ماشین حساب انحراف معیار استاندارد

ماشین‌حساب انحراف معیار ابزاری قدرتمند است که انحراف معیار مجموعه‌ای از اعداد را با دقت بالا محاسبه می‌کند. علاوه بر این، اطلاعات آماری جامعی مانند میانگین و واریانس را نیز در اختیار شما قرار می‌دهد. این ماشین‌حساب آنلاین همچنین قادر است فاصله اطمینان (بازه اطمینان) داده‌ها را برای سطوح مختلف اطمینان محاسبه کرده و جدول توزیع فراوانی را رسم نماید.

برای استفاده از این ابزار، تنها کافی است اعداد خود را وارد کرده و آن‌ها را با ویرگول (کاما) از یکدیگر جدا کنید. سپس مشخص کنید که آیا این داده‌ها نشان‌دهنده یک «جامعه آماری (جمعیت)» هستند یا یک «نمونه آماری»، و در نهایت روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

انحراف معیار

انحراف معیار (Standard Deviation) یک شاخص آماری است که میزان پراکندگی یا تغییرپذیری مجموعه‌ای از داده‌ها را نشان می‌دهد. این شاخص بیانگر آن است که نقاط داده به‌طور میانگین چقدر از میانگین کل داده‌ها فاصله دارند. هرچه انحراف معیار کوچک‌تر باشد، نشان‌دهنده این است که داده‌ها به میانگین نزدیک‌ترند (پراکندگی کمتر). برعکس، هرچه انحراف معیار بزرگ‌تر باشد، داده‌ها از میانگین دورتر بوده و پراکندگی بیشتری دارند. از نظر ریاضی، انحراف معیار برابر با جذر (ریشه دوم) شاخص پراکندگی دیگری به نام واریانس است.

نحوه محاسبه انحراف معیار به ماهیت مجموعه داده‌ها بستگی دارد. اگر مجموعه داده‌ها شامل تمام اعضای جامعه آماری مورد نظر باشد (جامعه)، به آن انحراف معیار جامعه (Population Standard Deviation) می‌گویند. اما اگر داده‌ها تنها بخش کوچکی از کل جامعه را در بر گیرند (نمونه)، به آن انحراف معیار نمونه (Sample Standard Deviation) گفته می‌شود.

انحراف معیار جمعیت

انحراف معیار جمعیت (جامعه آماری) زمانی محاسبه می‌شود که مجموعه داده‌ها نمایانگر کل جامعه آماری مورد نظر باشد؛ به این معنا که تمامی مشاهدات و اعضای تحت بررسی در داده‌ها لحاظ شده باشند. انحراف معیار جامعه با نماد σ نشان داده می‌شود.

σ حرف کوچک الفبای یونانی به نام سیگما است. انحراف معیار جامعه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

که در آن:

• Σ حرف بزرگ یونانی سیگما است که در ریاضیات برای نمایش مجموع (عملیات جمع) استفاده می‌شود؛
• xᵢ هر یک از نقاط داده (هر مشاهده از مجموعه داده)، از اولین داده تا داده Nاُم (آخرین داده) را نشان می‌دهد؛
• μ نمایانگر میانگین جامعه است؛
• N اندازه (تعداد اعضای) جامعه آماری است.

مثالی از محاسبه انحراف معیار جمعیت عمومی

مثال زیر نحوه محاسبه انحراف معیار برای داده‌های یک جامعه آماری را نشان می‌دهد.

سرمایه‌گذاران، سهام را به دلیل نوسانات بالا در مقایسه با سایر دارایی‌ها، یک سرمایه‌گذاری پرخطر (ریسک‌پذیر) می‌دانند. یک مدیر سرمایه‌گذاری قصد دارد نوسانات قیمتی چند سهم را در ماه گذشته تحلیل کند. او تصمیم گرفته است سهامی که انحراف معیار آن‌ها برابر یا بیشتر از میانگین قیمتشان باشد را به مشتریان خود پیشنهاد ندهد، زیرا چنین سهامی را «بیش از حد پرخطر» تلقی می‌کند.

در ادامه، قیمت‌های پایانی روزانه یک سهم (به دلار آمریکا) در ماه گذشته آورده شده است. می‌خواهیم انحراف معیار را محاسبه کرده و مشخص کنیم که آیا این مدیر، سهم مذکور را «بیش از حد پرخطر» می‌داند یا خیر:

1.31، 1.30، 1.36، 1.40، 1.40، 1.41، 1.27، 1.19، 1.15، 1.12، 0.99، 1.00، 0.97، 0.94، 0.88، 0.90، 0.86، 0.88، 0.80، 0.81

توجه داشته باشید که مدیر سرمایه‌گذاری تنها به بررسی رفتار سهم در ماه گذشته علاقه‌مند است و قیمت‌های فوق، تمامی قیمت‌های ثبت‌شده در آن ماه هستند. بنابراین، ما با یک «جامعه آماری» کامل روبرو هستیم. پس باید انحراف معیار را با استفاده از فرمول انحراف معیار جامعه محاسبه کنیم.

