Varianskalkulator

Varians som et spredningsmål

Når man analyserer et datasett, er et grunnleggende aspekt ved statistisk inferens å måle hvor mye dataene varierer fra gjennomsnittet. De mest populære beregningene for å måle denne spredningen er:

• Varians er gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene fra gjennomsnittet.
• Standardavvik er kvadratroten av variansen. Standardavvik er et vanlig brukt mål for å måle spredning og generell variabilitet.
• Variasjonskoeffisient, også kjent som relativt standardavvik. Variasjonskoeffisienten beregnes som forholdet mellom standardavviket σ og gjennomsnittet μ, eller \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Vår varianskalkulator på nett finner enkelt variansen til et gitt datasett og gir en detaljert, trinnvis gjennomgang av beregningsprosessen.

Regler for bruk av denne kalkulatoren

Varianskalkulatoren godtar inndata som en liste med tall atskilt med et skilletegn. Noen eksempler på støttet formatering vises i tabellen nedenfor:

Du kan skille tallene med komma, mellomrom, linjeskift eller en kombinasjon av disse skilletegnene. Du kan bruke enten et rad- eller et kolonneformat. For alle dataformatene som vises i tabellen ovenfor, vil kalkulatoren nøyaktig behandle inndataene som 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 og 89.

Etter at du har lagt inn dataene dine, velger du om de representerer et utvalg eller en hel populasjon. Når du trykker på beregn-knappen, viser verktøyet fem sentrale statistiske parametere: antall (antall observasjoner), gjennomsnitt, sum av kvadrerte avvik, varians og standardavvik.

Denne kalkulatoren er spesielt designet for å beregne variansen til et datasett. Videre gir den verdifull innsikt i den underliggende statistiske teorien ved å tydelig vise alle trinnene som er involvert.

For svært pålitelige statistiske slutninger er det alltid å foretrekke å bruke et stort datasett. Det er imidlertid ofte upraktisk å innhente populasjonsdata som representerer alle mulige observasjoner. På grunn av dette tar statistikere typisk et "utvalg" (sample) fra populasjonen, noe som gjør det mulig å trekke konklusjoner om hele populasjonen direkte fra utvalgsdataene.

Varians måler et datasetts gjennomsnittlige spredning i forhold til gjennomsnittet. Det betegnes tradisjonelt med σ² for en populasjon og med s² for et utvalg. En større verdi av σ² eller s² indikerer en bredere spredning av datapunkter fra gjennomsnittet, mens en mindre verdi indikerer at datapunktene er tett gruppert rundt gjennomsnittet.

Vurder følgende eksempel på datasett:

(Sett I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Sett II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Å legge inn Sett I i varianskalkulatoren gir følgende resultat:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

for et utvalg, og

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

for populasjonen.

På tilsvarende måte gir innlegging av Sett II i kalkulatoren:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

for et utvalg, og

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

for populasjonen.

• I Sett I avviker tallene betydelig fra utvalgets gjennomsnitt, noe som resulterer i en høyere varians:

s²=70.4

σ²=64

• I Sett II er den generelle variabiliteten mye mindre:

s²=5.6

σ²=5.09

Formelen for varians: populasjonsvarians vs. utvalgsvarians

Populasjonsvarians

I statistikk refererer en populasjon til alle mulige observasjoner i et forsøk eller en undersøkelse. For N observasjoner er formelen for populasjonsvarians:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

hvor:

• σ² er populasjonsvariansen,
• Σ representerer summeringen (summen av),
• xᵢ er hver enkelt observasjon,
• μ er populasjonens gjennomsnitt,
• N er det totale antallet observasjoner i populasjonen.

Utvalgsvarians

Utvalgsvariansen defineres av følgende formel:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

hvor:

• s² er utvalgsvariansen,
• Σ representerer summeringen,
• xᵢ er hver enkelt observasjon,
• x̄ er utvalgets gjennomsnitt,
• n er det totale antallet observasjoner i utvalget.

