Z-Score-Rechner

Mit unserem umfassenden Z-Score-Rechner (auch Z-Wert-Rechner genannt) können Sie alle Arten von Z-Score-bezogenen Berechnungen mühelos durchführen. Geben Sie einfach Ihren Rohwert (X), den Populationsmittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ) in den ersten Rechner ein. So ermitteln Sie den genauen Z-Score inklusive Schritt-für-Schritt-Lösungsweg und den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten für diesen speziellen Wert.

Unser integrierter Z-Score-Wahrscheinlichkeits-Konverter ermöglicht es Ihnen, schnell und unkompliziert zwischen Z-Werten und Wahrscheinlichkeiten zu wechseln, ohne mühsam in einer Z-Tabelle nachschlagen zu müssen. Die Ergebnisse decken alle möglichen Wahrscheinlichkeitsberechnungen für den jeweiligen Z-Score ab. Nutzen Sie zudem unseren dritten Rechner, um blitzschnell die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei verschiedenen Z-Werten zu berechnen.

Was ist ein Z-Score (Z-Wert)?

Der Z-Score (auf Deutsch oft Standardwert genannt) ist ein statistisches Maß. Er gibt an, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Datenpunkt vom Mittelwert eines Datensatzes entfernt liegt. Der Z-Score wird genutzt, um einen einzelnen Wert in Relation zur Gesamtheit der Daten zu setzen. Durch diese Standardisierung lassen sich Datenreihen wesentlich leichter vergleichen und analysieren.

Anhand des Z-Scores lässt sich sofort ablesen, wie "typisch" oder "untypisch" (also wie extrem) ein einzelner Datenpunkt im Vergleich zur gesamten Verteilung ist.

• Ausreißer identifizieren: Z-Werte helfen uns dabei, Datenpunkte aufzuspüren, die signifikant vom Rest der Daten abweichen. Dies ist besonders in Bereichen wie dem Finanzwesen oder der medizinischen Forschung wertvoll, wo Ausreißer auf wichtige Muster oder Anomalien hinweisen können.
• Daten aus verschiedenen Gruppen vergleichen: Mit dem Z-Score können wir Werte aus völlig unterschiedlichen Datensätzen vergleichen – selbst wenn diese unterschiedliche Einheiten oder Messbereiche aufweisen. Diese Eigenschaft ist unter anderem beim maschinellen Lernen (Machine Learning) unverzichtbar, wenn Daten aus diversen Quellen für die Modellbildung herangezogen werden.
• Daten normalisieren: Durch die Umwandlung in Z-Scores werden Daten standardisiert. Das macht sie nicht nur vergleichbar, sondern auch wesentlich leichter zu analysieren. Dies ist beispielsweise bei der Datenvisualisierung von großem Nutzen, um komplexe Informationen verständlich darzustellen.

Die Z-Score-Formel

Der Z-Score für eine Population (Grundgesamtheit)

Z = (Rohwert - Populationsmittelwert) / Populationsstandardabweichung

Z = (X - μ) / σ

Der Z-Score für eine Stichprobe

Z = (Rohwert - Stichprobenmittelwert) / Stichprobenstandardabweichung

Z = (X - x̄) / s

Interpretation des berechneten Z-Scores

Positiver Z-Score: Ein positiver Z-Wert bedeutet, dass Ihr Datenpunkt über dem Durchschnittswert (Mittelwert) des Datensatzes liegt. Mit anderen Worten: Der beobachtete Wert ist höher als der typische Wert der Verteilung.

Negativer Z-Score: Ein negativer Z-Wert zeigt an, dass Ihr Datenpunkt unterhalb des Durchschnittswerts liegt. Ihr beobachteter Wert ist somit niedriger als der typische Wert.

Höhe des Z-Scores (Absolutwert): Der Wert des Z-Scores gibt an, wie weit Ihr Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist. Je weiter der Z-Score von Null abweicht (egal ob positiv oder negativ), desto weiter liegt der beobachtete Wert vom Durchschnitt entfernt.

Z-Score und Standardabweichung

Der Z-Score und die Standardabweichung sind untrennbar miteinander verbunden, da die Standardabweichung zwingend zur Berechnung des Z-Wertes benötigt wird. Sie bildet eine der Kernkomponenten in der Z-Score-Formel.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung eines Datensatzes. Sie gibt an, wie weit die einzelnen Datenpunkte durchschnittlich vom Mittelwert abweichen. Eine große Standardabweichung bedeutet, dass die Daten weit verstreut sind.

