अंश सरलीकरण गणक

भिन्न सरलीकरण कैलकुलेटर (Fraction Simplifier Calculator) आपको उचित (proper) और अनुचित (improper) भिन्नों को तुरंत और आसानी से सरल बनाने में मदद करता है। यह कैलकुलेटर परिणाम को मिश्रित संख्या (mixed number) के रूप में या उचित भिन्न के सबसे सरल रूप में प्रदर्शित करता है।

उपयोग के निर्देश

• इस भिन्न सरलीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी भिन्न (fraction) को छोटा (reduce) करने के लिए, बस दिए गए भिन्न का अंश (numerator) और हर (denominator) दर्ज करें और "कैलकुलेट" पर क्लिक करें।
• यदि दर्ज किया गया भिन्न उचित (proper fraction) है, तो कैलकुलेटर उत्तर के रूप में भिन्न का सबसे सरल रूप दिखाएगा।
• यदि दर्ज किया गया भिन्न अनुचित (improper fraction) है, तो उत्तर के रूप में इसके सरलतम रूप वाली एक मिश्रित संख्या दिखाई जाएगी। यह कैलकुलेटर विस्तृत हल (step-by-step solution) भी प्रदर्शित करेगा।
• सभी फ़ील्ड्स को खाली करने के लिए, "क्लियर" दबाएँ।

परिभाषाएं

भिन्न (Fraction)

भिन्न को किसी पूर्ण (whole) के एक हिस्से या अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह पूर्ण हिस्सा कोई भी संख्या, मान या वस्तु हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक "पूर्ण" को एक पूरी पाई (pie) मान लें, तो इस पाई को 6 बराबर टुकड़ों में काटने पर 6 भिन्न बनेंगे। इनमें से प्रत्येक टुकड़ा एक-छठा हिस्सा होगा, यानी पूरी पाई का \$\frac{1}{6}\$।

किसी भी भिन्न के दो भाग होते हैं - अंश (numerator) और हर (denominator), जिन्हें एक क्षैतिज रेखा (horizontal line) द्वारा अलग किया जाता है, जिसे फ्रैक्शनल बार (fractional bar) कहते हैं। हर (Denominator) लाइन के नीचे होता है, और यह बताता है कि पूर्ण हिस्से को कुल कितने बराबर भागों में बांटा गया है। ऊपर दिए गए उदाहरण में हर 6 है, क्योंकि पाई को 6 टुकड़ों में काटा गया था। अंश (Numerator) लाइन के ऊपर होता है, जो उन भागों की संख्या दर्शाता है जिनकी हम बात कर रहे हैं। ऊपर के उदाहरण में अंश 1 था, क्योंकि हम 6 में से 1 टुकड़े की बात कर रहे थे। यदि हम 2 टुकड़े लेना चाहते हैं, तो परिणामी भिन्न \$\frac{2}{6}\$ होगी।

भिन्न को तिरछी रेखा (slash) की सहायता से भी लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/3 और \$\frac{1}{3}\$ एक ही भिन्न को दर्शाते हैं।

उचित और अनुचित भिन्न (Proper and Improper Fractions)

एक भिन्न को उचित (proper) कहा जाता है, यदि उसका हर (denominator) उसके अंश (numerator) से बड़ा हो।

\$\frac{1}{3}\$, \$\frac{2}{50}\$, \$\frac{56}{125}\$ उचित भिन्न के उदाहरण हैं।

इसी तरह, एक भिन्न को अनुचित (improper) कहा जाता है यदि उसका अंश उसके हर से बड़ा हो। उदाहरण के लिए, \$\frac{33}{15}\$, \$\frac{17}{8}\$, \$\frac{3}{2}\$ सभी अनुचित भिन्न हैं।

किसी भी अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या (mixed number) के रूप में लिखा जा सकता है - यह एक ऐसी संख्या है जिसमें एक पूर्ण संख्या (whole number) और एक उचित भिन्न शामिल होता है। उदाहरण के लिए, \$5 \frac{1}{3}\$, \$12 \frac{132}{256}\$।

भिन्न का सरलतम रूप

एक भिन्न अपने सरलतम रूप में तब होती है, जब उसके अंश और हर में 1 के अलावा कोई अन्य समान गुणनखंड (common factor) नहीं होता। उदाहरण के लिए, \$\frac{1}{3}\$ अपने सरलतम रूप में है, लेकिन \$\frac{4}{6}\$ नहीं है। 4 और 6 का एक और समान गुणनखंड है - 2, इसलिए यह भिन्न अपने सरलतम रूप में नहीं है।

गणना विधि

एक उचित भिन्न को सरल बनाना

भिन्न को सरल बनाने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

• भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCF/HCF) ज्ञात करें।
• भिन्न के अंश और हर दोनों को इस GCF से विभाजित करें (भाग दें)।
• प्राप्त परिणामी भिन्न अपने सरलतम रूप में होगा।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित भिन्न को सरल करें: \$\frac{70}{236}\$।

• 70 के सभी गुणनखंड (factors) हैं: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70।
• 236 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 4, 59, 118, 236।

