Standardavvik-kalkulator

Vår kalkulator for standardavvik er et kraftig og brukervennlig verktøy designet for å finne standardavviket til et hvilket som helst datasett. Utover å beregne standardavviket, genererer den umiddelbart viktig statistisk innsikt, inkludert gjennomsnitt, varians og en detaljert frekvensfordelingstabell. Videre beregner dette verktøyet konfidensintervallet for datasettet ditt på tvers av ulike konfidensnivåer.

For å komme i gang skriver du bare inn datapunktene dine adskilt med komma. Velg deretter om tallene dine representerer en hel populasjon eller et utvalg, og klikk på "Beregn" for å se de omfattende resultatene dine.

Standardavviket

Standardavvik er et grunnleggende statistisk mål som indikerer graden av spredning, eller variabilitet, innenfor et gitt datasett. Det representerer den gjennomsnittlige avstanden til datapunktene dine fra datasettets gjennomsnitt. Et lavere standardavvik betyr at datapunktene samler seg tett rundt gjennomsnittet, mens et høyere standardavvik indikerer at dataene er vidt spredt. Matematisk sett er standardavviket kvadratroten av variansen – et annet viktig mål for dataspredning.

Hvordan du beregner standardavviket avhenger helt av datasettet ditt. Hvis dataene dine inkluderer hvert eneste medlem av gruppen du studerer, vil du beregne standardavvik for populasjon. Hvis dataene dine derimot bare er et delutvalg av en større gruppe, vil du beregne standardavvik for utvalg.

Standardavvik for populasjon

Du bør beregne populasjonens standardavvik når datasettet ditt inkluderer alle mulige observasjoner i gruppen du er interessert i. I statistikk betegnes standardavviket for en populasjon med symbolet σ.

σ (uttales "sigma") er en liten gresk bokstav. Formelen for populasjonens standardavvik er som følger:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Hvor:

• Σ er den greske store bokstaven Sigma, som betegner summering i matematikk;
• xᵢ representerer hvert enkelt datapunkt (observasjon) i datasettet, fra den første verdien til den N-te (siste) verdien;
• μ representerer populasjonsgjennomsnittet;
• N er den totale populasjonsstørrelsen.

Eksempel på beregning av standardavvik for en generell populasjon

Følgende eksempel viser hvordan du finner standardavviket til populasjonsdata.

Investorer ser ofte på aksjer som risikofylte eiendeler på grunn av deres høye prisvolatilitet sammenlignet med andre investeringsklasser. Anta at en investeringsforvalter ønsker å analysere volatiliteten til spesifikke aksjer i løpet av den forrige måneden. Han bestemmer seg for at han ikke vil anbefale en aksje til sine klienter hvis standardavviket er større enn eller lik gjennomsnittet, og klassifiserer slike eiendeler som "for risikable."

Nedenfor er alle de daglige sluttkursene (i USD) for en bestemt aksje i løpet av forrige måned. La oss beregne standardavviket for å avgjøre om forvalteren vil anse denne aksjen som for risikabel:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

Fordi forvalteren kun er interessert i aksjekursene fra forrige måned, og vi har alle de registrerte kursene for akkurat den tidsrammen, jobber vi med hele populasjonen. Derfor vil vi bruke formelen for populasjonens standardavvik.

For å finne standardavviket, må vi først beregne gjennomsnittet (μ). Husk at gjennomsnittet finnes ved å dele den totale summen av tallene på det totale antallet tall.

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

Deretter trekker du gjennomsnittet fra hvert enkelt datapunkt og kvadrerer differansen. Legg alle disse kvadrerte differansene sammen, og del resultatet på totalantallet. Dette resultatet er variansen (σ²).

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

Til slutt tar du kvadratroten av variansen for å bestemme populasjonens standardavvik.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

Som du kan se, er standardavviket for denne aksjens priser for forrige måned (0.21) lavere enn gjennomsnittet (1.097). Derfor vil ikke forvalteren anse denne aksjen som "for risikabel."

Standardavvik for utvalg

Du bør beregne standardavviket for et utvalg når datasettet ditt kun er et utvalg (et mindre delutvalg) trukket fra en større populasjon av interesse. Standardavviket for utvalget betegnes med bokstaven s og beregnes ved hjelp av følgende formel:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Hvor:

• Σ betegner summering;
• xᵢ representerer hvert enkelt datapunkt;
• x̄ representerer utvalgets gjennomsnitt;
• n er utvalgsstørrelsen.

La oss illustrere hvordan du finner standardavviket for et utvalg ved å bruke en variant av forrige eksempel. Anta at investeringsforvalteren ønsker å analysere den samme aksjen, men denne gangen har han ikke tilgang til sluttkursene for hver eneste handelsdag i forrige måned. I stedet har han bare sluttkursene for et tilfeldig utvalg på 5 dager. Han må estimere aksjens standardavvik ved å bruke disse begrensede utvalgsdataene.

