ماشین حساب واریانس

واریانس به عنوان یک معیار پراکندگی

یکی از جنبه‌های اساسی استنباط آماری از یک مجموعه داده داده شده، اندازه‌گیری یک معیار است که پراکندگی داده‌ها از میانگین خود را مشخص می‌کند. محبوب‌ترین معیارهایی که پراکندگی را اندازه‌گیری می‌کنند عبارتند از:

• واریانس، میانگین انحرافات مربعی از میانگین است.
• انحراف معیار - ریشه دوم واریانس است. انحراف معیار یک معیار رایج برای اندازه‌گیری پراکندگی/تغییرپذیری است.
• ضریب تغییرات، که به عنوان انحراف معیار نسبی نیز شناخته می‌شود. ضریب تغییرات به عنوان نسبت انحراف معیار σ به میانگین μ محاسبه می‌شود یا \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

این ماشین حساب واریانس یک مجموعه داده داده شده را پیدا کرده و گام‌های دخیل در محاسبه را نمایش می‌دهد.

قوانین استفاده از این ماشین حساب

ماشین حساب واریانس ورودی را به صورت لیستی از اعداد که توسط یک جداکننده از هم جدا شده‌اند، قبول می‌کند. چند مثال از ورودی‌های ممکن در جدول زیر نشان داده شده است.

ورودی ردیفی	ورودی ستونی	ورودی ستونی	ورودی ستونی
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

اعداد می‌توانند توسط کاما، فاصله، خط شکسته، یا ترکیبی از بیش از یک نوع جداکننده از هم جدا شوند. می‌توانید از فرمت ردیفی یا ستونی استفاده کنید. برای تمام فرمت‌های نشان داده شده در جدول بالا، ماشین حساب ورودی را به عنوان 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, و 89 پردازش می‌کند.

پس از وارد کردن داده‌ها، می‌توانید انتخاب کنید که آیا داده‌ها مربوط به نمونه هستند یا داده‌های جمعیت. وقتی دکمه محاسبه را فشار دهید، ماشین حساب پنج پارامتر آماری از مجموعه داده را نمایش می‌دهد: تعداد (تعداد مشاهدات)، میانگین، جمع انحرافات مربعی، واریانس، و انحراف معیار.

این ماشین حساب برای محاسبه واریانس یک مجموعه داده طراحی شده است. همچنین بینشی در مورد نظریه پشت محاسبه فراهم می‌کند و تمام مراحل دخیل را نشان می‌دهد.

هنگام استنباط، ترجیح داده می‌شود که از یک مجموعه داده بزرگ برای به دست آوردن آمار خوب استفاده شود. اما به دست آوردن داده‌های جمعیتی که تمام مشاهدات ممکن را نمایندگی کنند، اغلب دشوار است. بنابراین، به عنوان یک قاعده، یک "نمونه" از جمعیت گرفته می‌شود. و نتیجه‌گیری‌ها در مورد جمعیت معمولاً از داده‌های نمونه استخراج می‌شوند.

واریانس پراکندگی متوسط یک مجموعه داده را نسبت به میانگین می‌سنجد. اغلب توسط σ² برای یک جمعیت و توسط s² برای یک نمونه نشان داده می‌شود. مقدار بزرگتری از σ² یا s² نشان‌دهنده پراکندگی بیشتر نقاط داده از میانگین نمونه و بالعکس است.

مجموعه داده‌های زیر را در نظر بگیرید.

(مجموعه I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(مجموعه II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

وارد کردن مجموعه I به ماشین حساب واریانس نتایج زیر را می‌دهد:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

برای یک نمونه، و

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

برای جمعیت.

به طور مشابه، وارد کردن مجموعه II به ماشین حساب نتایج زیر را می‌دهد:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

برای یک نمونه، و

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

برای جمعیت.

• در مجموعه I، اعداد به طور قابل توجهی از میانگین نمونه منحرف شده‌اند

s²=70.4

σ²=64

• در مجموعه II پراکندگی کم است

s²=5.6

σ²=5.09

فرمول واریانس: واریانس جمعیت در مقابل واریانس نمونه

واریانس جمعیت

جمعیت در آمار به تمام مشاهدات ممکن در یک آزمایش اشاره دارد. برای N مشاهده، واریانس جمعیت به صورت زیر است:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

که در آن

• σ² واریانس جمعیت است،
• Σ نماد جمع است،
• xᵢ هر مشاهده است،
• μ میانگین جمعیت است،
• n تعداد مشاهدات در جمعیت است.

واریانس نمونه

واریانس نمونه به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

که در آن

• s² واریانس نمونه است،
• Σ نماد جمع است،
• xᵢ هر مشاهده است،
• x̄ میانگین نمونه است،
• n تعداد مشاهدات در نمونه است.

