Flächenrechner

Mit diesem vielseitigen Flächenrechner können Sie schnell und einfach den Flächeninhalt der wichtigsten geometrischen Formen berechnen – darunter Rechteck, Dreieck, Trapez, Kreis, Kreissektor, Ellipse und Parallelogramm. Da die Fläche die exakte Größe einer zweidimensionalen Oberfläche beschreibt, ist dieses Tool der perfekte Online-Rechner für Schule, Beruf und handwerkliche Projekte.

Bedienungsanleitung

Wählen Sie zunächst die geometrische Figur aus, für die Sie den Flächeninhalt berechnen möchten. Geben Sie anschließend die bekannten Werte in die entsprechenden Felder ein und wählen Sie die passenden Maßeinheiten aus den Dropdown-Menüs. Klicken Sie dann auf "Calculate" (Berechnen). Der Flächenrechner ermittelt sofort das Ergebnis und zeigt Ihnen nicht nur den Flächenwert, sondern auch den detaillierten Rechenweg an.

Beachten Sie: Falls Sie unterschiedliche Maßeinheiten für die Eingabe kombinieren, wird auch die Lösung entsprechend ausgewiesen. Über die Option "Ergebnisse in anderen Einheiten anzeigen" am Ende der Lösung können Sie den berechneten Flächeninhalt ganz bequem in jede gewünschte Zieleinheit umrechnen lassen.

Beschränkungen der Eingabewerte

Für alle Berechnungen gilt: Die Eingabewerte sollten als positive ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen eingetragen werden. Auch die Eingabe von 0 ist möglich.

Für bestimmte geometrische Figuren gelten zudem folgende mathematische Voraussetzungen.

Dreieck

Gemäß der Dreiecksungleichung muss die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten stets größer sein als die Länge der dritten Seite.

Sektor

Der Winkel muss zwischen 0 und 360 Grad oder zwischen 0 und 6,2831853071796 im Bogenmaß (Radiant) liegen.

Bitte beachten Sie, dass das Symbol "π" (Pi) für die Eingabe von Winkeln im Bogenmaß nicht unterstützt wird. Sie müssen den Winkel vorab als Dezimalzahl berechnen. Möchten Sie beispielsweise einen Winkel von 45° im Bogenmaß eingeben, rechnen Sie wie folgt: 45° = π/4 = 0,785398 rad. Geben Sie dann 0,785398 als Winkelwert ein.

Formeln und Berechnungsbeispiele

Der Flächeninhalt beschreibt die absolute Größe einer zweidimensionalen Oberfläche. Er gibt an, wie viele sogenannte Einheitsquadrate exakt in eine bestimmte Figur passen. Der Quadratmeter (m²) ist dabei die Standardmaßeinheit im Internationalen Einheitensystem (SI). Ein Quadratmeter entspricht der Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von genau 1 Meter:

Rechteck

Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus der Anzahl der Einheitsquadrate, die innerhalb seiner Begrenzungen Platz finden. Wenn ein Rechteck beispielsweise 3 Meter lang und 2 Meter breit ist, lässt sich seine Fläche berechnen, indem man es in Einheitsquadrate unterteilt und diese zählt:

Fläche = 6 m²

Die mathematische Formel zur Berechnung der Rechteckfläche lautet:

Fläche = Breite × Länge

oder

A = w × l

Hierbei steht A für die Fläche (Area), w für die Breite (width) und l für die Länge (length) des Rechtecks.

Berechnungsbeispiel

Stellen Sie sich vor, Sie renovieren Ihr Haus und möchten im Badezimmer neue Fliesen verlegen. Sie wissen, dass der Raum rechteckig ist, eine Länge von 1,5 Metern und eine Breite von 2 Metern hat. Wie groß ist die Fläche, die gefliest werden muss?

Lösung

• Breite = w = 2m
• Länge = l = 1,5m

Setzen wir diese Werte in die Flächenformel für Rechtecke ein, um den Boden des Badezimmers zu berechnen:

A = w × l = 1,5 × 2 = 3 m²

Sie benötigen also Fliesen für eine Fläche von exakt drei Quadratmetern.