Der Z-Score hingegen drückt aus, wie weit ein spezifischer Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist – und zwar gemessen in Einheiten der Standardabweichung. Indem Sie die Standardabweichung zur Berechnung des Z-Scores heranziehen, können Sie einen einzelnen Wert treffsicher in den Gesamtkontext einordnen und objektiv bewerten, wie gewöhnlich oder ungewöhnlich er ist.

Z-Score und die Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der realen Welt allgegenwärtig ist. Sie stellt sich grafisch als symmetrische, glockenförmige Kurve (Glockenkurve) dar, die die Verteilung von Daten rund um den Mittelwert abbildet. Nach dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß wird sie auch als Gaußsche Normalverteilung bezeichnet.

Der Z-Score gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt liegt. Wenn Sie alle Datenpunkte eines Datensatzes in Z-Scores umwandeln, standardisieren Sie diese.

Die enge Verbindung zwischen Z-Score und Normalverteilung besteht darin, dass Z-Werte genutzt werden, um beliebige normalverteilte Daten in die sogenannte Standardnormalverteilung (mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1) zu überführen. Das ist in der Statistik besonders nützlich, da viele statistische Testverfahren voraussetzen, dass die Daten standardisiert und normalverteilt sind. Die Umwandlung in Z-Scores ermöglicht somit die präzise Anwendung dieser Methoden.

Vergleich von Datenpunkten

Mithilfe des Z-Scores können Sie objektiv beurteilen, wie weit ein Datenpunkt im Verhältnis zur Standardabweichung vom Mittelwert abweicht.

Ein klassisches Beispiel für den Vergleich von Datenpunkten mithilfe von Z-Scores stammt aus dem Finanzsektor. Angenommen, Sie haben in zwei verschiedene Aktienportfolios investiert und möchten deren Performance fair vergleichen. Portfolio A hat eine durchschnittliche Rendite von 10 % bei einer Standardabweichung von 2 %. Portfolio B weist eine durchschnittliche Rendite von 8 % bei einer Standardabweichung von 3 % auf. Wenn Sie die individuellen Renditen nun in Z-Scores umrechnen, können Sie die risikobereinigte Performance beider Portfolios direkt miteinander vergleichen und ermitteln, welches Portfolio tatsächlich besser abschneidet.

Ein weiteres anschauliches Beispiel findet sich im Sport. Sie möchten die Leistung von zwei Basketballspielern vergleichen. Spieler A erzielt durchschnittlich 20 Punkte pro Spiel bei einer Standardabweichung von 5 Punkten. Spieler B erzielt durchschnittlich 18 Punkte bei einer Standardabweichung von nur 3 Punkten. Wenn beide in einem Spiel unterschiedliche Punktzahlen erzielen, können Sie durch die Umwandlung dieser Werte in einen Z-Score genau feststellen, wessen Leistung im Kontext seiner sonstigen Spiele herausragender war.

Normalisierung von Daten

Bei der Datennormalisierung werden Werte auf eine einheitliche, standardisierte Skala transformiert, um sie vergleichbar und leichter analysierbar zu machen. Das ist essenziell, wenn Datensätze unterschiedliche Maßeinheiten oder Skalenbereiche aufweisen.

Indem Sie jeden Datenpunkt in einen Z-Score umrechnen, standardisieren Sie die Daten. Der Z-Score nutzt immer dieselbe Standardskala: Der Mittelwert liegt exakt bei 0, die Standardabweichung bei 1.

Ein praktisches Beispiel aus der Psychologie: Sie möchten die Ergebnisse von zwei verschiedenen IQ-Tests vergleichen. Test A hat einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15. Test B hat einen Mittelwert von 110 und eine Standardabweichung von 10. Durch die Konvertierung beider Testergebnisse in Z-Scores können die Resultate auf eine einzige, standardisierte Skala gebracht werden. Ein direkter Vergleich der Intelligenzwerte ist so problemlos möglich.