Trinn for å beregne variansen

Å beregne varians manuelt innebærer følgende standardtrinn:

Trinn 1: Beregn gjennomsnittet for utvalget eller populasjonen. Dette er summen av alle datapunktene delt på antall datapunkter (n for et utvalg og N for en populasjon), dvs.,

Utvalgsgjennomsnitt:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Populasjonsgjennomsnitt:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Trinn 2: Beregn de individuelle avvikene ved å trekke utvalgets eller populasjonens gjennomsnitt fra hvert datapunkt, dvs.,

Utvalgsavvik:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Populasjonsavvik:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Trinn 3: Beregn de kvadrerte avvikene for hvert datapunkt.

Kvadrerte avvik for utvalg:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Kvadrerte avvik for populasjon:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Trinn 4: Beregn summen av de kvadrerte avvikene.

Sum av kvadrerte avvik for utvalg:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Sum av kvadrerte avvik for populasjon:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Trinn 5: Del summen av de kvadrerte avvikene på n-1 for et utvalg og N for populasjonen for å finne den endelige variansen.

Utvalgsvarians:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Populasjonsvarians:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Eksempel på beregning av varians for et utvalg

La oss se på et praktisk eksempel med følgende datasett: 1, 2, 4, 5, 6 og 12. For å beregne utvalgsvariansen følger vi disse trinnene:

Trinn 1: Beregn utvalgets gjennomsnitt.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Trinn 2: Beregn avvikene fra gjennomsnittet for hvert datapunkt.

Trinn 3: Beregn kvadratet av avvikene.

Trinn 4: Summer de kvadrerte avvikene.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Trinn 5: Beregn utvalgsvariansen ved å dele summen av kvadrerte avvik på frihetsgradene (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

For en populasjon vil du dele på n (det totale antallet datapunkter) i stedet for n-1 for å beregne populasjonsvariansen.

Betydningen av varians

Varians og spredning er avgjørende måltall i investeringsverdenen. De gjør det mulig for forvaltere å optimalisere investeringsavkastningen og administrere porteføljer effektivt. Finansanalytikere er sterkt avhengige av varians for å evaluere den individuelle risikoen og den historiske ytelsen til spesifikke eiendeler i en investeringsportefølje.

Når de vurderer et nytt kjøp, beregner investorer varians for å avgjøre om en potensiell investering er verdt den tilknyttede risikoen. Spredningsmål hjelper analytikere med å tallfeste usikkerhet – en faktor som er nesten umulig å evaluere nøyaktig uten varians og standardavvik.

Selv om usikkerhet i seg selv ikke er direkte målbart, gjør varians og standardavvik (kvadratroten av variansen) det mulig for investorer å bestemme den opplevde volatiliteten og påvirkningen en bestemt aksje vil ha på en bredere portefølje.

Utenfor finansverdenen er varians et uunnværlig verktøy for forskere, statistikere, matematikere og dataanalytikere. Det gir dyp matematisk innsikt i eksperimenter og utvalgspopulasjoner.

Forskere støtter seg ofte på varians for å identifisere strukturelle forskjeller mellom testgrupper, og for å avgjøre om de er like nok til å teste en hypotese vellykket. Jo høyere varians, desto mer spredt er verdiene i datasettet. Dataforskere benytter denne informasjonen for å forstå hvor nøyaktig gjennomsnittet representerer datasettet som helhet.

En ulempe med å bruke varians er imidlertid følsomheten for store avvikere (uteliggere). Fordi avvik fra gjennomsnittet matematisk sett kvadreres, får uteliggere en uforholdsmessig stor vekt, noe som utilsiktet kan forvrenge dataenes helhetlige representasjon.

Av denne grunn foretrekker mange forskere og fagfolk innen finans å jobbe med standardavvik. Fordi det beregnes som kvadratroten av variansen, uttrykkes standardavviket i de samme enhetene som de opprinnelige dataene. Det gir et mindre, mer intuitivt tall som er mye enklere å tolke, samtidig som det blir noe mindre forvrengt av ekstreme uteliggere.