Verhältnisrechner

Verhältnisrechner

Mit dem Verhältnisrechner können Sie Verhältnisse vereinfachen, fehlende Werte in Proportionen ermitteln und feststellen, ob die beiden gegebenen Verhältnisse gleichwertig sind. Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Zahlen in einer wissenschaftlichen Notation als Eingaben. Ein Beispiel für eine Zahl in einer wissenschaftlichen Notation ist 2e5, was 2 × 10⁵ entspricht. Es gibt eine Eingabebeschränkung von 15 Zeichen, d.h. jede Eingabe (A, B, C oder D) darf nicht länger als 15 Zeichen sein.

Bedienungsanleitung

1. Um den Rechner als Verhältnisrechner zu verwenden, oder anders gesagt, um ein Verhältnis zu vereinfachen, geben Sie den Zähler und den Nenner für eine Seite des Verhältnisses ein. Geben Sie A und B oder C und D ein. Drücken Sie dann auf „Calculate“ (Berechnen). Der Quotientenrechner vereinfacht dann das gegebene Verhältnis und gibt die Antwort in den kleinsten Termen zurück.

Angenommen, die bekannten Werte wurden als ganze Zahlen oder in wissenschaftlicher Notation eingegeben. In diesem Fall zeigt der Rechner auch die Schritte der Lösung an.

Angenommen, der eingegebene Wert befindet sich bereits in den kleinsten Termen. In diesem Fall findet der Rechner ein entsprechendes Verhältnis, indem er den Zähler und den Nenner des Bruchs mit 2 multipliziert.

2. Um den Rechner für die Suche nach einem fehlenden Wert in einem Verhältnis zu verwenden, geben Sie die drei bekannten Werte ein und lassen das Feld für den unbekannten Wert leer. Sie können beliebige Felder für den unbekannten Wert verwenden - A, B, C oder D. Nachdem Sie die drei bekannten Werte eingegeben haben, drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt die gelöste Proportion mit allen vier Werten zurück. Wenn es sich bei den eingegebenen Werten um ganze Zahlen handelt, würde der Rechner auch die Lösung der Aufgabe anzeigen.

Definitionen und wichtige Formeln

In der Mathematik ist ein Verhältnis definiert als ein geordnetes Paar von Zahlen a und b. Wir verwenden Verhältnisse, um zwei Werte zu vergleichen, indem wir eine der Zahlen durch eine andere Zahl dividieren.

Ein Verhältnis von a zu b kann als \$\frac{a}{b}\$, a/b oder a:b geschrieben werden. Im Allgemeinen wird angenommen, dass b ≠ 0 ist, da b im Nenner des Bruchs steht. Verhältnisse werden im wirklichen Leben häufig verwendet, um zwei beliebige Mengen zu vergleichen.

Wenn zum Beispiel 2 Mädchen und 6 Jungen in einer Klasse sind, ist das Verhältnis von Mädchen zu Jungen 2:6 oder, vereinfacht ausgedrückt, 1:3, was bedeutet, dass auf jedes Mädchen drei Jungen kommen.

Eine Proportion ist ein Ausdruck, der zwei Verhältnisse gleichsetzt. In unserem vorherigen Beispiel könnte das Verhältnis wie folgt geschrieben werden:

$$2:6::1:3$$

oder

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

oder

$$2:6=1:3$$

In einem Verhältnis a:b=c:d werden der zweite und der dritte Term, b und c, als "Mittelwerte" des Verhältnisses bezeichnet. Und der erste und der letzte Term, a und d, werden die "Extreme" genannt. Proportionen haben eine wichtige Eigenschaft, die Mittelwert-Extremwert-Eigenschaft oder die Proportionsformel.

