Среднее арифметическое

Наш онлайн-калькулятор среднего значения позволяет быстро и легко найти среднее арифметическое для любого набора данных. Просто введите, скопируйте или вставьте свои числа в специальное поле, разделяя каждое значение запятой, и нажмите кнопку «Рассчитать».

Алгоритм не только вычислит среднее значение, но и покажет подробные этапы расчетов, а также предоставит полезную статистическую сводку по вашему набору данных.

Калькулятор имеет три режима. Простой рассчитывает среднее значение для обычного списка чисел. Взвешенный принимает второй список — весов, благодаря чему более важные значения учитываются сильнее (именно так рассчитываются оценки за учебные курсы, доходность инвестиционных портфелей и результаты опросов). Время принимает значения длительности, записанные как чч:мм:сс или мм:сс, и выдает результат в виде времени, а не десятичной дроби, что необходимо для расчета времени прохождения круга, длительности рабочих смен и учебных сессий.

Среднее значение

В статистике среднее значение представляет собой обобщающую характеристику набора данных. Для его расчета используются все значения выборки, что делает его отличным репрезентативным показателем всей совокупности. Это один из важнейших показателей центральной тенденции.

Самым известным и распространенным является среднее арифметическое. Однако в математике существуют и другие виды средних величин, включая среднее геометрическое, средневзвешенное, комбинированное (общее) среднее, среднее гармоническое и так далее.

Среднее значение генеральной совокупности традиционно обозначается греческой буквой μ (мю), а выборочное среднее — как X̄ (икс с чертой).

Простое среднее

Простое среднее арифметическое рассчитывается путем деления суммы всех значений набора на их общее количество. Этот показатель часто называют просто «средним» или «средним значением».

Чтобы рассчитать среднее значение генеральной совокупности, используется следующая формула:

μ = Сумма значений набора данных / Общее количество значений данных в генеральной совокупности = ΣX / N

Для расчета среднего значения выборки применяется формула:

X̄ = Сумма значений совокупности данных / Общее количество значений данных в выборке = ΣX/n

Давайте рассмотрим расчет среднего значения на наглядном примере.

Пример

Оценки Жасмин по семи предметам за прошлый семестр представлены в таблице ниже. Каков средний балл Жасмин за этот период?

Предмет	Балл
Менеджмент	84
Коммуникация	90
Бухгалтерский учет	75
Экономика	60
Бизнес-статистика	85
Международные исследования	92
Математика	81

Решение

Средний балл = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Средний показатель — это концепция, с которой мы сталкиваемся ежедневно. Средний доход, средняя стоимость продукции, средний чек, средний расход топлива автомобиля — вот лишь несколько примеров, которые у всех на слуху. В повседневной жизни простое среднее арифметическое является стандартным и понятным вычислением. Его часто называют «идеальным средним».

Однако в некоторых статистических ситуациях целесообразнее применять другие меры центральной тенденции. Давайте их рассмотрим.

Среднее геометрическое

Обычное среднее арифметическое не всегда подходит для расчетов — например, когда речь идет об определении средних темпов роста с течением времени. В таких случаях (особенно в экономике, бухгалтерии и финансах при расчете сложных процентов) гораздо эффективнее использовать среднее геометрическое. Это связано с тем, что темпы роста имеют мультипликативную (множительную), а не аддитивную (слагаемую) природу.

Среднее геометрическое набора данных определяется как корень $n$-й степени из произведения всех $n$ элементов. Чтобы его найти, нужно перемножить все значения между собой, а затем извлечь корень степени, равной количеству элементов выборки. Этот метод идеально подходит для усреднения коэффициентов, процентов и индексов роста.

$$Среднее\ геометрическое = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Найдем среднее геометрическое для нашего предыдущего примера:

$$\text{Среднее геометрическое} = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Обратите внимание: среднее геометрическое всегда меньше простого среднего (среднего арифметического) или равно ему.

В нашем примере:

Среднее геометрическое ≤ Среднее значение

80,31 < 81

Наш онлайн-калькулятор среднего значения можно использовать не только для классических вычислений. С его помощью вы также можете мгновенно узнать среднее геометрическое для вашего набора данных.