برای یافتن انحراف معیار، ابتدا باید میانگین را به دست آوریم. به یاد داشته باشید که میانگین (μ) از تقسیم مجموع تمامی داده‌ها بر تعداد آن‌ها به دست می‌آید.

$$\mu = \frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20} = 1.097$$

سپس، میانگین را از تک‌تک داده‌ها کم کرده و حاصل‌تفریق‌ها را به توان دو می‌رسانیم. در قدم بعدی، این مجذورها را با هم جمع کرده و بر تعداد کل داده‌ها تقسیم می‌کنیم. نتیجه به دست آمده، واریانس (σ²) نامیده می‌شود.

$$\sigma^2 = \frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20} = 0.045031$$

در نهایت، برای به دست آوردن انحراف معیار، از واریانس جذر (ریشه دوم) می‌گیریم.

$$\sigma = \sqrt{0.045031} \approx 0.21$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، انحراف معیار قیمت‌های این سهم در ماه گذشته از میانگین آن کمتر است. بنابراین، مدیر سرمایه‌گذاری این سهم را «بیش از حد پرخطر» در نظر نخواهد گرفت.

انحراف معیار نمونه

انحراف معیار نمونه زمانی محاسبه می‌شود که مجموعه داده‌های مورد بررسی، تنها نمونه‌ای (بخش کوچکی) از جامعه آماری اصلی باشند. در این حالت، مجموعه داده نشان‌دهنده زیرمجموعه‌ای از تمامی مشاهدات ممکن است. انحراف معیار نمونه با نماد s نشان داده می‌شود و با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

که در آن:

• Σ نمایانگر مجموع (عملیات جمع) است؛
• xᵢ هر یک از مقادیر داده‌ها را نشان می‌دهد؛
• x̄ نمایانگر میانگین نمونه است؛
• n اندازه (تعداد اعضای) نمونه است.

با استفاده از همان مثال قبلی، اکنون نحوه محاسبه انحراف معیار را برای «داده‌های نمونه» بررسی می‌کنیم. فرض کنید در این شرایط، مدیر سرمایه‌گذاری به قیمت‌های پایانی تمامی روزهای معاملاتی ماه گذشته دسترسی ندارد. با این حال، او قیمت‌های پایانی ۵ روز تصادفی از ماه گذشته را در اختیار دارد. بنابراین، او باید انحراف معیار قیمت‌های پایانی این سهم را بر اساس داده‌های همین نمونه تخمین بزند.

فرض کنید قیمت‌های پایانی برای این ۵ روز به شرح زیر است:

1.31، 1.40، 0.86، 0.88، 1.40

توجه داشته باشید که مدیر همچنان به بررسی رفتار سهم در ماه گذشته علاقه‌مند است، اما چون به تمامی قیمت‌های ماه دسترسی ندارد و تنها زیرمجموعه کوچکی (قیمت‌های ۵ روز) را در اختیار دارد، با یک نمونه آماری سر و کار داریم. بنابراین، انحراف معیار را با استفاده از فرمول انحراف معیار نمونه محاسبه خواهیم کرد.

ابتدا، میانگین نمونه را محاسبه می‌کنیم.

$$\bar{x} = \frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5} = 1.17$$

سپس، واریانس s² را محاسبه می‌کنیم.

$$s^2 = \frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1} = 0.0764$$

در نهایت، با گرفتن جذر (ریشه دوم) از واریانس، انحراف معیار نمونه به دست می‌آید.

$$s = \sqrt{0.0764} \approx 0.28$$

حاشیه خطا

یکی از مهم‌ترین کاربردهای انحراف معیار، محاسبه بازه «قابل قبول» برای مقادیر است. این موضوع در کنترل کیفیت آماری در صنایع و همچنین در تحلیل‌های پیش‌بینی‌کننده نقش بسیار مهمی ایفا می‌کند. فرض کنید داده‌های مورد بررسی، از یک توزیع نرمال پیروی می‌کنند. در این حالت، این بازه قابل قبول به عنوان بازه اطمینان یا فاصله اطمینان (که در بخش بعدی توضیح داده شده) شناخته می‌شود. این بازه‌های اطمینان در سطوح اطمینان مختلفی (به صورت درصد) بیان می‌شوند.

حاشیه خطا (Margin of Error) در واقع بخشی از بازه اطمینان است که عرض یا گستردگی این بازه را مشخص می‌کند. به عبارت دیگر، حاشیه خطا تعیین‌کننده حداکثر و حداقل مقادیر قابل قبول برای پارامتر مورد نظر است.

حاشیه خطا با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$خطای\ حاشیه\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

این فرمول زمانی استفاده می‌شود که انحراف معیار جامعه (σ) مشخص باشد و همچنین اندازه نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد (معمولاً n>30).

اما زمانی که انحراف معیار جامعه نامشخص بوده و اندازه نمونه نیز کوچک باشد (معمولاً n≤30)، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$خطای\ حاشیه\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

در این فرمول، به جای انحراف معیار جامعه σ از انحراف معیار نمونه s استفاده می‌شود، زیرا انحراف معیار کل جامعه نامعلوم است.

