Kikokotoo cha Uwezekano

Kikokotoo cha Uwezekano wa Matukio Mawili

Unapojua uwezekano wa matukio mawili yanayojitegemea, unaweza kutumia Kikokotoo cha Uwezekano wa Matukio Mawili kubaini uwezekano wa kutokea kwa pamoja. Ingiza tu uwezekano wa matukio yako mawili yanayojitegemea (Uwezekano wa A na Uwezekano wa B) kwenye zana. Kikokotoo kitatoa papo hapo muungano, makutano, na uwezekano mwingine unaohusiana, kikiwa na michoro ya Venn ya kuona ili kukusaidia kuelewa matokeo.

Kisuluhishi cha Uwezekano wa Matukio Mawili

Kisuluhishi cha Uwezekano wa Matukio Mawili kinakuruhusu kukokotoa uwezekano mbalimbali wa matukio mawili yanayojitegemea mradi uwe na thamani mbili zozote za kuingiza. Hii ni muhimu sana wakati uwezekano wa awali wa tukio moja au yote mawili haujulikani. Sio tu kwamba zana hii hutoa jibu la mwisho, lakini pia inaonyesha makokotoo kamili, hatua kwa hatua kwa marejeleo yako.

Uwezekano wa Mfululizo wa Matukio Yanayojitegemea

Unaweza kutumia Kikokotoo cha Uwezekano wa Mfululizo wa Matukio Yanayojitegemea kutathmini majaribio ambapo matukio yanayojitegemea hutokea moja baada ya jingine. Ili kupata uwezekano wa matukio haya yanayofuatana, ingiza tu uwezekano unaohitajika na uweke idadi ya mara ambazo tukio hilo linafanyika.

Uwezekano wa Usambazaji wa Kawaida

Kikokotoo chetu cha Uwezekano wa Usambazaji wa Kawaida ni zana bora ya kubaini uwezekano chini ya mkunjo wa kawaida. Ingiza tu wastani μ, mkengeuko sanifu σ, na mipaka unayotaka. Kikokotoo hiki cha uwezekano wa kawaida kitakokotoa haraka uwezekano wa mipaka iliyobainishwa na kutoa vipindi vya uhakika katika viwango mbalimbali vya kujiamini.

Utangulizi wa Uwezekano

Uwezekano ni uwezekano wa kitakwimu kwamba tukio fulani litatokea. Wakati tukio lina hakika kabisa kutokea, uwezekano wake ni 1. Kinyume chake, wakati tukio haliwezekani, uwezekano wake ni 0. Kwa hivyo, uwezekano wowote wa tukio huanguka kila wakati kati ya 0 na 1. Kutumia kikokotoo maalum cha uwezekano hufanya kutathmini nafasi hizi kuwa rahisi na sahihi sana.

Kanuni za Uendeshaji wa Matukio

Katika takwimu, kundi lolote maalum la matokeo ya jaribio hujulikana kama tukio. Kimsingi, tukio ni seti yoyote ndogo ya nafasi ya sampuli. Mifumo mikuu inayotumika kuchanganua matukio haya ni kijalizo, makutano, na muungano. Hebu tuchunguze kila moja ya kanuni hizi kwa kutumia mfano wa vitendo.

Mfano

Tuseme chuo chako kina idara mbalimbali, ikijumuisha Kitivo cha Biashara. Wanafunzi wa kimataifa pia wameandikishwa katika chuo hicho. Kama sehemu ya mradi, unahitaji kufanya mahojiano na wanafunzi, na unaamua kuanza na mtu wa kwanza anayepitia langoni. Unafahamu uwezekano ufuatao:

A = Mwanafunzi wa kwanza anatoka Kitivo cha Biashara.

B = Mwanafunzi wa kwanza ni mwanafunzi wa kimataifa.

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

Kijalizo cha Tukio

Kijalizo cha tukio kinajumuisha matokeo yote katika nafasi ya sampuli ambayo sio sehemu ya tukio hilo maalum.

Kwa mfano, kijalizo cha tukio A inamaanisha mwanafunzi wa kwanza aliyechaguliwa anatoka katika idara isiyo Kitivo cha Biashara. Hii inaweza kuonyeshwa kwa \$A\prime\$ au Aᶜ.

Hebu tuone kijalizo cha tukio A kwa kutumia mchoro wa Venn.

Katika mchoro wa Venn hapo juu, eneo la rangi linawakilisha kijalizo cha tukio A.

Jumla ya eneo la mstatili inawakilisha uwezekano wa jumla wa nafasi ya sampuli, ambayo ni sawa na 1. Nafasi nje ya duara A inaonyesha uwezekano wa kijalizo cha tukio A. Uwakilishi huu wa kuona unaturuhusu kuanzisha uhusiano ufuatao:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Kwa hivyo,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Sasa, hebu tukokotoe uwezekano unaolingana.