Средневзвешенное значение

При расчете простого среднего арифметического предполагается, что все значения имеют одинаковый вес и значимость. Но на практике бывают ситуации, когда каждому значению необходимо присвоить свой уровень важности.

В предыдущем примере мы рассчитали средний балл, сложив все оценки и разделив их на количество предметов, совершенно не учитывая, что одни дисциплины могут быть важнее или сложнее других.

Взвешенное среднее применяется именно тогда, когда при расчетах нужно учесть относительную значимость (вес) каждого элемента данных. Оно рассчитывается путем деления суммы произведений значений на их веса на общую сумму всех весов.

Для нахождения средневзвешенного значения используется следующая формула:

Средневзвешенное значение = Сумма взвешенных значений / Сумма весов = ΣWX / ΣW

Пример

Предположим, что каждый из предметов в нашем примере имеет свой вес (например, количество зачетных единиц). Таким образом, обновленная таблица баллов Жасмин за семестр выглядит следующим образом:

Средневзвешенное значение оценок Жасмин за предыдущий семестр

Предмет	Балл	Вес
Менеджмент	84	3
Коммуникация	90	2
Бухгалтерский учет	75	4
Экономика	60	3
Бизнес-статистика	85	3
Международные исследования	92	2
Математика	81	3

Решение

Средневзвешенный балл = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Чтобы рассчитать это на калькуляторе выше, перейдите на вкладку Взвешенный, вставьте оценки в поле «Значения» (84, 90, 75, 60, 85, 92, 81), а веса — в поле «Веса» (3, 2, 4, 3, 3, 2, 3). Веса не обязательно должны составлять в сумме 100 или какое-то конкретное число — подходят обычные учебные часы, проценты от итоговой оценки или простые баллы, так как формула делит результат на общую сумму весов.

Калькулятор средних оценок: взвешивание тестов, домашних заданий и экзаменов

Взвешивание оценок — наиболее распространенный пример использования средневзвешенного значения, и вкладка Взвешенный выше работает как калькулятор средних оценок без необходимости изменения названий. Если в учебной программе указано, что домашнее задание составляет 20% от общей оценки, промежуточный экзамен — 30%, а итоговый — 50%, эти проценты и есть веса: введите три полученных балла как значения, а 20, 30, 50 — как веса.

Студент, получивший 95 за домашнее задание, 78 за промежуточный экзамен и 84 за итоговый, наберет (95×20 + 78×30 + 84×50) / 100 = 84,4 — это заметно ниже простого среднего значения (85,7), поскольку худшая оценка имеет наибольший вес. Именно из-за этой разницы оценки взвешиваются, а не просто усредняются, и именно поэтому самостоятельный расчет средней оценки курса часто расходится с журналом успеваемости.

Веса, которые в сумме не дают 100

Они и не должны. Калькулятор делит сумму произведений на общую сумму весов, поэтому любой из этих трех вариантов будет работать одинаково хорошо:

Что представляют собой веса	Пример	Итого
Проценты от итоговой оценки	20, 30, 50	100
Кредитные часы за курс	3, 4, 3, 2	12
Максимальные баллы за каждое задание	50, 100, 200	350

Третий случай стоит рассмотреть подробнее, поскольку именно в нем простое среднее значение вводит в заблуждение сильнее всего: калькулятор оценок за тесты, который относится к тесту на 50 баллов и итоговому экзамену на 200 баллов как к равным, завысит оценку студента, который хорошо справился с небольшими заданиями. Введите баллы в качестве весов, и результат совпадет с журналом успеваемости.

Расчет балла, который вам нужен

Поскольку средневзвешенное значение — это просто Σ(w·x) ÷ Σw, та же вкладка позволяет ответить на обратный вопрос: какой балл мне нужен на итоговом экзамене? Сложите взвешенные баллы, которые у вас уже есть, вычтите их из целевого значения и разделите результат на вес итогового экзамена. Если вы получили 95 за домашнее задание (20%) и 78 за промежуточный экзамен (30%), то для получения среднего балла 85 вам понадобится (85×100 − 95×20 − 78×30) / 50 = 85,2 на итоговом экзамене.