Dreieck

Es gibt verschiedene Formeln, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu ermitteln. Dieser Flächenrechner nutzt den Satz des Heron (auch bekannt als Heronische Formel), der mit dem halben Umfang arbeitet:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Dabei ist A die Fläche des Dreiecks, a, b und c sind die Seitenlängen und s ist der halbe Umfang (Halbperimeter) des Dreiecks, der wie folgt berechnet wird:

s = (a + b + c)/2

Berechnungsbeispiel

John hat ein dreieckiges Grundstück geerbt. Er weiß, dass die Seitenlängen seines Landes 45 Meter, 27 Meter und 31 Meter betragen. Wie viel Quadratmeter Land besitzt John nun?

Lösung

• Seite 1 = a = 45m
• Seite 2 = b = 27m
• Seite 3 = c = 31m

Berechnen wir zunächst den halben Umfang:

s = (a + b + c)/2 = (45 + 27 + 31)/2 = 103/2 = 51,5

Anschließend wenden wir die Heron-Formel an, um die exakte Fläche zu ermitteln:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{51,5(51,5-45)(51,5-27)(51,5-31)} = \sqrt{51,5×6,5×24,5×20,5} = \sqrt{168128,1875} = 410$$

John besitzt somit eine Grundstücksfläche von 410 m².

Trapez

Der Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich mit folgender Formel berechnen:

A = 1/2 × (b₁+b₂) × h

Hierbei stehen b₁ und b₂ für die parallelen Grundseiten des Trapezes und h für dessen Höhe.

Berechnungsbeispiel

Mary besitzt einen alten, trapezförmigen Tisch, den sie aufarbeiten lassen möchte. Die Möbelwerkstatt berechnet 150 $ pro Quadratmeter Tischfläche. Die Maße des Tisches betragen b₁ = 2m, b₂ = 1,5m und die Höhe h = 1m. Wie viel muss Mary für die Restaurierung bezahlen?

Lösung

• b₁ = 2m
• b₂ = 1,5m
• h = 1m

Berechnen wir zunächst die Oberfläche des Tisches mithilfe der Trapezformel:

A = 1/2 × (b₁ + b₂) × h = 1/2 × (2 + 1,5) × 1 = 1/2 × 3,5 × 1 = 1,75

Die Tischfläche beträgt somit 1,75 m². Um den Gesamtpreis zu ermitteln, multiplizieren wir diese Fläche mit dem Preis pro Quadratmeter:

• Gesamtpreis = A × Preis pro m² = 1,75 × 150 = 262,5*

Mary zahlt folglich 262,50 $ für die Aufarbeitung ihres Tisches.

Kreis

Den Flächeninhalt eines Kreises berechnen Sie mit dieser Formel:

A = π × r²

Dabei ist π (Pi) die mathematische Konstante (≈ 3,1415926) und r der Radius des Kreises.

Berechnungsbeispiel

Ein Rasensprenger hat eine Reichweite (Radius) von 5 Metern. Reicht ein einziger Regner aus, um eine runde Rasenfläche von 60 m² vollständig zu bewässern?

Lösung

Der Rasensprenger dreht sich im Kreis und bewässert eine Strecke von 5 m in jede Richtung.

r = 5m

Berechnen wir die maximale Fläche, die der Sprenger abdecken kann:

A = π × r² = 3,1415926 × 5² = 3,1415926 × 25 ≈ 78,5

Der Rasensprenger bewässert eine Fläche von 78,5 m². Er ist also mehr als ausreichend für eine Rasenfläche von 60 m².

Sektor

Wird ein Kreissektor durch einen Winkel in Grad definiert, können Sie seine Fläche wie folgt berechnen:

• A = (Winkel/360) × π × r²*

Hierbei ist Winkel der definierende Zentriwinkel des Sektors, r der Radius und π ≈ 3,1415926.

Wird der Sektor stattdessen durch einen Winkel im Bogenmaß (Radiant) angegeben, lautet die Flächenformel:

• A = (Winkel/2) × r²*

Auch hier ist Winkel der entsprechende Zentriwinkel und r der Radius.

Ellipse

Der Flächeninhalt einer Ellipse lässt sich leicht mit dieser Formel ermitteln:

A = π × a × b

Dabei ist π ≈ 3,1415926, a entspricht der großen Halbachse (Hälfte der längsten Ausdehnung) und b der kleinen Halbachse (Hälfte der kürzesten Ausdehnung) der Ellipse.

Parallelogramm

Die Fläche eines Parallelogramms berechnet sich durch folgende Formel:

A = b × h

Hierbei ist b die Grundseite (Basis) des Parallelogramms und h die dazugehörige Höhe.