Die Proportionsformel

In jeder Proportion a:b=c:d ist das Produkt der Mittelwerte b × c gleich dem Produkt der Extremwerte a × d. Oder, mathematisch ausgedrückt:

Wenn

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Dann

$$a × d = b × c$$

Diese Formel ermöglicht es uns, einen fehlenden Term einer Proportion zu finden. Wenn wir zum Beispiel die gegebene Proportion für a lösen müssten, würden wir die Proportionsformel wie folgt umformulieren:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

Schauen wir uns die Berechnungsbeispiele für alle drei oben beschriebenen Szenarien an.

Beispiel 1

Jane ist Landschaftsarchitektin und entwirft einen Außenbereich für einen Kunden. Der Raum hat eine Fläche von 216 Quadratmetern, und sie hat einen Plan erstellt, in dem ein Swimmingpool 64 Quadratmeter einnimmt. Kurz bevor Jane ihren Entwurf einreicht, kommt der Kunde mit der Forderung, dass mindestens ein Drittel der Fläche durch den Pool eingenommen werden muss. Muss sie einen neuen Entwurf anfertigen oder kann sie den bestehenden Entwurf einreichen?

Um festzustellen, ob sie einen neuen Entwurf entwerfen muss oder nicht, muss sie das Verhältnis zwischen der Poolfläche und der gesamten Außenfläche ermitteln und diesen Wert dann mit 1/3 vergleichen.

Es wird angenommen, dass der Pool 64 Quadratmeter einnimmt, während die gesamte Außenfläche 216 Quadratmeter beträgt. Das benötigte Verhältnis ist also: 64/216.

Das Verhältnis ist nicht in den kleinsten Einheiten. Daher können wir es vereinfachen. Wir können das Verhältnis vereinfachen, indem wir den Zähler und den Nenner durch den größten gemeinsamen Faktor (den GCF) dividieren.

Der größte gemeinsame Faktor des Zählers (64) und des Nenners (216) ist 8. Dividiert man beide Terme durch den GCF, 8, erhält man:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Daraus folgt,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Der Pool nimmt 8/27 der gesamten Außenfläche ein. Der Kunde möchte jedoch, dass er mindestens 1/3, also 9/27 der Gesamtfläche einnimmt. 8/27 < 9/27, und leider muss Jane einen neuen Entwurf entwerfen.

Vereinfachung des Verhältnisses

Um schnell die Lösung des Problems zu finden, geben Sie 64 und 216 in die Felder A und B (oder C und D) ein und drücken Sie auf "Berechnen".

Antwort:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Einen fehlenden Wert finden

Finden Sie einen fehlenden Wert in der folgenden Proportion:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Um einen unbekannten Proportionswert zu ermitteln, verwenden wir die Proportionsformel. Sie besagt, dass das Produkt der Mittelwerte immer gleich dem Produkt der Extremwerte im Verhältnis ist. Wir können das gegebene Verhältnis wie folgt schreiben:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

99 und 4 sind die Mittelwerte in diesem Verhältnis und 3 und der unbekannte Wert x sind die Extrema. Daher:

$$3 × x = 4 × 99$$

und

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Antwort

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Beispiel 2

Helen möchte einen Übersetzer beauftragen, mehrere Artikel aus dem Englischen ins Japanische zu übersetzen. Auf der Website des Übersetzers wird ein Durchschnittspreis von $20 für eine Übersetzung von 600 Wörtern angegeben. Die Artikel von Helen umfassen insgesamt etwa 20.000 Wörter. Wie soll sie die Auftragskosten berechnen, wenn der Übersetzer sich weigert, ihr einen Rabatt zu gewähren?

Geben Sie einige gleichwertige Einheiten in die Felder A und C ein. Geben Sie andere gleichwertige Einheiten in die Felder B und D ein.

In diesem Beispiel verwenden wir A und С für die Anzahl der Wörter und B und D für das Geld. Die Felder A und B sind für den ersten Fall (der aktuelle Kurs des Übersetzers), die Felder C und D für den zweiten Fall (der mögliche Kurs für Helens Auftrag).