Медиана

Медиана — это центральное значение упорядоченного массива данных (отсортированного по возрастанию или по убыванию). Иными словами, медиана — это точка, которая делит отсортированный числовой ряд ровно на две равные части: 50% значений находятся ниже медианы, а 50% — выше нее.

Метод вычисления медианы

Чтобы найти медиану, сначала нужно определить ее позицию по следующей формуле:

$$\text{Позиция медианы} = \left( \frac{n+1}{2} \right)\text{-й элемент}$$

Число $n$ означает общее количество элементов в наборе данных.

Если общее количество элементов нечетное, то значение, находящееся ровно по центру, и будет медианой. Если же количество элементов в массиве четное, медиана рассчитывается как среднее арифметическое двух центральных чисел.

Различия между средним и медианой

1. Среднее значение рассчитывается путем суммирования всех чисел в наборе данных с последующим делением на их количество. Это дает нам показатель, который учитывает абсолютно каждую точку данных. В отличие от него, медиана — это просто центральная точка отсортированного массива. Она делит набор данных пополам, но не зависит от конкретной величины экстремальных значений (слишком больших или маленьких чисел).

2. И среднее, и медиану можно визуально оценить на графике. В симметричном (нормальном) распределении среднее значение находится точно в центре. Медиану также легко визуализировать, например, на диаграмме размаха («ящик с усами»).

3. Оба показателя имеют свое специфическое применение в статистическом анализе. Среднее идеально подходит для нормально распределенных данных без резких отклонений (выбросов), так как оно необходимо для расчета дисперсии и стандартного отклонения. Медиана же незаменима как мера центральной тенденции, когда данные асимметричны или содержат выбросы. Она часто применяется в непараметрической статистике, не требующей нормального распределения данных.

Часто задаваемые вопросы о средних значениях

Как найти среднее значение набора чисел?

Сложите все числа вместе, а затем разделите полученную сумму на их количество. Это весь метод: для чисел 10, 2, 38 и 23 сумма равна 73, а их количество — 4, поэтому среднее значение составит 73 ÷ 4 = 18,25. Наш калькулятор показывает обе части этой дроби рядом с ответом, чтобы весь процесс расчета оставался наглядным.

Как рассчитывается среднее арифметическое?

Точно так же. В повседневной речи слова «среднее» и «среднее арифметическое» означают одно и то же — сумму, деленную на количество. Термин «среднее арифметическое» предпочтителен в статистике, поскольку существует несколько видов средних величин (арифметическое, геометрическое, гармоническое), и точное название помогает их различать, тогда как слово «среднее» в обиходе может иногда означать медиану или даже моду.

В чем разница между средним значением, медианой и модой?

Они отвечают на три разных вопроса об одном и том же наборе данных. Среднее значение балансирует величины: это точка, в которой отклонения в большую и меньшую стороны компенсируют друг друга. Медиана делит количество пополам: половина значений находится ниже нее, половина — выше. Мода — это просто значение, которое встречается чаще всего. Для набора чисел 2, 3, 3, 4 и 88 среднее значение равно 20, медиана — 3, а мода — 3. Это три вполне законных ответа на вопрос «какое значение здесь типично», и именно поэтому один выброс (число 88) делает среднее значение наименее полезным из них.

Как найти среднее значение процентов?

Прямое усреднение процентов корректно только тогда, когда они относятся к группам одинакового размера. Если 40% из группы в 10 человек и 60% из группы в 90 человек ответили «да», честный показатель составит не 50%, а (0,40×10 + 0,60×90) / 100 = 58%. Это средневзвешенное значение, где в качестве весов выступают размеры групп, для чего и предназначена вкладка Взвешенный. Простое усреднение двух процентов молчаливо предполагает, что обе группы одинаковы по размеру.

Как найти среднее значение времени?

Переведите каждую длительность в одну единицу измерения, найдите их среднее значение, а затем переведите обратно. Три круга со временем 1:45:30, 2:10:00 и 1:58:15 составляют в сумме 21 225 секунд; разделенная на три, эта сумма дает 7 075 секунд, или 1:57:55. Вкладка Время делает это преобразование за вас, а также выводит результат в виде десятичных часов (1,9653 ч), что чаще всего требуется в табелях учета рабочего времени и счетах.