70 और 236 का महत्तम समापवर्तक (GCF) है: 2।

• 70 ÷ 2 = 35

• 236 ÷ 2 = 118

• \$\frac{70}{236}\$ = \$\frac{35}{118}\$

उत्तर: \$\frac{70}{236}\$ = \$\frac{35}{118}\$

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

• यह जांचें कि क्या भिन्न को सरल बनाया जा सकता है। इसके लिए देखें कि क्या अंश और हर में कोई समान गुणनखंड (common factor) है। यदि हाँ, तो दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCF) से विभाजित करके भिन्न को सरल करें।
• अंतिम मिश्रित संख्या का पूर्ण संख्या (whole number) वाला भाग ज्ञात करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें और प्राप्त भागफल (quotient) की केवल पूर्ण संख्या लिखें।
• मिश्रित संख्या का उचित भिन्न वाला भाग लिखने के लिए, चरण 2 से प्राप्त शेषफल (remainder) को अंश (numerator) के रूप में लें और हर (denominator) के स्थान पर वही संख्या लिखें जो मूल (सरल किए गए) भिन्न में थी।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) को सरल करें: \$\frac{236}{70}\$।

पहले अंश और हर को GCF से विभाजित करके दिए गए भिन्न को सरल करते हैं।

• 236 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 4, 59, 118, 236।
• 70 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70।

70 और 236 का सबसे बड़ा समान भाजक (GCF) है: 2

• 236 ÷ 2 = 118

• 70 ÷ 2 = 35

• \$\frac{236}{70}\$ = \$\frac{118}{35}\$

अब हम परिणामी भिन्न के अंश को हर से विभाजित करते हैं, और भागफल की पूर्ण संख्या लिखते हैं:

\$\frac{118}{35}\$ = 3 और शेषफल (remainder) 13 बचेगा।

मिश्रित संख्या के उचित भिन्न वाले भाग में विभाजन का शेषफल, अंश के रूप में होगा। इसलिए, अंश 13 है। हर वही रहेगा जो मूल भिन्न में था, इसलिए हर 35 है।

परिणामी मिश्रित संख्या \$3\frac{13}{35}\$ है।

उत्तर: \$\frac{236}{70}\$ = \$3\frac{13}{35}\$

गणना उदाहरण

रेसिपी (recipes) में आमतौर पर भिन्नों का उपयोग किया जाता है। जब आप अधिक लोगों के लिए किसी रेसिपी की मात्रा को बढ़ाना चाहते हैं, तो अक्सर आपको अनुचित भिन्नों को मिश्रित संख्याओं में बदलने की आवश्यकता होती है।

कल्पना करें, आप किसी पार्टी के लिए कुछ कपकेक बनाना चाहते हैं। रेसिपी के अनुसार दी गई सामग्री 4 लोगों के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, आपने 12 मेहमानों को आमंत्रित किया है। यदि रेसिपी कहती है कि आपको 4 लोगों के कपकेक के लिए \$\frac{3}{4}\$ कप मैदा चाहिए, तो 12 मेहमानों को खिलाने के लिए आपको रेसिपी के अनुसार कितने मैदे की आवश्यकता होगी?

हल

आटे (मैदे) की मात्रा को समायोजित करने के लिए, आपको दी गई मात्रा \$\frac{3}{4}\$ को 3 से गुणा करना होगा, क्योंकि \$\frac{12}{4}\$ = 3 होता है, इसलिए आपको 3 गुना अधिक मैदे की आवश्यकता होगी:

\$\frac{3}{4}\$ × 3 = \$\frac{9}{4}\$

यह पता लगाने के लिए कि आपको कितने कप मैदे की आवश्यकता है, आपको अनुचित भिन्न \$\frac{9}{4}\$ को मिश्रित संख्या में बदलना होगा। आइए ऊपर बताए गए चरणों का पालन करें।

जांचें कि क्या भिन्न को सरल बनाया जा सकता है।

• 9 के गुणनखंड हैं: 1, 3, 9।
• 4 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 4।

महत्तम समापवर्तक 1 है, इसलिए इस भिन्न को और सरल नहीं किया जा सकता है। मिश्रित संख्या का पूर्ण संख्या भाग ज्ञात करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें:

\$\frac{9}{4}\$ = 2 और शेषफल 1 बचेगा।

मिश्रित संख्या के उचित भिन्न वाले भाग में अंश के रूप में चरण 2 में प्राप्त शेषफल होगा, इसलिए, अंश 1 है। हर वही रहेगा जो मूल भिन्न में है, इसलिए, हर 4 है।

परिणामी मिश्रित संख्या \$2\frac{1}{4}\$ है।

उत्तर

12 लोगों के लिए रेसिपी को समायोजित करने के लिए आपको सामग्री को तीन गुना करना होगा। \$\frac{3}{4}\$ × 3 = \$\frac{9}{4}\$ = \$2\frac{1}{4}\$। आपको सवा दो (दो और एक-चौथाई) कप मैदे की आवश्यकता होगी।