Auch im Bildungswesen findet dieses Prinzip Anwendung. Möchten Sie die Noten von zwei Schülern aus unterschiedlichen Klassen vergleichen? Schüler A hat eine Durchschnittsnote von 80 Punkten (Standardabweichung 5). Schüler B hat 90 Punkte im Schnitt (Standardabweichung 3). Erreicht nun Schüler A 85 Punkte in einem Test und Schüler B 93 Punkte, zeigt die Umrechnung in Z-Werte, welcher Schüler sich im Vergleich zu seiner Klasse stärker verbessert hat.

Hypothesentests

Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, mit dem überprüft wird, ob genügend empirische Beweise vorliegen, um eine Nullhypothese (die Standardannahme, dass es z. B. keinen Effekt oder keinen Zusammenhang gibt) zu verwerfen. Dieses Verfahren ist in der medizinischen Forschung, den Sozialwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar, um datengestützte Entscheidungen zu treffen.

Bei Hypothesentests werden oft Z-Werte berechnet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Testergebnisses unter der Nullhypothese zu bestimmen. Sie könnten beispielsweise testen wollen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Personengruppe signifikant vom Durchschnittsgewicht der Gesamtbevölkerung abweicht. Der Z-Score (oft im Rahmen eines Z-Tests) zeigt Ihnen, ob der beobachtete Unterschied statistisch signifikant ist oder nur auf Zufall beruht.

Ein Anwendungsfall aus der Medizin: Sie testen, ob ein neues Medikament die Symptome einer Krankheit wirksamer lindert als ein Placebo. Sie können den Z-Score nutzen, um zu bewerten, ob der Unterschied in der Symptomlinderung zwischen der Behandlungsgruppe und der Kontrollgruppe statistisch signifikant ist.

Auch im Finanzwesen kommen Hypothesentests zum Einsatz. Möchten Sie prüfen, ob eine bestimmte Aktie eine signifikant höhere Rendite erzielt als der Marktdurchschnitt, liefert der berechnete Z-Score die statistische Grundlage für Ihre Anlageentscheidung.

Merkmalskalierung (Feature Scaling)

Die Merkmalskalierung ist ein essenzieller Vorverarbeitungsschritt beim maschinellen Lernen (Machine Learning) und in der Datenanalyse. Sie stellt sicher, dass alle Variablen (Features) eines Datensatzes denselben Wertebereich aufweisen. Das ist kritisch, da viele Machine-Learning-Algorithmen sehr empfindlich auf unterschiedliche Skalierungen reagieren und ungenaue Modelle erzeugen können, wenn Daten unskaliert bleiben.

Eine der gängigsten Methoden zur Merkmalskalierung ist die Z-Score-Normalisierung, auch Standardisierung genannt. Hierbei wird jedes Merkmal so transformiert, dass sein Mittelwert bei 0 und seine Standardabweichung bei 1 liegt. Die Formel zur Berechnung des Z-Scores eines Merkmals lautet:

Z = (X - Mittelwert) / Standardabweichung

wobei X der Wert des Merkmals, der Mittelwert der Durchschnitt aller Merkmalswerte und die Standardabweichung die Streuung des Merkmals ist.

Ein Beispiel aus der Computer Vision (Bilderkennung): Bei der Verarbeitung von Bilddaten müssen die Pixelwerte oft so skaliert werden, dass sie für neuronale Netze optimal verarbeitbar sind. Durch die Z-Score-Standardisierung wird sichergestellt, dass die Verteilung der Pixelintensitäten über das gesamte Bild hinweg einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 aufweist.

In der Verarbeitung natürlicher Sprache (NLP – Natural Language Processing) werden Z-Scores ebenfalls genutzt. Arbeitet man mit Textdaten, werden Metriken wie die Termfrequenz und die inverse Dokumentenhäufigkeit (TF-IDF) häufig standardisiert, um stabile und gut trainierbare Modelle zu erhalten.

Prädiktive Modellierung (Predictive Modeling)

Die prädiktive Modellierung ist eine fortschrittliche Technik im Bereich Data Science und maschinelles Lernen, mit der Vorhersagen über zukünftige Ereignisse auf Basis historischer Daten getroffen werden. Dabei wird ein Algorithmus anhand eines bekannten Datensatzes trainiert, um anschließend Vorhersagen für völlig neue, bisher unbekannte Daten zu liefern.