Может ли среднее значение быть больше любого числа в наборе?

Нет. Среднее арифметическое всегда находится между наименьшим и наибольшим значениями — это свойство самой математики, а не случайное совпадение. Если рассчитанное среднее выходит за эти пределы, в вычислениях допущена ошибка. Средневзвешенное значение подчиняется тому же правилу, пока веса не являются отрицательными (что обычно указывает на ошибку ввода данных, а не на осознанный выбор модели).

Почему среднее значение иногда вводит в заблуждение?

Потому что одно экстремальное значение сильно смещает его. Если девять человек зарабатывают по 40 000 $, а один — 1 000 000 $, их средний доход составит 136 000 $ — цифра, которая не описывает ни одного человека в комнате. При этом медиана в 40 000 $ отлично характеризует девять человек из десяти. Всякий раз, когда распределение имеет длинный «хвост», указывайте медиану наряду со средним значением; наш калькулятор рассчитывает оба показателя одновременно, так что сравнение не потребует от вас дополнительных усилий.

Когда использовать среднее значение

Среднее значение — наиболее подходящая мера центральной тенденции для массивов данных с симметричным распределением без аномальных отклонений (выбросов). Оно надежно отражает математический центр, так как включает в себя каждое отдельное число. Если в ваших данных есть явные выбросы, для получения точного результата рекомендуется исключить их перед расчетом среднего арифметического.

Когда использовать медиану

Медиану стоит выбирать при работе с асимметричными распределениями или массивами, содержащими выбросы. Поскольку медиана — это лишь позиционный центр отсортированного списка от меньшего к большему, на нее, в отличие от среднего арифметического, практически не влияют экстремальные значения. В таких ситуациях медиана дает более объективную картину, представляя типичное значение большинства элементов без искажений.

Давайте немного изменим наш исходный пример, чтобы наглядно посмотреть, как работают выбросы.

Пример

Предположим, что Жасмин получила всего 15 баллов по международным исследованиям вместо 92. Каким теперь будет средний балл Жасмин за семестр?

Предмет	Балл
Менеджмент	84
Коммуникация	90
Бухгалтерский учет	75
Экономика	60
Бизнес-статистика	85
Международные исследования	15
Математика	81

Решение

Средний балл = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Новый средний балл равен 70. Из-за одной оценки он резко упал с 81 до 70 (сразу на 11 пунктов). Вот так наглядно выбросы влияют на среднее арифметическое.

В подобных ситуациях медиана является гораздо более объективным показателем центральной тенденции. Чтобы в этом убедиться, давайте рассчитаем медиану для исходного и измененного примеров.

Пример

В таблице ниже представлены исходные оценки Жасмин. Какова медиана ее оценок за этот семестр?

Предмет	Балл
Менеджмент	84
Коммуникация	90
Бухгалтерский учет	75
Экономика	60
Бизнес-статистика	85
Международные исследования	92
Математика	81

Решение

Первым делом мы расположим все оценки в виде упорядоченного массива (по возрастанию):

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Позиция\ медианы = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{й}элемент = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{й}элемент = 4^{й}элемент$$

Далее мы проверяем, какое значение находится на 4-й позиции нашего набора данных. Это 84. Следовательно, медиана исходного набора равна 84.

Теперь найдем медиану для измененного набора данных (с выбросом).

Пример

Предположим, Жасмин получила 15 вместо 92 за международные исследования. Какова новая медиана баллов Жасмин?

Предмет	Балл
Менеджмент	84
Коммуникация	90
Бухгалтерский учет	75
Экономика	60
Бизнес-статистика	85
Международные исследования	15
Математика	81

Решение

Первым шагом снова упорядочим все оценки от меньшей к большей.

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$Позиция\ медианы = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{й}элемент = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{й}элемент = 4^{й}элемент$$

Теперь мы проверяем, каким является 4-й элемент нашего нового набора данных. Он равен 81 — это и есть новая медиана.

Как видите, несмотря на то, что в данных появился сильный экстремальный выброс (оценка 15), медиана изменилась совсем незначительно (с 84 до 81), в то время как среднее арифметическое рухнуло сразу на 11 баллов. Это доказывает устойчивость медианы к выбросам.