La oss anta at de 5 registrerte sluttkursene er:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

Selv om forvalterens ultimate interesse ligger i hele forrige måned, besitter han bare et 5-dagers delutvalg. Fordi vi har å gjøre med et utvalg i stedet for hele populasjonen, må vi beregne standardavviket ved hjelp av formelen for utvalgets standardavvik.

Først, beregn utvalgsgjennomsnittet (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

Neste trinn er å beregne utvalgsvariansen (s²).

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

Til slutt, ta kvadratroten av variansen for å få utvalgets standardavvik.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

Feilmargin

En av de mest verdifulle anvendelsene av standardavvik er å beregne et "akseptabelt" verdiområde, noe som spiller en avgjørende rolle i prediktiv analyse og industriell statistisk kvalitetssikring. Hvis de underliggende dataene følger en normalfordeling, er dette området kjent som konfidensintervallet (beskrevet nærmere i neste seksjon). Disse intervallene beregnes ved ulike konfidensnivåer, vanligvis uttrykt i prosent.

Feilmarginen er en nøkkelkomponent i konfidensintervallet som dikterer dets totale bredde. I hovedsak etablerer feilmarginen de maksimale og minimale akseptable verdiene for beregningen du analyserer.

Feilmarginen beregnes ved hjelp av denne formelen:

$$Feilmargin\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Vi bruker denne formelen når populasjonens standardavvik (σ) er kjent, forutsatt at utvalgsstørrelsen er stor nok (vanligvis n > 30).

Når populasjonens standardavvik er ukjent og utvalget er lite (vanligvis n ≤ 30), bruker vi følgende formel i stedet:

$$Feilmargin\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

I dette scenariet bytter vi ut populasjonens standardavvik (σ) med utvalgets standardavvik (s).

Komponentene \$z_{\alpha/2}\$ og \$t_{n-1, \alpha/2}\$ er kjent som kritiske verdier. De bestemmes ved bruk av henholdsvis z-statistikk og t-statistikk, og fungerer som konstanter knyttet til det valgte konfidensnivået.

De vanligste konfidensnivåene som brukes i statistisk analyse er 90 %, 95 % og 99 %. Deres tilsvarende \$z_{\alpha/2}\$ kritiske verdier er 1.645 (for 90 %), 1.96 (for 95 %) og 2.575 (for 99 %).

Komponentene \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ og \$\frac{s}{\sqrt n}\$ representerer standardfeilen.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ brukes når vi kjenner populasjonens standardavvik (σ) og har en stor utvalgsstørrelse (vanligvis n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ brukes når vi ikke kjenner populasjonens standardavvik og jobber med en liten utvalgsstørrelse (vanligvis n ≤ 30). Fordi σ er ukjent, må vi stole på standardavviket til vårt tilgjengelige utvalg (s).

Konfidensintervallet

Som nevnt ovenfor er konfidensintervallet et statistisk verdiområde der en gitt populasjonsparameter forventes å havne, basert på et spesifikt konfidensnivå.

For eksempel kan en statistiker oppgi at gjennomsnittshøyden til 13 år gamle jenter faller mellom 59 og 66 tommer ved et konfidensnivå på 90 %. Dette betyr at hvis vi skulle ta flere tilfeldige utvalg av 13 år gamle jenter, ville gjennomsnittshøyden deres omtrent 90 % av tiden ligge mellom disse to grensene.

Når populasjonens standardavvik er kjent, beregnes konfidensintervallet med følgende formel:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ er utvalgsgjennomsnittet,
• \$z_{\alpha/2}\$ er den kritiske verdien,
• σ er populasjonens standardavvik,
• n er antall observasjoner.

Hvis vi ikke kjenner populasjonens standardavvik (σ) og i stedet må bruke utvalgets standardavvik (s), bruker vi denne alternative formelen:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ er utvalgsgjennomsnittet,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ er den kritiske verdien,
• s er utvalgets standardavvik,
• n er antall observasjoner.

Som beskrevet i forrige avsnitt, representerer uttrykkene \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ og \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ feilmarginene.

Eksempel på beregning av konfidensintervall

Anta at vi vet at de daglige aksjekursene vi analyserer følger en normalfordeling. Vi har følgende utvalg på 10 aksjekurser til rådighet:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

Vi ønsker å beregne området der den sanne gjennomsnittlige aksjekursen vil svinge, med et konfidensnivå på 95 %.

Siden dette er et lite utvalg og populasjonens standardavvik er ukjent, vil vi bruke utvalgets standardavvik og den tilsvarende t-statistikkformelen:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ er utvalgets gjennomsnitt: 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ er den kritiske verdien: \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (kritiske verdier for en gitt utvalgsstørrelse og konfidensnivå finnes vanligvis ved hjelp av en standard t-tabell eller z-tabell)
• s er utvalgets standardavvik: 0.23
• n er antall observasjoner: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ er standardfeilen: \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

Nå setter vi disse tallene inn i formelen for konfidensintervall:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Ved å beregne nedre og øvre grense får vi:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

Dette resultatet betyr at vi med 95 % sikkerhet kan si at den sanne gjennomsnittlige aksjekursen for denne aksjen ligger innenfor konfidensintervallet (0.94, 1.26).