Ein entscheidender Aspekt dabei ist die Merkmalsauswahl (Feature Selection) – also die Identifikation der relevantesten Variablen für das Modell. Vorzugsweise wählt man Variablen, die stark mit der Zielvariablen korrelieren, da diese die höchste Vorhersagekraft besitzen.

Der Z-Score ist ein exzellentes Hilfsmittel, um stark abweichende oder hochkorrelierte Merkmale zu identifizieren. Ein hoher (absoluter) Z-Score weist darauf hin, dass ein bestimmtes Merkmal stark vom Durchschnitt abweicht, was in bestimmten Vorhersagemodellen ein wichtiger Indikator für ein Zielereignis sein kann. Die Formel bleibt identisch:

Z = (X - Mittelwert) / Standardabweichung

Ein praktisches Beispiel aus dem Trading: Bei der Prognose von Aktienkursen kann der Z-Score der vergangenen Kursentwicklung genutzt werden, um die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Renditen einzuschätzen. Ein extrem hoher (oder niedriger) Z-Score zeigt an, dass die aktuelle Performance der Aktie stark von ihrem historischen Durchschnitt abweicht, was auf eine bevorstehende Kurskorrektur (Mean Reversion) hindeuten könnte.

Im Gesundheitswesen wird prädiktive Modellierung genutzt, um den Heilungsverlauf von Patienten einzuschätzen. Ein abnormaler Z-Score bei kritischen Vitalparametern kann frühzeitig signalisieren, dass sich der Gesundheitszustand eines Patienten drastisch verschlechtert, was dem medizinischen Personal proaktives Handeln ermöglicht.

Verwendung der Z-Score-Tabelle

Eine Z-Tabelle, auch Standardnormaltabelle genannt, ist ein statistisches Referenzwerkzeug. Sie enthält standardisierte Wahrscheinlichkeitswerte und wird verwendet, um die Fläche unter der Kurve (die Wahrscheinlichkeit) zu berechnen, die angibt, ob eine bestimmte Statistik unter, über oder zwischen bestimmten Werten der Standardnormalverteilung liegt.

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

Um die Z-Tabelle korrekt abzulesen, suchen Sie in der ganz linken Spalte die Zeile, die den ersten beiden Ziffern Ihres berechneten Z-Scores entspricht (z. B. 1,9). Anschließend suchen Sie in der obersten Zeile die Spalte für die zweite Nachkommastelle (z. B. 0,06). Der Wert am Schnittpunkt dieser Zeile und Spalte gibt Ihnen die Fläche (die Wahrscheinlichkeit) unter der Standardnormalkurve an. Dieser Wert repräsentiert die ungefähre Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable aus einer Standardnormalverteilung kleiner oder gleich Ihrem berechneten Z-Wert ist.

Beispiel: Wenn Sie einen Z-Score von 1,96 berechnet haben, gehen Sie in die Zeile "1.9" und die Spalte "0.06". Der Schnittpunkt ergibt einen Wert von etwa 0,9750. Das bedeutet, dass die Fläche unter der Kurve links von 1,96 genau 97,5 % beträgt. Mit anderen Worten: Etwa 97,5 % der Daten einer Standardnormalverteilung sind kleiner oder gleich 1,96.

Wichtiger Hinweis: Die Z-Tabelle funktioniert ausschließlich für die Standardnormalverteilung (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1). Sind Ihre Rohdaten nicht in diesem Format, müssen Sie diese zwingend zuerst standardisieren, indem Sie die Werte in Z-Scores umrechnen.

Ermittlung der Wahrscheinlichkeit anhand des Z-Scores

Sobald wir eine normalverteilte Variable in einen Z-Score umgewandelt haben, können wir die Z-Tabelle nutzen, um den entsprechenden Anteil der Fläche unter der Gaußschen Glockenkurve zu ermitteln. Da die Gesamtfläche unter der Standardnormalkurve exakt 1 beträgt, entspricht der proportionale Flächenanteil direkt der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des jeweiligen Ereignisses.

Beispiel 1

Die Gewichte von Boxern seien normalverteilt mit einem Mittelwert von 75 kg und einer Standardabweichung von 3 kg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Boxers:

a) Mehr als 78 kg beträgt? b) Weniger als 69 kg beträgt? c) Mehr als 72 kg beträgt? d) Weniger als 79,5 kg beträgt? e) Zwischen 72 kg und 76,5 kg liegt? f) Zwischen 72 kg und 73,5 kg liegt?

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Boxer mehr als 78 kg wiegt?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Zunächst veranschaulichen wir dies anhand der Standardnormalkurve.

Nun nutzen wir die Z-Tabelle, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den berechneten Z-Score abzulesen.

Denken Sie daran, dass die Tabellenwerte oft die Wahrscheinlichkeit vom Mittelwert bis zum Z-Score angeben. Um die Wahrscheinlichkeit für den hervorgehobenen Bereich im Diagramm (den Bereich größer als Z) zu erhalten, müssen wir den abgelesenen Wert von 0,5 abziehen. (Da eine Standardnormalverteilung symmetrisch ist, deckt jede Kurvenhälfte ab dem Mittelwert genau eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 ab).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,1587 (oder 15,87 %), dass ein zufällig ausgewählter Boxer mehr als 78 kg wiegt.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Boxer weniger als 69 kg wiegt?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Zunächst veranschaulichen wir dies anhand der Standardnormalkurve.

Nun nutzen wir die Z-Tabelle, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den berechneten Z-Score abzulesen.

Um die Wahrscheinlichkeit für den hervorgehobenen linken Randbereich im Diagramm zu erhalten, müssen wir den Tabellenwert ebenfalls von 0,5 abziehen.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0,5 - P (-2 < Z < 0)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,0228 (oder 2,28 %), dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Boxers weniger als 69 kg beträgt.

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Boxers zwischen 72 kg und 76,5 kg liegt?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Zunächst veranschaulichen wir dies anhand der Standardnormalkurve.

Nun nutzen wir die Z-Tabelle, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für die berechneten Z-Scores zu ermitteln.

Um die Gesamtwahrscheinlichkeit für den im Diagramm hervorgehobenen Bereich zu erhalten, können Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten (Abstand zum Mittelwert) der beiden Z-Werte einfach addieren.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Es besteht somit eine Wahrscheinlichkeit von 0,5328 (oder 53,28 %), dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Boxers zwischen 72 kg und 76,5 kg liegt.

Tipp: Möchten Sie diese manuellen Berechnungen überspringen? Nutzen Sie einfach unseren Rechner "Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Z-Werten", um das Ergebnis blitzschnell zu erhalten.

Rückrechnung: Rohwerte aus einer gegebenen Wahrscheinlichkeit ermitteln

Wenn wir wissen, dass ein Datensatz normalverteilt ist, können wir den Z-Score nutzen, um ausgehend von einer bekannten Wahrscheinlichkeit den dazugehörigen Rohwert (X) zu berechnen.

Beispiel 2

Die erzielten Punkte von Bewerbern bei einer Aufnahmeprüfung sind annähernd normalverteilt, mit einem Mittelwert von 55 und einer Standardabweichung von 10. Ermitteln Sie die Mindestpunktzahl, die erreicht werden muss, um zu den besten 30 % der Bewerber zu gehören und die Prüfung zu bestehen.

Lösung

In diesem Fall müssen wir zunächst den entsprechenden Z-Score für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit (bzw. den Prozentsatz) finden.

Um den gesuchten Z-Score in der Tabelle zu finden, müssen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, die genau dem Bereich zwischen dem Mittelwert und unserem Grenzwert entspricht.

Da die oberen 30 % (0,30) am rechten Rand der Kurve liegen und die gesamte rechte Hälfte eine Wahrscheinlichkeit von 0,50 umfasst, ziehen wir 0,30 von 0,50 ab. Die Wahrscheinlichkeit für den Bereich vom Mittelwert bis zum Grenzwert beträgt also 0,20.

Nun suchen wir in der Z-Tabelle den Wahrscheinlichkeitswert, der 0,20 am nächsten kommt. Dieser entspricht einem Z-Score von ca. 0,524.

Anschließend können wir die Z-Score-Formel nach dem Rohwert (X) auflösen und diesen berechnen:

• Z = (X - μ) / σ
• 0,524 = (X - 55) / 10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Die Mindestpunktzahl, die ein Bewerber erreichen muss, um zu den besten 30 % zu gehören und die Prüfung zu bestehen, beträgt somit exakt 60,24.