कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर

गणित में, किसी दिए गए सेट (set) से वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या निर्धारित करने के लिए विभिन्न रणनीतियाँ मौजूद हैं। n संभावनाओं में से हम r परिणामों को कितने अलग-अलग तरीकों से चुन सकते हैं? यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या उनका क्रम (order) महत्वपूर्ण है और क्या मानों (values) को दोहराया जा सकता है।

कॉम्बिनेशन (Combination), n संभावनाओं में से r परिणामों को चुनने के तरीकों की संख्या है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता (unordered)। इसे सामान्यतः C(n, r) के रूप में लिखा जाता है और इसे द्विपद गुणांक (binomial coefficient) भी कहा जाता है। आप हमारे कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर का उपयोग करके n ऑब्जेक्ट्स के सेट से r ऑब्जेक्ट्स के कॉम्बिनेशन की आसानी से गणना कर सकते हैं।

कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर का उपयोग करने के नियम

किसी दिए गए सेट से कुछ या सभी वस्तुओं को व्यवस्थित करने या चुनने के सीमित तरीके होते हैं। हमारा कैलकुलेटर n ऑब्जेक्ट्स के सेट में से r ऑब्जेक्ट्स को बिना दोहराए और उनके क्रम की परवाह किए बिना चुनने के तरीकों की संख्या की गणना करता है। इस कैलकुलेटर में दो इनपुट की आवश्यकता होती है:

• n = चुनने के लिए उपलब्ध कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या, और
• r = चुने जाने वाले पदों (या वस्तुओं) की संख्या।

कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर में डेटा दर्ज करने के लिए एक अनिवार्य शर्त यह है कि:

$$0 ≤ r ≤ n$$

यदि आप r का ऐसा मान दर्ज करते हैं जो n से बड़ा है, तो स्क्रीन पर यह संदेश दिखाई देगा:

"कृपया 0 ≤ r ≤ n दर्ज करें"।

गणना का मूल सिद्धांत

गणना का मूल सिद्धांत (Fundamental Counting Principle) हमें विभिन्न कार्यों को पूरा करने के संभावित तरीके खोजने में मदद करता है। गणना के दो मूलभूत नियम होते हैं:

योग का नियम

मान लीजिए कि पहला कार्य m तरीकों से किया जा सकता है, और दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है। यदि इन दोनों कार्यों को एक साथ नहीं किया जा सकता है, तो उन्हें करने के कुल संभावित तरीकों की संख्या (m + n) होगी।

गुणन का नियम (Product Rule)

यदि पहला कार्य m तरीकों से किया जा सकता है और दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है, और दोनों कार्य एक साथ किए जा सकते हैं, तो उन्हें एक साथ करने के कुल (m × n) तरीके होंगे।

उदाहरण

मान लीजिए एक कैफेटेरिया तीन प्रकार की पाई और चार प्रकार के पेय (drinks) परोसता है। पाई में ऐप्पल पाई, स्ट्रॉबेरी पाई और ब्लूबेरी पाई शामिल हैं, जबकि पेय में संतरे, अंगूर, चेरी और अनानास के रस शामिल हैं। पेय और पाई दोनों की कीमत $2 प्रति आइटम है। आपके पास केवल $2 हैं। इसलिए, कोई एक चीज चुनने के आपके पास कुल 3 + 4 = 7 विकल्प (choices) हैं।

अब एक सिक्के (coin) को उछालने और एक पासे (dice) को रोल करने के तरीकों की संख्या पर विचार करें। चूँकि एक सिक्के के दो पहलू होते हैं, इसलिए इसके 2 संभावित परिणाम हैं। इसी तरह, पासे को घुमाते समय 6 संभावित परिणाम होते हैं। चूँकि आप दोनों कार्य एक साथ कर सकते हैं, इसलिए एक सिक्के को उछालने और पासा रोल करने के कुल 2 × 6 = 12 तरीके हैं।

ताश की 52 पत्तों वाली गड्डी (deck) से पहला पत्ता निकालने के 52 तरीके हैं। यदि उस पत्ते को वापस रखे बिना (without replacement) दूसरा पत्ता निकाला जाए, तो इसके 51 तरीके होंगे। परिणामस्वरूप, दो पत्ते निकालने के तरीकों की कुल संख्या 52 × 51 = 2,652 है।

सैंपल स्थान

एक सैंपल स्पेस (Sample Space), जिसे बड़े अक्षर S द्वारा दर्शाया जाता है, किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की एक सूची होती है। एक सिक्के को उछालने और पासे को रोल करने का सैंपल स्पेस है:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

यहाँ कुल बारह संभावित परिणाम हैं। गणना के सिद्धांत (Counting principles) हमें बिना पूरी सूची बनाए, कुल संभावित परिणामों की संख्या ज्ञात करने में मदद करते हैं।

कॉम्बिनेशन

कॉम्बिनेशन (Combination), n संभावनाओं में से r गैर-दोहराए जाने वाले परिणामों (non-repeating outcomes) को चुनने के संभावित तरीकों की संख्या को कहते हैं, जहाँ उनका क्रम (order) अप्रासंगिक (irrelevant) होता है। वस्तु कॉम्बिनेशन को C(n, r) के रूप में दर्शाया जाता है। इसे द्विपद गुणांक भी कहते हैं। कॉम्बिनेशन का सूत्र इस प्रकार है:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