مراحل محاسبه واریانس

مراحل زیر در محاسبه واریانس دخیل هستند.

گام 1: محاسبه میانگین نمونه/جمعیت. این مجموع تمام نقاط داده تقسیم بر تعداد نقاط داده است (n برای نمونه و N برای جمعیت)، یعنی،

میانگین نمونه:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

میانگین جمعیت:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

گام 2: انحرافات را با کم کردن میانگین نمونه/جمعیت از هر نقطه داده محاسبه کنید، یعنی،

انحرافات نمونه:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

انحرافات جمعیت:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

گام 3: انحرافات مربعی را برای هر نقطه داده محاسبه کنید.

انحرافات مربعی نمونه:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

انحرافات مربعی جمعیت:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

گام 4: مجموع انحرافات مربعی را محاسبه کنید.

مجموع انحرافات مربعی نمونه:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

مجموع انحرافات مربعی جمعیت:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

گام 5: مجموع انحرافات مربعی را برای نمونه تقسیم بر n-1 و برای جمعیت تقسیم بر N کنید تا واریانس محاسبه شود.

واریانس نمونه:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

واریانس جمعیت:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

مثالی از محاسبه واریانس برای یک نمونه

بیایید مجموعه داده‌های زیر را در نظر بگیریم: 1, 2, 4, 5, 6, و 12. برای محاسبه واریانس نمونه، این گام‌ها را دنبال می‌کنیم:

گام 1: میانگین نمونه (میانگین) را محاسبه کنید.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

گام 2: انحرافات از میانگین برای هر نقطه داده را محاسبه کنید.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

گام 3: مربع‌های انحرافات را محاسبه کنید.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

گام 4: مجموع انحرافات مربعی را جمع کنید.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

گام 5: واریانس نمونه را با تقسیم مجموع انحرافات مربعی بر درجات آزادی (n-1) محاسبه کنید.

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

برای یک جمعیت، ما با n (تعداد کل نقاط داده)، به جای n-1، تقسیم می‌کنیم تا واریانس جمعیت را محاسبه کنیم.

اهمیت واریانس

پراکندگی در سرمایه‌گذاری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این به مدیران دارایی کمک می‌کند تا عملکرد سرمایه‌گذاری‌های خود را بهبود بخشند. تحلیلگران مالی می‌توانند از واریانس برای ارزیابی عملکرد فردی اجزای یک سبد سرمایه‌گذاری استفاده کنند.

سرمایه‌گذاران هنگام در نظر گرفتن خرید جدید برای تصمیم‌گیری در مورد اینکه آیا سرمایه‌گذاری ارزش ریسک را دارد یا خیر، واریانس را محاسبه می‌کنند. پراکندگی به تحلیلگران کمک می‌کند تا معیاری از عدم قطعیت را تعیین کنند، که بدون واریانس و انحراف معیار، دشوار است که بدون آن قابل سنجش باشد.

عدم قطعیت به طور مستقیم قابل اندازه‌گیری نیست. اما واریانس و انحراف معیار (ریشه دوم واریانس) کمک می‌کند تا تأثیر درک شده یک سهم خاص بر روی سبد سهام را تعیین کند.

دانشمندان، آمارشناسان، ریاضیدانان و تحلیلگران داده نیز می‌توانند از واریانس استفاده کنند. این کمک می‌کند اطلاعات مفیدی در مورد یک آزمایش یا جمعیت نمونه فراهم کند.

دانشمندان می‌توانند به دنبال تفاوت‌ها بین گروه‌های آزمایشی باشند تا تعیین کنند آیا آنها برای آزمایش یک فرضیه با موفقیت کافی شبیه هم هستند یا خیر. هرچه واریانس مجموعه داده بیشتر باشد، مقادیر در مجموعه داده پراکنده‌تر هستند. پژوهشگران داده می‌توانند از این اطلاعات برای دیدن اینکه چگونه میانگین مجموعه داده‌ها را به خوبی نمایندگی می‌کند، استفاده کنند.

معایب استفاده از واریانس این است که خروجی‌های بزرگ در یک مجموعه می‌توانند به برخی از اعوجاج داده‌ها منجر شوند. این به این دلیل است که خروجی‌ها می‌توانند وزن خود را پس از مربع شدن، بیشتر افزایش دهند.

بسیاری از پژوهشگران ترجیح می‌دهند با انحراف معیار کار کنند، که به عنوان ریشه دوم واریانس محاسبه می‌شود. انحراف معیار کمتر تحت تأثیر خروجی‌ها قرار دارد، یک عدد کوچکتر است و تفسیر آن آسان‌تر است.