مقادیر \$z_{\alpha/2}\$ و \$t_{n-1, \alpha/2}\$ با استفاده از جداول آماری z و t تعیین می‌شوند و به آن‌ها مقادیر بحرانی (Critical Values) می‌گویند. این مقادیر، ثابت‌هایی هستند که به سطح اطمینان انتخاب‌شده بستگی دارند.

رایج‌ترین سطوح اطمینان در آمار ۹۰٪، ۹۵٪ و ۹۹٪ هستند. مقادیر \$z_{\alpha/2}\$ مربوط به این سطوح به ترتیب ۱.۶۴۵ (برای ۹۰٪)، ۱.۹۶ (برای ۹۵٪) و ۲.۵۷۵ (برای ۹۹٪) می‌باشند.

عبارات \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ یا \$\frac{s}{\sqrt n}\$ نیز به عنوان خطای استاندارد (Standard Error) شناخته می‌شوند.

• عبارت \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ زمانی استفاده می‌شود که انحراف معیار جامعه σ را می‌دانیم و اندازه نمونه ما بزرگ است (معمولاً n>30).
• عبارت \$\frac{s}{\sqrt n}\$ در مواردی کاربرد دارد که انحراف معیار جامعه نامشخص بوده و اندازه نمونه کوچک است (معمولاً n≤30). به عبارت دیگر، چون به انحراف معیار جامعه σ دسترسی نداریم، مجبوریم از انحراف معیار نمونه در دسترس s استفاده کنیم.

فاصله اطمینان

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد، فاصله اطمینان (یا بازه اطمینان) محدوده‌ای از مقادیر است که انتظار می‌رود پارامتر مورد نظر با سطح اطمینان مشخصی در آن محدوده قرار گیرد.

به عنوان مثال، می‌توانیم با سطح اطمینان ۹۰٪ بگوییم که قد دختران ۱۳ ساله بین ۵۹ تا ۶۶ اینچ است. این بدان معناست که اگر گروه‌های مختلفی از دختران ۱۳ ساله را به عنوان نمونه انتخاب کنیم، در حدود ۹۰٪ مواقع، میانگین قد آن‌ها در این بازه مشخص‌شده قرار خواهد گرفت.

فاصله اطمینان با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است،
• \$z_{\alpha/2}\$ مقدار بحرانی است،
• σ انحراف معیار جامعه است،
• n تعداد مشاهدات (اندازه نمونه) است.

در شرایطی که انحراف معیار جامعه σ نامشخص است و باید از انحراف معیار نمونه s استفاده کنیم، فرمول زیر به کار می‌رود:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است،
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ مقدار بحرانی است،
• s انحراف معیار نمونه است،
• n تعداد مشاهدات (اندازه نمونه) است.

همان‌طور که از بخش قبلی به یاد دارید، عبارات \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ و \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ نشان‌دهنده حاشیه خطا هستند.

مثالی از محاسبه فاصله اطمینان

فرض کنید می‌دانیم قیمت‌های روزانه سهمی که در حال بررسی آن هستیم، از یک توزیع نرمال پیروی می‌کنند. ما نمونه‌ای از قیمت‌های این سهم را در اختیار داریم:

1.31، 1.36، 1.40، 1.27، 1.15، 0.99، 0.97، 0.88، 0.86، 0.80

ما می‌خواهیم محدوده‌ای را محاسبه کنیم که بتوانیم با اطمینان ۹۵٪ بگوییم میانگین قیمت سهام در آن بازه نوسان خواهد کرد.

از آنجا که این یک نمونه کوچک است و انحراف معیار کل جامعه را نمی‌دانیم، از انحراف معیار نمونه و فرمول زیر برای محاسبه فاصله اطمینان استفاده خواهیم کرد:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است که برابر با ۱.۱۰ می‌باشد،
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ مقدار بحرانی است. در اینجا \$t_{9, 0.025}\$ = ۲.۲۶ (مقدار بحرانی برای یک اندازه نمونه و سطح اطمینان مشخص، معمولاً از جدول توزیع z یا t استخراج می‌شود)،
• s انحراف معیار نمونه است که برابر با ۰.۲۳ می‌باشد،
• n تعداد مشاهدات است که برابر با ۱۰ است،
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ خطای استاندارد است که به این صورت محاسبه می‌شود: \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

حال این اعداد را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

و نتایج زیر به دست می‌آیند:

$$1.10 - 2.26 \left( \frac{0.23}{\sqrt{10}} \right) = 1.10 - 2.26 \left( \frac{0.23}{3.16} \right) = 1.10 - 2.26 \times 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 \left( \frac{0.23}{\sqrt{10}} \right) = 1.10 + 2.26 \left( \frac{0.23}{3.16} \right) = 1.10 + 2.26 \times 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

این محاسبات نشان می‌دهد که ما با اطمینان ۹۵٪ مطمئن هستیم که میانگین قیمت این سهم در فاصله اطمینان (۰.۹۴, ۱.۲۶) قرار دارد.