किसी संख्या या अक्षर के बाद लगे विस्मयादिबोधक चिह्न (!) का अर्थ है कि हम उस संख्या के फैक्टोरियल (Factorial) का उपयोग कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, n! संख्या n का फैक्टोरियल है - जो 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल होता है। संख्या 2 का फैक्टोरियल 1 × 2 है। संख्या 3 का फैक्टोरियल 1 × 2 × 3 है। संख्या 4 का फैक्टोरियल 1 × 2 × 3 × 4 है। संख्या 5 का फैक्टोरियल 1 × 2 × 3 × 4 × 5 है, और इसी तरह आगे भी। फैक्टोरियल की गणना केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों (non-negative integers) के लिए की जा सकती है।

इस सूत्र का उपयोग करके कॉम्बिनेशन की गणना करने की मुख्य शर्त यह है कि वस्तुओं की पुनरावृत्ति (repetition) की अनुमति नहीं है, और उनके चयन का क्रम (order) मायने नहीं रखता है।

उदाहरण 1

मान लीजिए आपके पास चार संख्याओं का एक सेट है:

{1, 2, 3, 4}

यदि एक ही तत्व को किसी जोड़े में दोहराया नहीं जा सकता है, तो इस सेट से दो तत्वों को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है?

यदि तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है, तो हमें परम्युटेशन (क्रमचय) मिलते हैं:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

लेकिन यदि क्रम मायने नहीं रखता है, तो हमें कॉम्बिनेशन (संचय) मिलते हैं:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

यहाँ 6 संभावित कॉम्बिनेशन हैं। आप सभी संभावित संयोजनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। इस उदाहरण के लिए, $n=4$, $r=2$ है। इसलिए:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

हमारा कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर भी बिल्कुल इसी तरह सटीक गणना करता है।

उदाहरण 2

अक्षरों A, B, C और D में से तीन-तीन अक्षरों के समूह के कितने कॉम्बिनेशन बन सकते हैं? जब क्रम (order) महत्वपूर्ण होता है, तो 24 संभावित परम्युटेशन होते हैं। लेकिन कॉम्बिनेटरियल गिनती (Combinatorial Counting) में क्रम मायने नहीं रखता। नतीजतन, केवल पहली पंक्ति प्रासंगिक है, जिसका अर्थ है कि कुल चार संभावित कॉम्बिनेशन हैं:

इन सभी संभावित व्यवस्थाओं को सूचीबद्ध करने के बजाय, हम संभावित संयोजनों की संख्या की गणना करने के लिए सीधे कॉम्बिनेशन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं (क्योंकि क्रम अप्रासंगिक है)। इस मामले में कुल ऑब्जेक्ट्स n=4 हैं, और हम एक बार में r=3 ले रहे हैं। इसलिए:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

परम्युटेशन

जब वस्तुओं का क्रम (order) महत्वपूर्ण होता है, तब परम्युटेशन (Permutation) उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या को परिभाषित करता है। n ऑब्जेक्ट्स की सूची से r ऑब्जेक्ट्स का चयन करते समय, परम्युटेशन सूत्र इस प्रकार होता है:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

परम्युटेशन की गणना के लिए इस सूत्र का उपयोग करने की दो मुख्य शर्तें यह हैं कि वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है और वस्तुओं का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण 3

मान लीजिए कि नौकरी के इंटरव्यू के लिए चार उम्मीदवार (candidates) हैं। चयन समिति का कार्य उम्मीदवारों को 1 से 4 तक रैंक करना है। यहाँ संभावित विकल्प इस प्रकार हैं:

• पहला उम्मीदवार - चुनने के 4 तरीके हैं
• दूसरा उम्मीदवार - चुनने के 3 तरीके हैं
• तीसरा उम्मीदवार - चुनने के 2 तरीके हैं
• चौथा उम्मीदवार - चुनने का केवल 1 तरीका है

गुणन का नियम (Product rule) चुनने के तरीकों की कुल संख्या बताता है, अर्थात 4 × 3 × 2 × 1 = 24 जो कि 4! के समान है। मान लीजिए कि उम्मीदवार हैं:

{A, B, C, D}

इस समस्या का सैंपल स्पेस (सभी संभावित परम्युटेशन को दर्शाता हुआ) नीचे दिया गया है:

ऊपर दी गई तालिका में दिखाए गए सभी संभावित व्यवस्थाओं को एक-एक करके सूचीबद्ध करने के बजाय, हम परम्युटेशन सूत्र का उपयोग करके इसकी सीधे गणना कर सकते हैं। इस उदाहरण के लिए, n = 4 ऑब्जेक्ट्स हैं, और हम एक बार में r = 4 तत्वों को चुन रहे हैं। इसलिए:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

कॉम्बिनेशन और परम्युटेशन के बीच का अंतर

कॉम्बिनेशन (Combination) और परम्युटेशन (Permutation) के बीच मुख्य अंतर यह है कि कॉम्बिनेशन में तत्वों का क्रम (order) कोई मायने नहीं रखता, जबकि परम्युटेशन में तत्वों का क्रम अत्यधिक महत्वपूर्ण होता है।