Uwezekano wa kwamba mwanafunzi wa kwanza aliyeteuliwa kufanya mahojiano hatoki Kitivo cha Biashara ni:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

Uwezekano wa kwamba mwanafunzi wa kwanza aliyechaguliwa sio mwanafunzi wa kimataifa ni:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

Makutano ya Matukio

Makutano ya matukio mawili, A na B, yanajumuisha seti ya vipengele vyote vya kawaida vinavyoshirikiwa na matukio yote mawili. Neno "NA" hutumiwa mara kwa mara kuashiria makutano haya.

Katika mfano wetu, makutano ya tukio A na tukio B inamaanisha kuchagua mwanafunzi ambaye ni mwanafunzi wa kimataifa NA anayetoka Kitivo cha Biashara. Hii inaonyeshwa kihisabati kama ifuatavyo:

$$A\cap B$$

Hebu tuangalie makutano ya matukio A na B kupitia mchoro wa Venn.

Katika mchoro wa Venn hapo juu, eneo lenye kivuli linaangazia makutano ya matukio A na B.

Sasa, hebu tuanzishe tukio C: kumchagua mwanafunzi wa ndani kwa ajili ya mahojiano. Tunaweza kuonyesha matukio A na C katika mchoro mpya wa Venn.

Kwa kuwa mwanafunzi hawezi kuwa wa ndani na wa kimataifa kwa wakati mmoja, kumchagua mwanafunzi wa kimataifa hukuondoa uwezekano wa kumchagua mwanafunzi wa ndani. Kwa sababu hayawezi kutokea kwa wakati mmoja, matukio A na C huchukuliwa kuwa hayapatani (mutually exclusive).

Matukio yasiyopatana hayashiriki vipengele vyovyote vya kawaida. Kwa sababu hiyo, makutano yao ni tupu:

$$A\cap C=φ$$

Unaweza kukokotoa uwezekano wa makutano ukitumia mbinu chache tofauti kulingana na vigezo vinavyojulikana. Makutano ya matukio A na B yanaweza kuandikwa kwa kutumia kanuni hizi:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Matukio Yanayojitegemea

Matukio yanayojitegemea ni matukio ambayo matokeo yake hayaathiriani. Tukirudi kwenye mfano wetu, kumchagua mwanafunzi kutoka Kitivo cha Biashara hakuna athari iwapo mwanafunzi huyo ni wa kimataifa au wa ndani. Kwa hivyo, tukio A na tukio B ni matukio yanayojitegemea.

Wakati matukio yanajitegemea kabisa, uwezekano wa moja kutokea hautegemei kutokea kwa jingine. Kwa hivyo, uhusiano wa kihisabati unaonyeshwa kama:

$$P(B/A)=B\ and\ P(A/B)=A$$

Unaweza kubadilisha hizi kwenye milinganyo yetu ya awali ili kurahisisha kutafuta uwezekano wa makutano ya matukio yanayojitegemea:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Hii inamaanisha kuwa unaweza kupata kwa urahisi makutano ya matukio mawili yanayojitegemea kwa kuzidisha uwezekano wao binafsi:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Kutokana na kwamba matukio A na B yanajitegemea, hebu tubaini uwezekano wa kwamba mwanafunzi wa kwanza aliyechaguliwa kwa mahojiano atakuwa vyote viwili kutoka Kitivo cha Biashara na pia mwanafunzi wa kimataifa:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

Muungano wa Matukio

Muungano wa matukio mawili husababisha tukio pana zaidi ambalo lina vipengele vyote kutoka kwa mojawapo au matukio yote mawili asilia. Neno "AU" kwa kawaida hutumiwa kuelezea aina hii ya uhusiano.

Katika mfano wetu unaoendelea, muungano wa matukio A na B unamaanisha kuchagua mwanafunzi ambaye ni wa kimataifa AU kutoka Kitivo cha Biashara (au vyote viwili). Hii inaonyeshwa kama:

$$A\cup B$$

Hebu tuone muungano wa matukio A na B kupitia mchoro wa Venn.

Katika mchoro wa Venn hapo juu, eneo lote lenye rangi linawakilisha muungano wa matukio A na B.

Ili kukokotoa uwezekano wa tukio A au tukio B kutokea, tunajumlisha uwezekano wa matukio yote mawili binafsi pamoja na kisha kutoa uwezekano wa makutano yao.

Kanuni ya uwezekano wa muungano kati ya matukio A na B imeandikwa kama ifuatavyo:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Tunaweza pia kurekebisha hili ili kuunda kanuni maalum kwa ajili ya muungano wa matukio mawili yanayojitegemea. Hii inasaidia hasa wakati uwezekano wa makutano haujulikani.

