Kalkulator Segi Tiga

Kalkulator segi tiga ialah penyelesai segi tiga dalam talian yang serba boleh, membolehkan anda mencari semua ukuran segi tiga yang hilang dengan cepat berdasarkan tiga pemboleh ubah yang diketahui. Dengan hanya memasukkan panjang sisi dan sudut segi tiga, alat komprehensif ini mengira sifat-sifat berikut secara serta-merta:

• panjang sisi yang hilang,
• sudut segi tiga yang hilang,
• luas,
• perimeter,
• semiperimeter,
• tinggi bagi semua sisi segi tiga,
• median bagi semua sisi segi tiga,
• jejari bulatan dalam (inradius),
• jejari bulatan luar (circumradius).

Selain itu, kalkulator segi tiga ini menyediakan koordinat tepat bagi bucu, sentroid, pusat bulatan dalam (incenter), dan pusat bulatan luar (circumcenter), dengan mengandaikan bahawa koordinat bucu A terletak pada asalan [0, 0].

Arahan penggunaan

Menggunakan kalkulator segi tiga dalam talian ini adalah sangat mudah. Cuma masukkan mana-mana tiga nilai yang diketahui ke dalam medan input. Ini boleh jadi sebarang gabungan sudut dan panjang sisi. Nota: Sekurang-kurangnya satu daripada nilai yang dimasukkan mestilah panjang sisi; jika tidak, segi tiga tersebut akan mempunyai penyelesaian tanpa had yang mungkin (membentuk segi tiga serupa).

Seterusnya, pilih unit pilihan anda untuk sudut segi tiga—pilih antara darjah atau radian. Apabila menggunakan radian, gunakan "pi" untuk mewakili π. Sebagai contoh, jika sudut anda ialah $\frac{π}{3}$, cuma masukkan "pi/3". Sebaik sahaja anda telah memasukkan pemboleh ubah yang diketahui, klik "Kira." Penyelesai akan menjana semua nilai yang hilang daripada senarai di atas secara serta-merta bersama dengan lukisan skematik segi tiga untuk membantu anda menggambarkan keputusan dengan mudah.

Bagi mereka yang ingin memahami matematik di sebalik keputusan tersebut, anda boleh mengembangkan bahagian "Tunjukkan Langkah Pengiraan". Ini menyediakan pecahan terperinci tentang algoritma penyelesaian dan formula geometri khusus yang digunakan untuk mencari jawapan akhir.

Had pada nilai input

Untuk membolehkan penyelesai segi tiga berfungsi dengan betul, sila ambil perhatian tentang peraturan geometri berikut:

Pertama, sekurang-kurangnya satu daripada nilai yang diketahui mestilah panjang sisi.

Apabila memasukkan dua sudut dan satu panjang sisi, jumlah sudut yang diberikan mestilah kurang daripada 180° atau π.

Apabila memasukkan tiga panjang sisi, jumlah mana-mana dua sisi mestilah sentiasa lebih besar daripada panjang sisi ketiga yang tinggal, selaras dengan teorem ketaksamaan segi tiga.

Contoh pengiraan

Bayangkan anda sedang berpindah rumah dan ingin meminjam lori pemindahan daripada seorang rakan. Anda perlu memuatkan dan memunggah kotak yang berat, tetapi lori tersebut tidak mempunyai tanjakan (ramp) terbina dalam. Anda mempunyai tanjakan mudah alih, tetapi anda mesti memastikan dimensinya sepadan dengan ketinggian lori sebelum meminjamnya.

Tanjakan anda tidak boleh dilaraskan. Anda mengukurnya dan mendapati dua daripada sisinya adalah sepanjang 1 m dan 0.8 m, dan sudut bertentangan dengan sisi 1 m ialah tepat 85 darjah (seperti yang ditunjukkan dalam gambar). Anda juga tahu ketinggian pintu belakang lori boleh dilaraskan antara 0.5 m hingga 1 m. Persoalannya: adakah tanjakan anda akan muat?

Diberi

• sisi b = 1;
• sisi c = 0.8;
• sudut B = 85 darjah.

Penyelesaian

Untuk menentukan sama ada tanjakan anda muat, anda perlu menyelesaikan segi tiga tersebut dan menyemak sama ada panjang sisi a berada dalam julat ketinggian lori yang boleh dilaraskan: 0.5 < a < 1.

Dengan memasukkan nilai yang diketahui ke dalam kalkulator sisi segi tiga kami, anda akan mendapat dimensi tepat yang diperlukan. Walaupun alat ini mengira semua pemboleh ubah yang hilang, kita hanya memerlukan panjang sisi yang hilang untuk contoh praktikal ini:

Jawapan

• Sisi a = 0.67376

• Sisi b = 1

• Sisi c = 0.8

• sudut A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• sudut B = 85° = 1.48353 rad

• sudut C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

Konfigurasi tanjakan yang terhasil kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, ketinggian yang diperlukan ialah a ≈ 0.674 m. Memandangkan ketinggian lori boleh dilaraskan dalam julat 0.5 < a < 1, tanjakan tersebut muat dengan sempurna! Anda boleh meminjam lori daripada rakan anda dengan tenang tanpa perlu menyewa yang lain.

