Calculadora de Combinações

Existem diferentes estratégias para determinar o número de maneiras de escolher objetos de um determinado conjunto em matemática. De quantas maneiras podemos escolher os resultados r a partir das possibilidades n? Depende se a ordem importa ou não e os valores podem se repetir ou não.

O número de maneiras de escolher r resultados não ordenados de n possibilidades é conhecido como uma combinação e é escrito como C (n, r). Também é conhecido como o coeficiente binomial. Esta calculadora permite calcular a combinação de r objetos a partir de um conjunto de n objetos.

As regras para usar a calculadora de combinações

Para um determinado conjunto de objetos, há um certo número de maneiras de organizar ou selecionar alguns ou todos eles de acordo com alguma ordem ou especificação. A calculadora calcula o número de maneiras de selecionar r objetos de um conjunto de n objetos sem repetição e quando a ordem não importa. A calculadora requer duas entradas:

• n = número de objetos distintos a escolher, e
• r = número de vagas a serem preenchidas.

Um critério essencial para inserir dados na calculadora de combinação é que

0 ≤ r ≤ n

Se você digitar um número r maior que n, ele imprimirá uma mensagem

"Favor inserir 0 ≤ r ≤ n".

O princípio fundamental da contagem

O Princípio Fundamental de Contagem nos guia na busca de maneiras de realizar diferentes tarefas. Há duas regras fundamentais de contagem.

A regra da soma

A primeira tarefa pode ser feita de m maneiras, e a segunda tarefa pode ser feita de n maneiras. Se as tarefas não podem ser feitas simultaneamente, o número de maneiras possíveis pode ser contado como (m + n).

A regra dos produtos

A primeira tarefa pode ser feita de m maneiras e a segunda tarefa pode ser feita de n maneiras. Se ambas as tarefas podem ser feitas simultaneamente, então existem (m * n) maneiras de realizá-las.

Exemplos

A cafeteria vende 3 tipos de tortas e 4 tipos de bebidas. Entre elas estão torta de maçã, torta de morango e torta de mirtilo. E suco de laranja, uva, cereja e abacaxi. Tanto as bebidas quanto as tortas são vendidas por $2. Você só tem $2 com você e nem um centavo a mais. Portanto, você tem 3 + 4 = 7 oportunidades para fazer alguma escolha em particular.

Suponha que você queira contar o número de maneiras de atirar uma moeda ao ar e enrolar um dado. O número de maneiras de atirar uma moeda ao ar é 2, pois uma moeda tem 2 faces. Da mesma forma, há 6 maneiras possíveis de se lançar um dado. Como você pode fazer as duas tarefas simultaneamente, há então 2 × 6 = 12 maneiras de girar uma moeda e lançar um dado.

Se você quiser tirar 2 cartas de um baralho de 52 cartas sem substituí-las, então há 52 maneiras de tirar a primeira e 51 maneiras de tirar a segunda. Portanto, o número de maneiras de tirar duas cartas é 52 × 51 = 2.652.

Espaços de Amostra

Um espaço de amostra é uma lista de todos os resultados possíveis e é denotado pela letra maiúscula S. O espaço de amostra para atirar uma moeda ao ar e enrolar um dado simultaneamente são

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Há doze maneiras possíveis. Os princípios de contagem nos permitem descobrir o número de maneiras de experimentar sem ter que listar todas elas.

Combinação

O número de maneiras possíveis de escolher r resultados não repetitivos de n possibilidades quando a ordem é irrelevante é conhecido como combinação. A combinação de objetos é escrita como C (n, r). Também é conhecido como o coeficiente binomial. A fórmula da combinação é definida como

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

O sinal ! após um número ou uma letra significa que estamos usando o fatorial de algum número. Por exemplo, n! é o fatorial do número n - ou o produto de números naturais de 1 a n. O fatorial do número 2 é 1 × 2. O fatorial do número 3 é 1 × 2 × 3. O fatorial do número 4 é 1 × 2 × 3 × 4. O fatorial do número 5 é 1 × 2 × 3 × 4 × 5 e assim por diante. O fatorial só pode ser calculado para inteiros não-negativos.

Uma característica essencial do cálculo da combinação usando esta fórmula é que a repetição de objetos não é permitida, e a ordem de disposição não importa.

Exemplo 1

Suponha que você tenha um conjunto de quatro números

{1, 2, 3, 4}

De quantas maneiras podemos combinar dois elementos deste conjunto se o mesmo elemento não puder ser repetido em um par?

Se a ordem dos elementos for importante, obtemos grupos formados por permutações:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Se a ordem não importa - recebemos grupos formados por combinações:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Há 6 combinações possíveis. Você pode usar a fórmula para encontrar o número de todas as combinações possíveis. Para este exemplo, $n=4$, $r=2$. Portanto,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Isto é exatamente o que a Calculadora de Combinações calcula.

Exemplo 2

Quais são as combinações das letras A, B, C e D em um grupo de 3? Há 24 possíveis permutações quando a ordem é importante. Na contagem combinatória, a ordem é irrelevante. Portanto, apenas a primeira linha é relevante, ou seja, há 4 combinações possíveis.

ABC	ABD	ACD	BCD
ACB	ADB	ADC	BDC
BAC	BAD	CAD	CBD
BCA	BDA	CDA	CDB
CAB	DAB	DAC	DBC
CBA	DBA	DCA	DCB

Em vez de listar todos os arranjos possíveis, podemos calcular o número de arranjos possíveis (nos quais a ordem não é importante) usando a fórmula de combinação acima. Aqui, há n=4 objetos, e você está tomando r=3 de cada vez. Portanto,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutação

Permutação define o número de formas de organizar os objetos quando a ordem dos objetos é importante. A fórmula para permutação ao selecionar r objetos de uma lista de n objetos é a seguinte:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

As duas principais características do cálculo de permutações usando esta fórmula são que a repetição de objetos não é permitida e que a ordem dos objetos é importante.

Exemplo 3

Suponha que haja 4 candidatos em uma entrevista de emprego. A tarefa do comitê de seleção é classificar os candidatos de 1 a 4. Aqui estão as possibilidades:

• 1º candidato - há 4 maneiras de escolher
• 2º candidato - há 3 maneiras de escolher
• 3º candidato - há 2 maneiras de escolher
• 4º candidato - só há uma maneira de escolher

A regra do produto dá o número total de maneiras de escolher, ou seja, 4 × 3 × 2 × 1 = 24 que é o mesmo que 4!. Digamos que os candidatos são

{A, B, C, D}

O espaço de amostra do problema, mostrando todas as permutações possíveis, é mostrado abaixo:

A em 1º lugar	B em 1º lugar	C em 1º lugar	D em 1º lugar
ABCD	BACD	CABD	DABC
ABDC	BADC	CADB	DACB
ACBD	BCAD	CBAD	DBAC
ACDB	BCDA	CBDA	DBCA
ADBC	BDAC	CDAB	DCAB
ADCB	BDCA	CDBA	DCBA

Em vez de listar todos os arranjos possíveis como mostrado na tabela acima, podemos calcular o número de arranjos possíveis usando a fórmula de permutação. Para o exemplo acima, existem n = 4 objetos, e você toma r = 4 elementos de cada vez. Portanto, o número de elementos de cada vez,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

A Diferença entre Combinações e Permutações

A principal diferença entre combinações e permutações é que nas combinações a ordem dos elementos não é importante, enquanto nas permutações a ordem dos elementos é importante.