Kwa sababu matukio hayo yanajitegemea:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Kwa hivyo, kanuni ya muungano inakuwa:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Hebu tukokotoe uwezekano wa muungano wa matukio A na B. Kwa maneno mengine, ni nafasi gani ya kumchagua mwanafunzi ambaye yuko katika kitivo cha biashara, mwanafunzi wa kimataifa, au vyote viwili kwa wakati mmoja?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

Shukrani kwa Kikokotoo chetu cha Uwezekano wa Matukio Mawili na Kisuluhishi cha Uwezekano wa Matukio Mawili, unaweza kufanya makokotoo haya yote mara moja. Zana hizi ni bora kwa kuthibitisha hisabati za kukokotoa kwa mkono, kwani zinaonyesha makokotoo ya kina ya hatua kwa hatua kando ya majibu ya mwisho.

Usambazaji wa Kawaida

Usambazaji wa kawaida ni mkunjo wa linganifu wenye umbo la kengele. Katika usambazaji wa kawaida uliokamilika, wastani, kati, na modi vyote vinafanana. Asilimia 50% kamili ya data huanguka juu ya wastani, na 50% nyingine huanguka chini yake. Mkunjo huo unapoenea mbali na wastani kuelekea pande zote mbili, unakaribia—lakini haugusi kabisa—mhimili wa X. Jumla ya eneo chini ya mkunjo huu daima huwa sawa na 1.

Ikiwa kigezo cha nasibu X kinafuata usambazaji wa kawaida wenye vigezo μ (wastani) na σ² (utofauti), huandikwa kama X ~ N(μ, σ²).

Uwezekano wa Usambazaji wa Kawaida

Kitendakazi cha msongamano wa uwezekano cha usambazaji wa kawaida kinaonyeshwa kama:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Katika kitendakazi hiki:

• μ ni wastani wa usambazaji;
• σ² ni utofauti wa usambazaji;
• π ni takriban 3.14;
• e ni takriban 2.7182.

Kwa sababu kuna idadi isiyo na kikomo ya mikunjo ya kawaida, haiwezekani kuunda jedwali moja la uwezekano kwa kila mseto unaowezekana wa wastani na mikengeuko sanifu. Ili kutatua hili, wanatakwimu hutumia usambazaji wa kawaida wa kiwango. Hii ni hali maalum ya usambazaji wa kawaida ambapo wastani ni 0 na mkengeuko sanifu ni 1.

Ili kukokotoa kwa mkono uwezekano wa usambazaji wa kawaida, ni lazima kwanza ubadilishe usambazaji wako maalum kuwa usambazaji wa kawaida wa kiwango ukitumia alama ya z. Ikibadilishwa, unaweza kutumia jedwali la z kutafuta uwezekano. Vinginevyo, Kikokotoo chetu cha Uwezekano wa Kawaida hufanya kazi kikamilifu kama kikokotoo cha uwezekano wa kawaida wa kiwango, kikikokotoa papo hapo uwezekano na vipindi vya uhakika bila utafutaji wa chati kwa kutumia mkono.

Kanuni ya alama ya z ni:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Mkunjo wa usambazaji wa kawaida wa kiwango ni zana yenye nguvu ya kutatua matatizo ya kitakwimu ya ulimwengu halisi. Inatumika mahususi kubainisha uwezekano wa vigezo vinavyoendelea. Kigezo kinachoendelea kinaweza kuchukua idadi isiyo na kikomo ya thamani, zikiwemo desimali—kama vile urefu, uzito, na halijoto.

Hebu tuangalie mfano wa vitendo ili kuelewa jinsi ya kupata uwezekano ndani ya usambazaji wa kawaida.

Mfano

Tuseme matokeo ya kozi yako ya takwimu yanasambazwa kwa kawaida, yakiwa na wastani wa alama 65 na mkengeuko sanifu wa 10. Ikiwa mwanafunzi atachaguliwa kwa nasibu, bainisha uwezekano wa matukio yafuatayo:

• Alama za mwanafunzi huyo ni sawa na au zaidi ya 70.
• Alama za mwanafunzi huyo ni chini ya 70 haswa.
• Alama za mwanafunzi huyo ziko kati ya 50 na 70.

Suluhisho

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

Kukokotoa uwezekano wa mkunjo wa kawaida kwa mkono kunahusisha hatua nyingi changamano na kunahitaji kusoma majedwali ya z. Kwa bahati nzuri, Kikokotoo chetu cha Uwezekano wa Usambazaji wa Kawaida hukuruhusu kuepuka usumbufu huo. Ingiza tu thamani nne—wastani, mkengeuko sanifu, na mipaka ya kushoto na kulia—na kikokotoo kitakokotoa uwezekano sahihi kwako papo hapo.