अनुचित अंश गणक के लिए मिश्रित संख्या

यह कैलकुलेटर मिश्रित संख्या (mixed number) को आसानी से अनुचित भिन्न (improper fraction) में बदलता है। गणित में, कोई भिन्न तब 'उचित' (proper) कहलाती है जब उसका अंश (numerator) उसके हर (denominator) से छोटा होता है। इसके विपरीत, एक भिन्न को 'अनुचित' तब कहा जाता है जब उसका अंश, हर के बराबर या उससे बड़ा हो।

एक मिश्रित संख्या हमेशा एक पूर्ण संख्या (whole number) और एक उचित भिन्न से मिलकर बनी होती है। आप किसी भी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदल सकते हैं; और इस रूपांतरण से संख्या के मूल मान में कोई बदलाव नहीं होता है।

इस्तेमाल के लिए निर्देश

इस अनुचित भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, दिए गए इनपुट बॉक्स में मिश्रित संख्या के सभी भागों को दर्ज करें। आपको दी गई संख्या की पूर्ण संख्या, अंश और हर को दर्ज करना होगा। इसके बाद "कैलकुलेट" (Calculate) बटन पर क्लिक करें। यह कैलकुलेटर तुरंत आपकी मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में बदल देगा और यदि संभव हो, तो परिणामी भिन्न को सरल (simplify) भी करेगा। आपको केवल अंतिम उत्तर ही नहीं, बल्कि इसे हल करने की पूरी स्टेप-बाय-स्टेप प्रक्रिया भी दिखाई जाएगी।

सभी इनपुट बॉक्स को खाली करने के लिए, "क्लियर" (Clear) बटन दबाएं।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलना

परिभाषाएं

• उचित भिन्न (Proper Fraction) - एक ऐसी भिन्न, जिसमें अंश हमेशा हर से छोटा होता है; उदाहरण के लिए, \$\frac{3}{5}\$, \$\frac{6}{26}\$, \$\frac{7}{15}\$।
• अनुचित भिन्न (Improper Fraction) - एक ऐसी भिन्न, जिसमें अंश हमेशा हर से बड़ा या उसके बराबर होता है; उदाहरण के लिए, \$\frac{11}{4}\$, \$\frac{9}{2}\$।
• मिश्रित संख्या (Mixed Number) - एक ऐसी संख्या, जो दो भागों से मिलकर बनती है: एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न। उदाहरण के लिए, \$6 \frac{1}{2}\$, \$9 \frac{5}{9}\$।

चूंकि एक उचित भिन्न में अंश हमेशा हर से छोटा होता है, इसलिए उचित भिन्न का मान हमेशा 1 से कम होता है। इसी तरह, किसी भी अनुचित भिन्न का मान हमेशा 1 या उससे अधिक होता है। इसलिए, किसी भी अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में आसानी से बदला जा सकता है और इसके विपरीत भी किया जा सकता है।

बदलने की प्रक्रिया (Conversion Algorithm)

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, नीचे दिए गए आसान चरणों का पालन करें:

1. मिश्रित संख्या के पूर्णांक (पूर्ण संख्या) भाग को उसके भिन्नात्मक भाग के हर (denominator) से गुणा करें।
2. चरण 1 में प्राप्त गुणनफल को भिन्नात्मक भाग के अंश (numerator) में जोड़ें।
3. चरण 2 से प्राप्त परिणाम को नई अनुचित भिन्न का अंश बनाएं, और मूल भिन्न के हर को नई अनुचित भिन्न के हर के रूप में जस का तस रखें।
4. जांचें कि क्या नई अनुचित भिन्न के अंश और हर में कोई समान गुणनखंड (common factor) है। यदि हाँ, तो अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCF) से विभाजित करके भिन्न को सरल करें।

उदाहरण के लिए, आइए उपरोक्त प्रक्रिया का पालन करते हुए \$1 \frac{2}{5}\$ को एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करते हैं:

1. 5 × 1 = 5
2. 5 + 2 = 7
3. अनुचित भिन्न = \$\frac{7}{5}\$
4. 7 और 5 का कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए इसे और अधिक सरल नहीं किया जा सकता है।

अंततः, \$1 \frac{2}{5}\$ = \$\frac{7}{5}\$।

योग द्वारा मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना

किसी भी मिश्रित संख्या को उसकी पूर्ण संख्या और उसके भिन्नात्मक भाग के योग (जोड़) के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसलिए, मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने का एक अन्य तरीका यह है कि पूर्ण संख्या वाले भाग में भिन्नात्मक भाग को जोड़ दिया जाए। उदाहरण के लिए, आइए \$3 \frac{2}{5}\$ को एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें:

\$3 \frac{2}{5}\$ = 3 + \$\frac{2}{5}\$ = \$\frac{3}{1}\$ + \$\frac{2}{5}\$ = \$\frac{15 + 2}{5}\$ = \$\frac{17}{5}\$

17 और 5 का कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए यही हमारा अंतिम उत्तर है।

गणना के वास्तविक उदाहरण

पिज्जा ऑर्डर करना

गणित में भिन्नों को जोड़ते समय अक्सर मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलने की आवश्यकता होती है।

कल्पना कीजिए, आप 5 बच्चों के एक समूह के लिए पिज्जा ऑर्डर कर रहे हैं। आप जानते हैं कि 3 बच्चे आधा-आधा पिज़्ज़ा खा सकते हैं, 1 बच्चा पूरा पिज़्ज़ा खाता है, और 1 बच्चा डेढ़ पिज़्ज़ा खाता है। ऐसे में आपको कुल कितने पिज्जा ऑर्डर करने होंगे?