Segi tiga: definisi dan formula penting

Dalam geometri, segi tiga ialah rajah satah dua dimensi yang terbentuk daripada persilangan tiga garis lurus yang tidak selari. Ia juga boleh digambarkan sebagai poligon asas dengan tiga bucu dan tiga tepi. Dalam matematik harian, tepi segi tiga biasanya dirujuk sebagai sisinya.

Syarat kewujudan segi tiga

Untuk mana-mana segi tiga wujud, ia mesti memenuhi dua peraturan asas: satu berkaitan dengan sisinya, dan satu lagi berkaitan dengan sudutnya.

Peraturan untuk sisi dikenali sebagai teorem ketaksamaan segi tiga. Ia menyatakan bahawa jumlah panjang mana-mana dua sisi segi tiga mestilah sentiasa lebih besar daripada panjang sisi ketiga yang tinggal. Jika jumlah dua sisi yang lebih pendek adalah tepat sama dengan panjang sisi ketiga, ia membentuk segi tiga "merosot" (degenerate triangle).

Segi tiga merosot ialah kes teori di mana ketiga-tiga bucu terletak pada garis lurus yang sama (secara berkesan membentuk segmen garis rata). Memandangkan ini adalah kes yang sangat khusus dan biasanya dikecualikan daripada geometri asas, kalkulator kami tidak mempertimbangkannya.

Peraturan untuk sudut menyatakan bahawa jumlah sudut pedalaman bagi mana-mana segi tiga yang sah mestilah sentiasa bersamaan dengan tepat 180° (atau π radian).

Ukuran segi tiga

Mari kita terokai ukuran segi tiga yang paling penting bersama-sama dengan formula geometri utama yang digunakan untuk mengiranya.

Perimeter segi tiga ialah jumlah jarak di sekeliling tepi luarnya, dikira dengan mencari jumlah ketiga-tiga panjang sisi:

p = a + b + c

Semiperimeter hanyalah separuh daripada perimeter segi tiga:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Luas segi tiga mengukur jumlah ruang yang terkandung di dalam tiga sisinya pada satah 2D. Jika anda mengetahui panjang dua sisi dan ukuran sudut di antara kedua-dua sisi tersebut (sudut kandung), anda boleh mengira luas menggunakan formula ini:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Tinggi segi tiga (atau altitud) ialah segmen garis berserenjang yang ditarik dari bucu ke sisi bertentangan (atau pelanjutannya). Memandangkan segi tiga mempunyai tiga bucu, ia sememangnya mempunyai tiga tinggi yang unik. Altitud yang ditarik ke sisi a biasanya ditandakan sebagai hₐ. Begitu juga, dua tinggi yang lain diwakili sebagai $h_b$ dan h꜀. Cara paling mudah untuk mencari tinggi segi tiga adalah dengan menggunakan luasnya:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Median segi tiga ialah segmen garis yang menyambungkan bucu ke titik tengah tepat bagi sisi yang bertentangan. Oleh itu, setiap segi tiga mempunyai tiga median.

Median yang ditarik ke sisi a ditandakan sebagai mₐ. Begitu juga, dua median yang lain diwakili sebagai $m_b$ dan m꜀. Anda boleh mengira panjang mana-mana median menggunakan formula berikut:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$

Jejari bulatan dalam (inradius) segi tiga ialah jejari bagi bulatan terbesar yang mungkin terterap secara sempurna di dalam segi tiga, tangen kepada ketiga-tiga sisinya.

Panjang jejari bulatan dalam r boleh dikira menggunakan luas (A) dan semiperimeter (s):

$$r=\frac{A}{s}$$

Jejari bulatan luar (circumradius) segi tiga ialah jejari bagi bulatan terterap luar—bulatan yang melalui ketiga-tiga bucu segi tiga dengan sempurna.

Kita boleh mendapatkan panjang jejari bulatan luar R dengan menggunakan Hukum Sinus:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Hukum Sinus sangat berguna untuk mencari panjang sisi yang hilang atau sudut yang tidak diketahui. Satu lagi teorem geometri asas yang penting untuk menyelesaikan segi tiga ialah Hukum Kosinus:

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{C}}$$

Formula yang diperincikan di atas menyediakan semua yang anda perlukan untuk mengira sebarang ukuran segi tiga secara manual. Walau bagaimanapun, untuk kecekapan dan ketepatan maksimum, kalkulator segi tiga dalam talian kami menggunakan formula tepat ini di latar belakang untuk mencari semua nilai yang hilang dalam beberapa saat sahaja!