Kikokotoo cha Michanganyiko

Katika hisabati, kuna mikakati kadhaa ya kubainisha idadi ya njia za kipekee unazoweza kuchagua vitu kutoka kwenye seti fulani. Lakini unakokotoa vipi hasa idadi ya njia za kuchagua matokeo r kutoka kwa uwezekano n? Jibu linategemea mambo mawili muhimu: ikiwa mpangilio wa chaguo lako unajalisha, na ikiwa thamani zinaruhusiwa kujirudia.

Idadi ya njia za kuchagua matokeo r yasiyo na mpangilio kutoka kwa uwezekano n inajulikana kama mchanganyiko (combination), inayoonyeshwa kihisabati kama C(n, r). Hii pia inajulikana sana kama kizidisho cha binomia. Kikokotoo chetu cha michanganyiko (au kikokotoo cha nCr) kinatoa njia ya haraka na ya kuaminika ya kukokotoa idadi kamili ya michanganyiko ya vitu r kutoka kwa seti ya vitu n.

Kanuni za kutumia kikokotoo cha michanganyiko

Kwa seti yoyote ile ya vitu, kuna idadi maalum ya njia za kuvipanga au kuvichagua kulingana na vigezo unavyohitaji. Kikokotoo hiki kinakokotoa idadi ya njia unazoweza kuchagua vitu r kutoka kwa seti ya vitu n bila kujirudia, hasa kwa matukio ambapo mpangilio wa uchaguzi haujalishi.

Ili kutumia zana hii kwa ufanisi, kikokotoo kinahitaji taarifa mbili kuu kuingizwa:

• n = idadi ya vitu tofauti vya kuchagua, na
• r = idadi ya nafasi za kujazwa.

Kigezo muhimu cha kihisabati cha kuingiza data kwenye kikokotoo cha michanganyiko ni kwamba:

0 ≤ r ≤ n

Ukiweka thamani ya r ambayo ni kubwa kuliko n, kikokotoo kitakupa ujumbe huu mara moja:

"Weka thamani ambapo n ≥ r ≥ 0".

Kanuni ya kimsingi ya kuhesabu

Kanuni ya Kimsingi ya Kuhesabu (Fundamental Counting Principle) ni uti wa mgongo wa kihisabati unaotuongoza katika kupata jumla ya idadi ya njia za kukamilisha kazi tofauti zinazofuatana. Imejengwa juu ya kanuni mbili kuu za kuhesabu.

Kanuni ya jumla

Ikiwa kazi ya kwanza inaweza kukamilika kwa njia m, na kazi ya pili inaweza kukamilika kwa njia n, lakini kazi hizi haziwezi kufanywa kwa wakati mmoja, jumla ya njia zinazowezekana za kukamilisha mojawapo ya kazi hizo huhesabiwa kama (m + n).

Kanuni ya zao

Ikiwa kazi ya kwanza inaweza kufanywa kwa njia m na kazi ya pili inaweza kufanywa kwa njia n, na kazi zote mbili zinaweza kufanywa kwa wakati mmoja (au moja baada ya nyingine), basi kuna jumla ya njia (m × n) za kuzitekeleza.

Mifano

Fikiria mkahawa unaouza aina 3 za mikate mitamu au pai (tufaha, stroberi, na bluberi) na aina 4 za vinywaji (machungwa, zabibu, cheri, na juisi ya nanasi). Vinywaji vyote na pai zinagharimu $2 kila kimoja. Ikiwa una $2 pekee mfukoni mwako, unaweza kumudu kitu kimoja tu. Kwa kutumia kanuni ya jumla, una fursa 3 + 4 = 7 tofauti za kufanya chaguo moja.

Sasa, tuseme unataka kutafuta idadi ya njia za kurusha sarafu na kubingirisha dadu ya kawaida kwa wakati mmoja. Idadi ya njia unazoweza kurusha sarafu ni 2, kwani sarafu ina pande 2. Vilevile, kuna matokeo 6 yanayowezekana unaporusha dadu. Kwa kuwa unafanya kazi zote mbili kwa wakati mmoja, kanuni ya zao inatumika: kuna jumla ya njia 2 × 6 = 12 za kurusha sarafu na kubingirisha dadu.

Vilevile, ikiwa unataka kutoa kadi 2 kutoka kwenye bunda la kawaida la kadi 52 bila kuzirudishia, kuna njia 52 zinazowezekana za kutoa kadi ya kwanza, na njia 51 zilizobaki za kutoa kadi ya pili. Kwa hivyo, jumla ya idadi ya njia za kutoa kadi hizo mbili za kipekee ni 52 × 51 = 2,652.

Nafasi za Sampuli (Sample Spaces)

Nafasi ya sampuli ni orodha kamili ya matokeo yote yanayowezekana katika tukio fulani, ambayo kwa kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa S. Kwa mfano, nafasi ya sampuli ya kurusha sarafu na kubingirisha dadu kwa wakati mmoja ni:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Kama inavyoonyeshwa, kuna matokeo kumi na mawili haswa yanayowezekana. Kanuni za kimsingi za kuhesabu huturuhusu kukokotoa kwa urahisi jumla ya idadi hii ya uwezekano bila kulazimika kuorodhesha nafasi nzima ya sampuli kwa mkono.

