Kikokotoo cha Varianzi

Varianzi kama kipimo cha mbadiliko

Unapochanganua seti ya data, kipengele cha msingi cha uelewa wa takwimu ni kupima kiasi ambacho data inatofautiana kutoka kwenye wastani wake. Vipimo maarufu zaidi vya kupima mbadiliko huu ni:

• Varianzi ni wastani wa miraba ya mikengeuko kutoka kwenye wastani (mean).
• Mkengeuko sanifu ni kipeuo cha pili cha varianzi. Mkengeuko sanifu ni kipimo kinachotumiwa sana kupima mtawanyiko na mbadiliko wa ujumla.
• Kizidisho cha mbadiliko, kinachojulikana pia kama mkengeuko sanifu wa kiasi. Kizidisho cha mbadiliko kinakokotolewa kama uwiano wa mkengeuko sanifu σ kwa wastani μ, au \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Kikokotoo chetu cha mtandaoni cha varianzi hutafuta kwa urahisi varianzi ya seti fulani ya data na kutoa mchanganuo wa kina wa hatua kwa hatua wa mchakato wa kukokotoa.

Sheria za kutumia kikokotoo hiki

Kikokotoo cha varianzi kinakubali ingizo kama orodha ya namba zilizotenganishwa kwa kitenganishi. Baadhi ya mifano ya uumbizaji unaokubalika imeonyeshwa kwenye jedwali hapa chini:

Unaweza kutenganisha namba ukitumia koma, nafasi, kuvunja mstari, au mchanganyiko wa vitenganishi hivi. Unaweza kutumia umbizo la safumlalo au safuwima. Kwa maumbizo yote ya data yaliyoonyeshwa kwenye jedwali hapo juu, kikokotoo huchakata kwa usahihi ingizo kama 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, na 89.

Baada ya kuingiza data yako, chagua ikiwa inawakilisha sampuli au idadi kamili (population). Mara unapobonyeza kitufe cha kukokotoa, zana huonyesha vigezo vitano vya msingi vya takwimu: idadi (idadi ya uchunguzi), wastani, jumla ya miraba ya mikengeuko, varianzi, na mkengeuko sanifu.

Kikokotoo hiki kimeundwa mahususi kukokotoa varianzi ya seti ya data. Zaidi ya hayo, kinatoa maarifa muhimu kuhusu nadharia ya msingi ya takwimu kwa kuonyesha wazi hatua zote zinazohusika.

Kwa makisio ya takwimu yanayotegemeka sana, kila wakati inapendekezwa kutumia seti kubwa ya data. Hata hivyo, mara nyingi haiwezekani kupata data ya idadi inayowakilisha uchunguzi wote unaowezekana. Kwa sababu hii, wanatakwimu kwa kawaida huchukua "sampuli" kutoka kwenye idadi, ikiruhusu hitimisho kuhusu idadi yote kutolewa moja kwa moja kutoka kwenye data ya sampuli.

Varianzi hupima mtawanyiko wa wastani wa seti ya data kulingana na wastani wake. Kwa kawaida huonyeshwa kwa σ² kwa idadi na s² kwa sampuli. Thamani kubwa ya σ² au s² inaonyesha mtawanyiko mpana zaidi wa pointi za data kutoka kwenye wastani, ambapo thamani ndogo inaonyesha kwamba pointi za data zimepangwa karibu na wastani.

Fikiria seti zifuatazo za mfano za data:

(Seti I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Seti II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Kuweka Seti I kwenye kikokotoo cha varianzi kunaleta:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

kwa sampuli, na

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

kwa idadi.

Vile vile, kuweka Seti II kwenye kikokotoo kunaleta:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

kwa sampuli, na

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

kwa idadi.

• Katika Seti I, namba zinakengeuka kwa kiasi kikubwa kutoka kwenye wastani wa sampuli, na kusababisha varianzi kubwa zaidi:

s²=70.4

σ²=64

• Katika Seti II, mbadiliko wa ujumla ni mdogo sana:

s²=5.6

σ²=5.09

Fomula ya varianzi: varianzi ya idadi dhidi ya varianzi ya sampuli

Varianzi ya idadi

Katika takwimu, idadi (population) inarejelea uchunguzi wote unaowezekana ndani ya jaribio. Kwa uchunguzi N, fomula ya varianzi ya idadi ni:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

ambapo:

• σ² ni varianzi ya idadi,
• Σ inawakilisha jumla,
• xᵢ ni kila uchunguzi wa mtu binafsi,
• μ ni wastani wa idadi,
• N ni jumla ya idadi ya uchunguzi katika idadi (population).

Varianzi ya sampuli

Varianzi ya sampuli inafafanuliwa na fomula ifuatayo:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

ambapo:

• s² ni varianzi ya sampuli,
• Σ inawakilisha jumla,
• xᵢ ni kila uchunguzi wa mtu binafsi,
• x̄ ni wastani wa sampuli,
• n ni jumla ya idadi ya uchunguzi katika sampuli.