हल

यह पता लगाने के लिए कि आपको कितने पिज़्ज़ा ऑर्डर करने हैं, आपको प्रत्येक बच्चे द्वारा खाए जाने वाले पिज़्ज़ा की मात्रा को जोड़ना होगा, और फिर अंतिम संख्या को पूर्णांक (round off) में बदलना होगा। आइए पहले ज्ञात आंकड़ों को देखते हैं:

• 1 बच्चा - 1 पिज़्ज़ा
• 1 बच्चा - 1 पिज़्ज़ा और आधा (\$1 \frac{1}{2}\$)
• 3 बच्चे - प्रत्येक के लिए \$\frac{1}{2}\$ पिज्जा

कुल योग होगा:

1 + (1 + \$\frac{1}{2}\$) + 3 × (\$\frac{1}{2}\$) = 1 + \$1 \frac{1}{2}\$ + \$\frac{3}{2}\$

उपरोक्त योग की गणना करने के लिए, हमें \$1 \frac{1}{2}\$ को अनुचित भिन्न में बदलना होगा। ऊपर बताई गई प्रक्रिया के चरणों का पालन करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

1. 2 × 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. अनुचित भिन्न = \$\frac{3}{2}\$
4. 3 और 2 का कोई समान गुणनखंड नहीं है।

यह ध्यान में रखते हुए कि 1 को \$\frac{2}{2}\$ के रूप में लिखा जा सकता है, और \$1\frac{1}{2}\$ को अनुचित भिन्न \$\frac{3}{2}\$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

1 + \$1 \frac{1}{2}\$ + \$\frac{3}{2}\$ = \$\frac{2}{2}\$ + \$\frac{3}{2}\$ + \$\frac{3}{2}\$ = \$\frac{2 + 3 + 3}{2}\$ = \$\frac{8}{2}\$ = 4

उत्तर

आपको कुल 4 पिज्जा ऑर्डर करने होंगे।

एक रेसिपी (व्यंजन विधि) का उदाहरण

जोड़ने की तरह ही, मिश्रित संख्याओं की तुलना में अनुचित भिन्नों को गुणा करना बहुत आसान होता है।

कल्पना कीजिए कि आप एक डिनर पार्टी का आयोजन कर रहे हैं और आप अपने मेहमानों को स्वादिष्ट चीज़ पाई (Cheese Pie) खिलाना चाहते हैं। आपके पास एक बहुत अच्छी रेसिपी है, जिसमें \$2 \frac{1}{2}\$ कप मैदे का उपयोग होता है और इससे पाई के 4 हिस्से (servings) तैयार होते हैं। पार्टी में 7 मेहमानों के आने की उम्मीद है, और आपको अपने लिए भी पाई का एक टुकड़ा चाहिए। पर्याप्त पाई बनाने के लिए आपको कितने मैदे की आवश्यकता होगी?

हल

मैदे की अंतिम मात्रा का पता लगाने के लिए, आइए पहले यह गणना करें कि मूल रेसिपी की तुलना में आपको कितने गुना मैदे की आवश्यकता होगी। मूल रेसिपी से 4 हिस्से बनते हैं, लेकिन आपके पास 7 मेहमान और आप स्वयं हैं, यानी कुल (7 + 1) = 8 हिस्से चाहिए। \$\frac{8}{4}\$ = 2। इसका मतलब है कि आपको मूल रेसिपी के मुकाबले दोगुने मैदे की आवश्यकता होगी।

अंतिम मात्रा की गणना करने के लिए, हमें मूल मात्रा को 2 से गुणा करना होगा। मूल मात्रा \$2 \frac{1}{2}\$ कप थी। गुणा करने के लिए, आइए पहले \$2 \frac{1}{2}\$ को अनुचित भिन्न में बदल लेते हैं।

1. 2 × 2 = 4
2. 4 + 1 = 5
3. अनुचित भिन्न = \$\frac{5}{2}\$
4. 5 और 2 का कोई समान गुणनखंड नहीं है।

मैदे की अंतिम मात्रा = 2 × \$\frac{5}{2}\$ = \$\frac{10}{2}\$। ध्यान दें कि 10 को 2 से पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है (बिना किसी शेष के): \$\frac{10}{2}\$ = 5।

उत्तर

पाई तैयार करने के लिए आपको 5 कप मैदे की आवश्यकता होगी।