = 5 : 14

Auch hier ist das Endergebnis gleichwertig mit dem Ausgangsverhältnis, da sich der ursprüngliche Bruch 25/70 auf den vereinfachten Bruch 5/14 kürzen lässt.

Beispiel 1

Das Skalieren von Verhältnissen ist im Alltag besonders beim Kochen und Backen nützlich – etwa, wenn Sie ein Rezept für eine andere Anzahl an Personen anpassen möchten. Angenommen, ein Pfannkuchenrezept für eine Person erfordert eine halbe Tasse Mehl und eine Tasse Milch. Sie möchten nun Pfannkuchen für eine 8-köpfige Familie zubereiten. Wie berechnen Sie die neue Zutatenmenge?

Lösung

Das ursprüngliche Verhältnis lässt sich wie folgt notieren:

0,5 : 1

Da Sie Pfannkuchen für 8 Personen benötigen, müssen Sie das vorliegende Verhältnis mit dem Faktor 8 erweitern. Dazu multiplizieren Sie beide Zahlen des ursprünglichen Verhältnisses mit 8:

0,5 : 1 = (0,5 × 8) : (1 × 8) = 4 : 8

Das neue, angepasste Verhältnis lautet somit 4 : 8.

Proportionen

Eine Proportion ist in der Mathematik eine Gleichung, die aus zwei gleichwertigen Verhältnissen besteht. Zum Beispiel:

1 : 2 = 2 : 4

5 : 6 = 30 : 36

Proportionen besitzen eine grundlegende Eigenschaft, die bei der Berechnung von Verhältnissen extrem nützlich ist: die Kreuzprodukt-Regel (häufig beim Dreisatz angewendet). Diese besagt, dass das Produkt der Innenglieder (die mittleren Zahlen der Gleichung) stets gleich dem Produkt der Außenglieder (die äußeren Zahlen der Gleichung) ist.

In der obigen Proportion 5 : 6 = 30 : 36 sind beispielsweise 6 und 30 die Innenglieder, während 5 und 36 die Außenglieder darstellen. Nach der Regel des Kreuzprodukts gilt somit: 6 × 30 = 5 × 36. Überprüfen wir das: 6 × 30 = 180, und 5 × 36 = 180. Die Gleichung geht auf!

Beispiel 2

Verhältnisse – genauer gesagt Seitenverhältnisse – werden in der Technik häufig zur Definition von Bildschirmgrößen und Videoauflösungen verwendet.

Die klassische 480p-Auflösung älterer Kameras zeichnet sich beispielsweise typischerweise durch ein Seitenverhältnis von 4:3 aus. Bei diesem Format ist die Höhe des Videos kleiner als seine Breite und beträgt genau 480 Pixel. Wie groß ist in diesem Fall die Breite des Videos in Pixeln?

Lösung

Wir wissen, dass das Seitenverhältnis 4 : 3 beträgt. Dies bildet die erste Seite unserer Proportion. Da die Höhe kleiner ist als die Breite, entspricht der Wert 480 der kleineren Zahl im Verhältnis (also der 3). Aus diesen Informationen können wir die folgende Gleichung aufstellen:

4 : 3 = Breite : Höhe

4 : 3 = Breite : 480

Die unbekannte Breite lässt sich nun ganz einfach mithilfe des Kreuzprodukts ermitteln:

3 × Breite = 4 × 480

Breite = (4 × 480)/3 = 1920/3 = 640

Ein Video mit einer 480p-Auflösung und einem Seitenverhältnis von 4:3 hat demnach eine Breite von 640 Pixeln und eine Höhe von 480 Pixeln.

Beachten Sie, dass verschiedene Endgeräte teils abweichende Seitenverhältnisse für ihre Auflösungen verwenden, was zu unterschiedlichen Video-Breiten führt. Der iPod Touch 4 nutzte beispielsweise ebenfalls eine 480p-Auflösung, jedoch im 3:2-Format, was zu einer Bildgröße von 720 × 480 Pixeln führte. Ein Samsung Galaxy S II arbeitete wiederum mit 480p im Seitenverhältnis 5:3, wodurch sich eine Breite von 800 Pixeln bei einer Höhe von 480 Pixeln ergab.