Kalkulator Teorem Pythagoras

Kalkulator teorem Pythagoras ini mencari panjang sebarang sisi yang hilang pada segi tiga bersudut tegak dengan mudah apabila dua sisi yang lain diketahui. Semua pengiraan dikuasakan oleh teorem Pythagoras yang asas.

Arahan penggunaan

Masukkan panjang sisi yang diketahui dan klik "Kira." Kalkulator segi tiga bersudut tegak kami akan mengembalikan nilai-nilai berikut dengan serta-merta:

• Panjang sisi ketiga.
• Nilai sudut bagi sudut bukan 90° dalam darjah dan radian.
• Luas segi tiga.
• Perimeter segi tiga.
• Panjang altitud yang berserenjang dengan hipotenus.

Kalkulator ini juga akan menyediakan jalan penyelesaian langkah demi langkah yang terperinci, yang boleh anda kembangkan dengan mengklik "+ Tunjukkan Langkah Pengiraan."

Untuk kemudahan anda, medan input bagi setiap sisi merangkumi komponen nombor bulat dan komponen punca kuasa dua, membolehkan anda memasukkan nilai tepat seperti 2√3, √3, dan sebagainya dengan mudah.

Sila ambil perhatian bahawa panjang kaki segi tiga (a dan b) mestilah lebih pendek daripada panjang hipotenus (c).

Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras menyatakan bahawa dalam segi tiga bersudut tegak, kuasa dua hipotenus (sisi terpanjang) adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua bagi dua sisi yang lain (kaki atau katetus).

Persamaan Pythagoras boleh ditulis seperti berikut:

a² + b² = c²,

Di mana a dan b mewakili panjang sisi yang lebih pendek, atau kaki, bagi segi tiga bersudut tegak, dan c ialah panjang sisi terpanjang, atau hipotenus. Dalam perkataan, persamaan di atas biasanya dibaca sebagai: a kuasa dua tambah b kuasa dua bersamaan dengan c kuasa dua.

Bukti teorem Pythagoras

Kita boleh membuktikan teorem Pythagoras dengan membandingkan luas bentuk geometri tertentu.

Dalam rajah di atas, sebuah segi empat sama besar dengan panjang sisi (a + b) mengandungi sebuah segi empat sama dalaman yang lebih kecil dengan panjang sisi c, dikelilingi oleh empat segi tiga bersudut tegak yang serupa dengan sisi a, b, dan c. Mari kita cari jumlah luas segi empat sama besar ini menggunakan dua kaedah yang berbeza:

1. Luas permukaan segi empat sama yang lebih besar dengan panjang sisi (a + b) boleh dikira sebagai (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Sebagai alternatif, jumlah luas permukaan yang sama boleh didapati dengan menambah luas permukaan bentuk dalaman—luas segi empat sama dalaman dengan sisi c, dan luas empat segi tiga bersudut tegak dengan sisi a, b, dan c. Luas segi empat sama dalaman dikira sebagai c². Luas setiap segi tiga bersudut tegak dikira sebagai (ab)/2. Oleh itu,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Memandangkan kedua-dua pengiraan ini menggambarkan jumlah luas permukaan yang sama, kita boleh menyamakannya:

(a + b)² = c² + 2ab

Mengembangkan kuasa dua binomial di sebelah kiri persamaan menghasilkan:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Menolak 2ab daripada kedua-dua belah persamaan memberikan kita:

a² + b² = c²

yang membuktikan teorem Pythagoras secara matematik.

Algoritma pengiraan

Mencari sisi segi tiga bersudut tegak

Jika dua sisi segi tiga bersudut tegak diketahui, sisi ketiga yang hilang boleh dicari dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras. Sebagai contoh, jika sisi a dan b diberikan, panjang hipotenus c boleh dikira seperti berikut:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Begitu juga, untuk mencari kaki yang hilang:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

dan

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Mencari sudut segi tiga bersudut tegak

Jika ketiga-tiga sisi segi tiga bersudut tegak diketahui, sudut bukan 90° bagi segi tiga tersebut boleh dikira seperti berikut:

• ∠α = arcsin(a/c) atau ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) atau ∠β = arccos(a/c)

Di sini, ∠α mewakili sudut bertentangan dengan kaki 'a', ∠β ialah sudut bertentangan dengan kaki 'b', dan 'c' ialah hipotenus. Pilihan antara menggunakan arcsin (sin songsang) dan arccos (kosinus songsang) bergantung pada kaki mana yang anda rujuk berbanding dengan sudut tersebut. Fungsi arcsin menggunakan kaki yang bertentangan dengan sudut, manakala fungsi arccos menggunakan kaki yang bersebelahan. Kedua-dua pendekatan trigonometri ini adalah sah sepenuhnya dan akan menghasilkan ukuran sudut yang tepat untuk sebarang segi tiga bersudut tegak.

Luas segi tiga bersudut tegak

Luas segi tiga bersudut tegak dikira sebagai separuh daripada hasil darab dua kakinya:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Perimeter segi tiga bersudut tegak

Perimeter segi tiga bersudut tegak hanyalah jumlah keseluruhan semua panjang sisinya:

P = a + b + c

Altitud ke hipotenus

Apabila ketiga-tiga sisi segi tiga bersudut tegak diketahui, altitud ke hipotenus (h) boleh didapati menggunakan formula ini:

h = (a × b)/c

Contoh kehidupan sebenar

Teorem Pythagoras digunakan secara meluas dalam seni bina, kejuruteraan, dan pembinaan untuk mengira panjang tepat komponen yang diperlukan dan memastikan struktur mengekalkan sudut tegak yang lurus dengan sempurna. Mari kita lihat contoh praktikal dunia sebenar dalam menggunakan teorem matematik ini.

Memuatkan objek

Bayangkan anda sedang berpindah rumah, dan anda telah menyewa sebuah lori pemindahan dengan panjang 4 meter dan tinggi 3 meter. Anda tidak mempunyai banyak barang yang besar, tetapi anda memiliki sebuah tangga yang panjangnya 4.5 meter. Adakah tangga anda muat di dalam lori tersebut?

Penyelesaian

Memandangkan panjang tangga (4.5 meter) melebihi panjang lori (4 meter), satu-satunya cara tangga tersebut boleh muat di dalam adalah secara menyerong. Untuk menentukan sama ada perkara itu mungkin secara matematik, kita perlu menggunakan teorem Pythagoras untuk mengira hipotenus segi tiga di mana sisinya bersamaan dengan panjang dan tinggi lori tersebut. Oleh itu, dalam kes kita a = 4, b = 3, dan kita perlu mencari hipotenus c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Hipotenus bagi segi tiga bersudut tegak dengan kaki a = 4 dan b = 3 ialah c = 5. Ini bermakna objek tegar terpanjang yang boleh muat secara menyerong di dalam lori tersebut adalah tepat 5 meter. Memandangkan tangga anda sepanjang 4.5 meter, ia akan muat dengan mudah!

Jawapan

Ya, tangga tersebut akan muat.

Pengiraan tambahan

Kalkulator hipotenus dalam talian kami juga mengira beberapa ciri geometri tambahan bagi segi tiga bersudut tegak yang diberikan. Mari kita lihat keputusan yang dikembangkan untuk segi tiga lori pemindahan kita dengan sisi a = 4, b = 3, dan hipotenus c = 5.

Luas segi tiga:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perimeter segi tiga:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitud ke hipotenus:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

Sudut bertentangan dengan sisi a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

Sudut bertentangan dengan sisi b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad