सैंपल साइज़ कैलकुलेटर

यह सैंपल साइज़ कैलकुलेटर (Sample Size Calculator) दो प्रमुख भागों में बंटा हुआ है। पहला भाग आपको सटीक सैंपल साइज़ की गणना करने में मदद करता है, जबकि दूसरा भाग मार्जिन ऑफ़ एरर (त्रुटि की गुंजाइश) निकालता है।

सैंपल साइज़ निर्धारित करने के लिए सबसे पहले ड्रॉप-डाउन मेनू से अपना कॉन्फिडेंस लेवल (Confidence Level) चुनें। इसके बाद रिलेटिव मार्जिन ऑफ़ एरर दर्ज करें। (आप एब्सोल्यूट वैल्यू को पॉइंट एस्टीमेट से विभाजित करके एब्सोल्यूट मार्जिन ऑफ़ एरर को रिलेटिव में बदल सकते हैं।)

यदि आपको जनसंख्या अनुपात (Population Proportion) पता है, तो उसे दर्ज करें; अन्यथा इसे 50% पर ही रहने दें। यदि आप कुल जनसंख्या का आकार (Population Size) जानते हैं, तो उसे अंतिम बॉक्स में डालें, वरना इसे खाली छोड़ दें। अंत में, "गणना करें" (Calculate) बटन पर क्लिक करें।

मार्जिन ऑफ़ एरर (Margin of Error) निकालने के लिए कैलकुलेटर के दूसरे हिस्से का उपयोग करें। पहले चरण के रूप में, ड्रॉप-डाउन मेनू से अपना कॉन्फिडेंस लेवल चुनें। दूसरे बॉक्स में अध्ययन का सैंपल साइज़ दर्ज करें। इसके बाद, जनसंख्या अनुपात डालें। अंतिम बॉक्स में कुल जनसंख्या का आकार दर्ज करें। यदि आपको जनसंख्या का आकार नहीं पता है, तो उस बॉक्स को खाली छोड़ दें। अंत में, "गणना करें" पर क्लिक करें।

सैंपल

एक सैंपल (Sample), किसी बड़ी जनसंख्या (Population) का एक छोटा हिस्सा या सबसेट होता है। सांख्यिकी (Statistics) में "जनसंख्या" का अर्थ उन सभी तत्वों या व्यक्तियों के समूह से है जो आपके विशेष अध्ययन का हिस्सा हैं। किसी जनसंख्या की जांच करने का सबसे सटीक तरीका यह है कि आप अपने अध्ययन के लिए चुने गए समूह के हर एक पहलू का अध्ययन करें। हालांकि, कई व्यावहारिक कारणों से पूरी जनसंख्या की हर एक इकाई की जांच करना अक्सर असंभव होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी जंगल में कीड़ों का अध्ययन कर रहे हैं, तो उनकी कुल जनसंख्या असीमित है। इसलिए, आप पूरी जनसंख्या का अध्ययन नहीं कर सकते। इसके अलावा, परीक्षण के दौरान आपके अध्ययन के कुछ आइटम नष्ट भी हो सकते हैं।

उदाहरण के तौर पर, यदि आप गुणवत्ता जांचने के लिए एक सीलबंद कोल्ड ड्रिंक की बोतल खोलते हैं, तो जांच के बाद आप उस बोतल को बाजार में बेचने के लिए नहीं भेज सकते।

पूरी जनसंख्या का अध्ययन करने के लिए बहुत अधिक समय, धन और अन्य संसाधनों की आवश्यकता होती है। ज्यादातर मामलों में, आपको सीमित समय, बजट और संसाधनों के साथ अपना शोध (Research) पूरा करना होता है। इसलिए, पूरी जनसंख्या की जांच करना अव्यावहारिक हो जाता है। इसका सबसे बेहतरीन समाधान यह है कि एक उचित 'सैंपल' चुना जाए और उस पर शोध किया जाए।

मार्जिन ऑफ़ एरर

हम हमेशा किसी जनसंख्या के सभी घटकों की जांच नहीं कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, जनसंख्या के मापदंडों (Population Parameters) का अनुमान लगाने के लिए अक्सर सैंपल स्टैटिस्टिक्स (नमूनों से प्राप्त गणना) का उपयोग किया जाता है। सैंपल से देखे गए या मापे गए वास्तविक डेटा का उपयोग इन सैंपल आँकड़ों को तैयार करने के लिए किया जाता है। जब आप किसी जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए एक सिंगल वैल्यू का उपयोग करते हैं, तो हम इसे 'पॉइंट एस्टीमेट' (Point Estimate) कहते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आप किसी प्रोडक्शन लाइन में कोल्ड ड्रिंक की बोतलों की औसत मात्रा का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो आप एक रैंडम बैच (Random Batch) चुन सकते हैं और उस बैच की औसत मात्रा की गणना कर सकते हैं। मान लें कि उस बैच की औसत मात्रा $barx$ 250 मिली है। इसके आधार पर, आप यह अनुमान लगाते हैं कि प्रोडक्शन लाइन की हर बोतल की औसत मात्रा \$(\hat{μ})\$ 250 मिली है।

व्यवहारिक रूप से, वास्तविक और अनुमानित पैरामीटर कभी भी बिल्कुल समान नहीं होते हैं। यह अंतर इस तथ्य के कारण होता है कि पैरामीटर का अनुमान पूरी जनसंख्या के बजाय केवल एक सैंपल का उपयोग करके लगाया गया है।

मार्जिन ऑफ़ एरर (Margin of Error) को पॉइंट एस्टीमेट और पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच होने वाले अधिकतम संभावित अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे आमतौर पर अनुमान की अधिकतम त्रुटि (Maximum Error of Estimate) भी कहा जाता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल (विश्वास अंतराल)

कॉन्फिडेंस इंटरवल संभावित अनुमानों की सीमा (Range) को दर्शाता है। अनुमानों की यह श्रेणी यह बताती है कि किसी निश्चित मार्जिन ऑफ़ एरर के भीतर पैरामीटर का अनुमान कैसे लगाया गया था। कॉन्फिडेंस इंटरवल की निचली सीमा (Lower Limit) निर्धारित करने के लिए मार्जिन ऑफ़ एरर को पॉइंट एस्टीमेट से घटाया जाता है। वहीं, इसकी ऊपरी सीमा (Upper Limit) निर्धारित करने के लिए मार्जिन ऑफ़ एरर को पॉइंट एस्टीमेट में जोड़ा जाता है।

सांख्यिकी में सैंपल साइज़, मार्जिन ऑफ़ एरर और कॉन्फिडेंस इंटरवल के बीच संबंध

पूरी जनसंख्या का अध्ययन करने के बजाय, हम उसके मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक सैंपल का अध्ययन करते हैं। इस वजह से, जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर और उसके वास्तविक पैरामीटर के बीच थोड़ा अंतर हो सकता है। मार्जिन ऑफ़ एरर, पॉइंट एस्टीमेट और पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच का अधिकतम संभावित अंतर होता है।

इसके अलावा, सैंपल साइज़ और मार्जिन ऑफ़ एरर के बीच विपरीत (Inverse) संबंध होता है। एक बड़ा सैंपल साइज़ जनसंख्या का अधिक सटीक प्रतिनिधित्व करता है, जिससे मार्जिन ऑफ़ एरर कम हो जाता है। इसी तरह, सैंपल साइज़ को कम करने से मार्जिन ऑफ़ एरर बढ़ जाता है।

जब आप इस मार्जिन ऑफ़ एरर को अपने पॉइंट एस्टीमेट पर लागू करते हैं, तो आपको कॉन्फिडेंस इंटरवल प्राप्त होता है।

सैंपल साइज़ की गणना करने का सूत्र

आपके पास उपलब्ध जानकारी के आधार पर सैंपल साइज़ की गणना करने के लिए विभिन्न सूत्र मौजूद हैं।

वांछित कॉन्फिडेंस लेवल सटीकता की डिग्री निर्धारित करता है, जबकि मार्जिन ऑफ़ एरर की अधिकतम सीमा यह तय करती है कि हम अपने एस्टीमेट के साथ कितनी सटीकता प्राप्त करना चाहते हैं।

यदि हमें जनसंख्या का स्टैण्डर्ड डेविएशन (Standard Deviation) पता है, तो हम वांछित कॉन्फिडेंस इंटरवल प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम सैंपल साइज़ की गणना नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

अंतिम परिणाम n को निकटतम पूर्ण संख्या (Whole number) तक राउंड ऑफ (पूर्णांकित) किया जाना चाहिए।

कोचरन फॉर्मूला (Cochran's Formula) आपको वांछित मार्जिन ऑफ़ एरर, वांछित कॉन्फिडेंस लेवल, और जनसंख्या में मौजूद विशेषता के अपेक्षित अनुपात के आधार पर न्यूनतम सैंपल साइज़ निर्धारित करने में मदद करता है। कोचरन सूत्र इस प्रकार है:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = वांछित कॉन्फिडेंस लेवल के आधार पर z-टेबल से प्राप्त Z मान
• p = जनसंख्या में मौजूद विशेषता का अपेक्षित अनुपात
• E = मार्जिन ऑफ़ एरर

उदाहरण 1

कल्पना कीजिए कि हम कनाडा में अंडरग्रेजुएट (स्नातक) पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतर्राष्ट्रीय छात्रों पर शोध कर रहे हैं। शुरुआत में, हमारे पास बहुत अधिक जानकारी नहीं है। इसलिए, हम यह मान लेते हैं कि कनाडा के सभी अंडरग्रेजुएट छात्रों में अंतर्राष्ट्रीय छात्रों की हिस्सेदारी 60% है। इस प्रकार, जनसंख्या में इस विशेषता का अनुमानित अनुपात 60% है। हम 95% कॉन्फिडेंस लेवल और 4% मार्जिन ऑफ़ एरर चाहते हैं। अध्ययन के न्यूनतम सैंपल साइज़ में कितने छात्रों को शामिल किया जाना चाहिए?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{ α /2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

इसलिए, 95% कॉन्फिडेंस लेवल और 4% मार्जिन ऑफ़ एरर का लक्ष्य प्राप्त करने के लिए अध्ययन में कम से कम 577 छात्रों को शामिल किया जाना चाहिए।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या का आकार बहुत बड़ा या अनंत (Infinite) होता है। यदि जनसंख्या का आकार छोटा या सीमित (Finite) है, तो हमें सैंपल साइज़ को एडजस्ट करना होगा। सैंपल साइज़ को नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके एडजस्ट किया जाता है:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = कोचरन सूत्र से प्राप्त सैंपल साइज़
• N = कुल जनसंख्या का आकार
• n = सीमित जनसंख्या के लिए एडजस्टेड सैंपल साइज़

उदाहरण 2

मान लें कि आप कनाडा के जिस कॉलेज में पढ़ रहे हैं, उसी कॉलेज के अंडरग्रेजुएट पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतर्राष्ट्रीय छात्रों पर हम शोध कर रहे हैं। शुरुआत करने के लिए हमारे पास ज्यादा जानकारी नहीं है। इसलिए, हम मानते हैं कि आपके कॉलेज के सभी अंडरग्रेजुएट छात्रों में से 60% अंतर्राष्ट्रीय छात्र हैं। इस प्रकार, विशेषता का अनुमानित जनसंख्या अनुपात 60% है। आपके कॉलेज में कुल 12,000 छात्र नामांकित हैं। हम 95% कॉन्फिडेंस लेवल और 4% मार्जिन ऑफ़ एरर चाहते हैं। अध्ययन के न्यूनतम सैंपल साइज़ में कितने छात्रों को शामिल किया जाना चाहिए?