Mchanganyiko (Combination)

Mchanganyiko unawakilisha idadi ya njia zinazowezekana za kuchagua matokeo r yasiyojirudia kutoka kwa uwezekano n wakati mpangilio wa uchaguzi haujalishi kabisa. Mchanganyiko wa vitu huandikwa kama C(n, r) na kwa kawaida hujulikana kama kizidisho cha binomia. Fomula ya kawaida ya mchanganyiko (nCr) inafafanuliwa kama:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Alama ya mshangao (!) inayofuata nambari au herufi inaonyesha faktoria (factorial) ya kihisabati. Kwa mfano, n! inawakilisha faktoria ya nambari n—ambayo ni zao la nambari zote kamili chanya kuanzia 1 hadi n. Faktoria ya 2 ni 1 × 2. Faktoria ya 3 ni 1 × 2 × 3. Faktoria ya 4 ni 1 × 2 × 3 × 4, na kuendelea. Kumbuka kuwa faktoria zinaweza tu kukokotolewa kwa nambari kamili zisizo hasi.

Sifa muhimu zaidi ya kukokotoa michanganyiko kwa kutumia fomula hii ni kwamba kujirudia kwa vitu hakuruhusiwi, na mpangilio haujalishi.

Mfano 1

Tuseme una seti rahisi ya nambari nne:

{1, 2, 3, 4}

Ni kwa njia ngapi za kipekee tunaweza kuchanganya elementi mbili kutoka kwenye seti hii ikiwa elementi hiyo hiyo haiwezi kujirudia katika jozi?

Ikiwa mpangilio wa elementi ungejalisha, tungekuwa tunaangalia makundi yanayoundwa na mabadilishano (permutations):

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Hata hivyo, kwa kuwa mpangilio haujalishi katika michanganyiko, tunaondoa zile zilizojirudia (za mfanano) ili kupata:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Hii inatuachia michanganyiko 6 inayowezekana. Tunaweza kuthibitisha hili kwa kutumia fomula ya michanganyiko. Katika mfano huu, $n=4$ na $r=2$. Kwa hivyo:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Mkokotoo huu wa kufanya kwa mkono unalingana kikamilifu na matokeo yanayozalishwa na Kikokotoo chetu cha Michanganyiko.

Mfano 2

Ni ipi michanganyiko inayowezekana ya herufi A, B, C, na D zinapopangwa katika seti za 3? Ikiwa mpangilio ungejalisha (mabadilishano), kungekuwa na mipangilio 24 inayowezekana. Hata hivyo, katika uhesabuji wa michanganyiko, mpangilio hauna umuhimu. Kwa sababu hii, ni makundi ya kipekee pekee katika safu mlalo ya kwanza ya jedwali hapa chini ndiyo muhimu, yakitupa michanganyiko 4 haswa inayowezekana.

Badala ya kuorodhesha kwa kuchosha mipangilio yote inayowezekana, tunaweza kukokotoa haraka idadi ya michanganyiko kwa kutumia fomula ya nCr. Hapa, tuna vitu n=4 tofauti, na tunachukua r=3 kwa wakati mmoja. Kwa hivyo:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Mabadilishano (Permutation)

Ingawa michanganyiko hupuuza mpangilio, mabadilishano hufafanua idadi ya njia za kupanga na kuchagua vitu wakati mpangilio wa vitu hivyo ni muhimu sana. Fomula ya kawaida ya mabadilishano (nPr) unapochagua vitu r kutoka kwa kundi la vitu n tofauti ni:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Sifa mbili bainifu za kukokotoa mabadilishano kwa kutumia fomula hii ni kwamba kujirudia kwa vitu hakuruhusiwi, na mlolongo maalum au mpangilio wa vitu ni muhimu kabisa.

Mfano 3

Tuseme kuna watahiniwa 4 katika usahili wa kazi. Kamati ya uchaguzi inahitaji kuwapanga watahiniwa wote 4 kuanzia nafasi ya 1 hadi ya 4. Hivi ndivyo uwezekano unavyogawanywa:

• Mtahiniwa wa 1 - kuna njia 4 za kuchagua
• Mtahiniwa wa 2 - kuna njia 3 za kuchagua
• Mtahiniwa wa 3 - kuna njia 2 za kuchagua
• Mtahiniwa wa 4 - kuna njia moja tu ya kuchagua

Kwa kutumia kanuni ya zao ya kuhesabu, jumla ya idadi ya njia za kuwapanga watahiniwa ni 4 × 3 × 2 × 1 = 24, ambayo kihisabati ni sawa na 4!. Tuseme watahiniwa hao ni:

{A, B, C, D}

Nafasi ya sampuli kwa tatizo hili, ikionyesha mabadilishano yote 24 yanayowezekana, imeainishwa kwenye jedwali hapa chini:

Badala ya kuorodhesha mifululizo yote inayoweza kutokea kwa mkono, tunaweza kukokotoa idadi kamili ya mipangilio kwa kutumia fomula ya mabadilishano. Kwa mfano huu, kuna vitu n = 4, na tunapanga elementi r = 4 kwa wakati mmoja. Kwa hivyo:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Tofauti kati ya Michanganyiko na Mabadilishano

Unapoamua ni mbinu gani ya kihisabati ya kutumia, kumbuka kanuni hii ya msingi: tofauti kuu kati ya mabadilishano (permutations) na michanganyiko (combinations) ni mpangilio. Katika michanganyiko, mpangilio wa elementi zilizochaguliwa sio muhimu (k.m., kuchagua timu). Katika mabadilishano, mpangilio wa elementi zilizochaguliwa ni muhimu sana (k.m., kubahatisha nenosiri au kuwapanga watahiniwa).