• In Feld A geben Sie die Anzahl der Wörter zum Tarif des Übersetzers ein - 600.
• In Feld B geben Sie den Preis für 600 Wörter ein, d.h. 20.
• In Feld C geben Sie die Anzahl der Wörter in Ihrem Auftrag ein, d.h. 20.000.
• Und in Feld D erhalten Sie das Ergebnis 666.66666666667.

Dann können Sie das Ergebnis auf $667 aufrunden. Vergessen Sie nicht, dass Helen für Großbestellungen einen Rabatt verlangen kann, aber $667 kann ein guter Ausgangspunkt für Verhandlungen sein.

Beispiel 3

Jack macht Urlaub in Indonesien und möchte seine Bargelddollars in die Landeswährung der indonesischen Rupiah umtauschen. Er braucht das Geld, um einen Yamaha X-Max Maxi-Scooter bar zu bezahlen, der 3.500.000 Rupiahs pro Monat kostet.

Er weiß, dass der Wechselkurs in der nächstgelegenen Wechselstube seines Hotels heute 14.750 Rupiahs für einen US Dollar beträgt. Wie viele Dollar muss er umtauschen, um 3.500.000 Rupien zu erhalten?

Und wieder verwenden wir einige gleichwertige Einheiten in den Feldern A und C und andere gleichwertige Einheiten in den Feldern B und D.

In diesem Beispiel verwenden wir A und С für indonesische Rupiah und B und D für US-Dollars.

• In Feld A geben Sie die Anzahl der Rupien pro $1 ein - 14.750.
• In Feld B geben Sie den Gegenwert dieses Betrags in Dollar ein, also 1.
• In Feld C geben Sie die Anzahl der Rupien ein, die Sie erhalten möchten, d.h. 3.500.000.
• In Feld D erhalten Sie den gewünschten Betrag in Dollar, d.h. 237,28813559322.

Es stellt sich heraus, dass der Geldwechsler, wenn er keine Provision nimmt, mindestens 237 Dollar umtauschen muss, um die Rollermiete für einen Monat zu bezahlen. Wahrscheinlich wird er eine rundere Summe umtauschen - $250 oder $300.

Mit dem Taschenrechner die Lösung finden

Um den Taschenrechner für den Vergleich der beiden Verhältnisse 4/16 und 3/12 zu verwenden, geben Sie 4 in Feld A und 16 in Feld B ein, um eine Seite des Verhältnisses zu vervollständigen. Geben Sie 3 in Feld C und 12 in Feld D ein, um die andere Seite des Verhältnisses zu vervollständigen. Drücken Sie dann auf "Berechnen".

Antwort

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

ist WAHR

Eigenschaften von Proportionen

Die wichtigste Eigenschaft von Proportionen (und die nützlichste) ist die Eigenschaft Mittelwert-Extrema. Proportionen haben jedoch noch einige andere interessante Eigenschaften.

Die Permutation der Mittelwerte und der Extremwerte:

Wenn

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dann ist mit der Mittelwert-Permutation Folgendes wahr:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Und mit der Permutation der Extrema ist Folgendes wahr:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Das Erhöhen und Verringern des Anteils kann nach folgender Regel erfolgen:

Wenn

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dann kann der Anteil wie folgt erhöht werden:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

Und verringert sich wie folgt:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Zusammensetzen einer Proportion durch Addition und Subtraktion Wenn

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dann ist Folgendes wahr:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Und

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Der Goldene Schnitt

In der Mathematik befinden sich zwei Werte in einem goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis des größeren Wertes zum kleineren gleich dem Verhältnis der Summe dieser Werte zum größeren Wert ist. Oder, mathematisch ausgedrückt: Für a>b>0 kann der Goldene Schnitt wie folgt geschrieben werden:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Das menschliche Gehirn betrachtet den Goldenen Schnitt als das perfekte Verhältnis der Teile zu einem Ganzen. Und der Goldene Schnitt wird in der Natur, der Wissenschaft und der Kunst häufig beobachtet.