इस मामले में, आपको पहले कोचरन सूत्र का उपयोग करके n₀ की गणना करनी चाहिए और फिर सैंपल साइज़ को एडजस्ट करना चाहिए क्योंकि यहाँ जनसंख्या सीमित है।

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

हमारे ऑनलाइन सैंपल साइज़ कैलकुलेटर के साथ, आप इन जटिल गणनाओं को एक सेकंड से भी कम समय में आसानी से पूरा कर सकते हैं।

मार्जिन ऑफ़ एरर की गणना करने का सूत्र

मार्जिन ऑफ़ एरर का सूत्र खोजने के लिए आप सैंपल साइज़ के सूत्र को ही पुनर्व्यवस्थित (Rearrange) कर सकते हैं।

आप जानते हैं कि न्यूनतम सैंपल साइज़ का सूत्र है:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

आइए E (मार्जिन ऑफ़ एरर) को उपरोक्त सूत्र का मुख्य विषय बनाते हैं:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

उदाहरण 3

कल्पना कीजिए कि हम कनाडा में अंडरग्रेजुएट पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतर्राष्ट्रीय छात्रों पर शोध कर रहे हैं। शुरुआत में, हमारे पास बहुत अधिक जानकारी नहीं है। इसलिए, हम यह मान लेते हैं कि कनाडा के सभी अंडरग्रेजुएट छात्रों में अंतर्राष्ट्रीय छात्रों की हिस्सेदारी 60% है। इस प्रकार, जनसंख्या में इस विशेषता का अनुमानित अनुपात 60% है। मान लें कि हम 95% कॉन्फिडेंस लेवल चाहते हैं, और आप अपने शोध के लिए 577 छात्रों का चयन करते हैं। आपके अध्ययन में मार्जिन ऑफ़ एरर क्या होगा?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

यदि जनसंख्या सीमित है, तो आपको पहले नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके n₀ खोजना होगा:

$$n₀=\frac{n-nN}{nN}$$

फिर, मार्जिन ऑफ़ एरर खोजने के लिए निम्न सूत्र में अपना उत्तर लागू करें:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

हमारे सैंपल साइज़ कैलकुलेटर का दूसरा हिस्सा आपको इन सभी मैन्युअल चरणों को छोड़ने और एक सेकंड से भी कम समय में सटीक मार्जिन ऑफ़ एरर की गणना करने में मदद करता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना करने का सूत्र

यदि आपको मार्जिन ऑफ़ एरर पता है, तो कॉन्फिडेंस इंटरवल निर्धारित करना बहुत आसान हो जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना करने के लिए नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग किया जाता है:

कॉन्फिडेंस इंटरवल = पॉइंट एस्टीमेट ± मार्जिन ऑफ़ एरर

कॉन्फिडेंस इंटरवल की ऊपरी सीमा = पॉइंट एस्टीमेट + मार्जिन ऑफ़ एरर

कॉन्फिडेंस इंटरवल की निचली सीमा = पॉइंट एस्टीमेट - मार्जिन ऑफ़ एरर

मीन (Mean) μ के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल है:

x̄ - E < μ < x̄ + E

जहाँ x̄ - E निचली सीमा है, और x̄ + E ऊपरी सीमा है।

अनुपात (Proportion) P के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल है:

p - E < P < p + E

उदाहरण 4

आप कनाडा में पढ़ रहे अंतर्राष्ट्रीय छात्रों की औसत प्रोग्राम लागत (Program Cost) पर शोध कर रहे हैं। आपने अपने सैंपल के लिए 1,000 छात्रों का चयन किया है, और अपने सैंपल के आधार पर, आप यह अनुमान लगाते हैं कि कनाडा में पढ़ रहे अंतर्राष्ट्रीय छात्रों की औसत प्रोग्राम लागत CAD 20,000 है। मार्जिन ऑफ़ एरर CAD 5,000 है। कनाडा में पढ़ रहे अंतर्राष्ट्रीय छात्रों की औसत प्रोग्राम लागत के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल ज्ञात करें।

ऊपरी सीमा = x̄ + E = CAD 20,000 + CAD 5,000 = CAD 25,000

निचली सीमा = x̄ - E = CAD 20,000 - CAD 5,000 = CAD 15,000

इसलिए, कॉन्फिडेंस इंटरवल है:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15,000 < μ < CAD 25,000