Hatua za kukokotoa varianzi

Kukokotoa varianzi kwa mikono kunahusisha hatua zifuatazo za kawaida:

Hatua ya 1: Kokotoa wastani wa sampuli au idadi. Hii ni jumla ya pointi zote za data kugawanywa na idadi ya pointi za data (n kwa sampuli na N kwa idadi), yaani.,

Wastani wa sampuli:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Wastani wa idadi:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Hatua ya 2: Kokotoa mikengeuko ya mtu binafsi kwa kutoa wastani wa sampuli au idadi kutoka kwenye kila pointi ya data, yaani.,

Mikengeuko ya sampuli:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Mikengeuko ya idadi:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Hatua ya 3: Kokotoa miraba ya mikengeuko kwa kila pointi ya data.

Miraba ya mikengeuko ya sampuli:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Miraba ya mikengeuko ya idadi:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Hatua ya 4: Kokotoa jumla ya miraba ya mikengeuko.

Jumla ya miraba ya mikengeuko ya sampuli:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Jumla ya miraba ya mikengeuko ya idadi:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Hatua ya 5: Gawanya jumla ya miraba ya mikengeuko kwa n-1 kwa sampuli na N kwa idadi ili kupata varianzi ya mwisho.

Varianzi ya sampuli:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varianzi ya idadi:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Mfano wa Kukokotoa Varianzi kwa Sampuli

Hebu tufikirie mfano wa vitendo tukitumia seti ifuatayo ya data: 1, 2, 4, 5, 6, na 12. Ili kukokotoa varianzi ya sampuli, tunafuata hatua hizi:

Hatua ya 1: Kokotoa wastani wa sampuli.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Hatua ya 2: Kokotoa mikengeuko kutoka kwenye wastani kwa kila pointi ya data.

Hatua ya 3: Kokotoa miraba ya mikengeuko.

Hatua ya 4: Jumlisha miraba ya mikengeuko.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Hatua ya 5: Kokotoa varianzi ya sampuli kwa kugawanya jumla ya miraba ya mikengeuko na digrii za uhuru (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

Kwa idadi, utagawanya kwa n (jumla ya namba za pointi za data) badala ya n-1 ili kukokotoa varianzi ya idadi.

Umuhimu wa varianzi

Varianzi na mtawanyiko ni vipimo muhimu katika ulimwengu wa uwekezaji. Vinawawezesha wasimamizi wa mali kuboresha utendaji wao wa uwekezaji na kusimamia potifolio kwa ufanisi. Wachambuzi wa kifedha wanategemea sana varianzi kutathmini hatari ya mtu binafsi na utendaji wa kihistoria wa mali mahususi ndani ya potifolio ya uwekezaji.

Wakati wa kufikiria ununuzi mpya, wawekezaji hukokotoa varianzi ili kuamua ikiwa uwekezaji unaowezekana unastahili hatari inayohusishwa. Vipimo vya mtawanyiko husaidia wachambuzi kupima kutokuwa na uhakika—sababu ambayo karibu haiwezekani kutathminiwa kwa usahihi bila varianzi na mkengeuko sanifu.

Ingawa kutokuwa na uhakika kwenyewe hakupimiki moja kwa moja, varianzi na mkengeuko sanifu (kipeuo cha pili cha varianzi) huwaruhusu wawekezaji kubaini mabadiliko yanayoonekana na athari ambayo hisa fulani itakuwa nayo kwenye potifolio pana.

Zaidi ya fedha, varianzi ni zana muhimu kwa wanasayansi, wanatakwimu, wanahisabati, na wachambuzi wa data. Hutoa maarifa ya kina ya kihisabati katika majaribio na sampuli za idadi.

Wanasayansi mara nyingi hutegemea varianzi ili kutambua tofauti za kimuundo kati ya makundi ya majaribio, kubaini kama yanafanana vya kutosha ili kupima dhana kikamilifu. Kadiri varianzi inavyokuwa kubwa, ndivyo thamani zinavyotawanywa zaidi katika seti ya data. Watafiti wa data hutumia taarifa hii kuelewa jinsi wastani unavyowakilisha kwa usahihi seti ya data kwa ujumla wake.

Hata hivyo, hasara moja ya kutumia varianzi ni unyeti wake kwa data zilizojitenga sana (outliers). Kwa sababu mikengeuko kutoka kwenye wastani inapewa mraba kihisabati, data zilizojitenga zinapewa uzito mkubwa usio na uwiano, ambao unaweza kupotosha bila kukusudia uwakilishi wa jumla wa data.

Kwa sababu hii, watafiti wengi na wataalamu wa kifedha wanapendelea kufanya kazi na mkengeuko sanifu. Kwa sababu unakokotolewa kama kipeuo cha pili cha varianzi, mkengeuko sanifu unaonyeshwa katika vipimo sawa na data ya asili. Unatoa tarakimu ndogo zaidi, inayoeleweka zaidi ambayo ni rahisi sana kuifasiri huku ukibaki kuwa umepotoshwa kidogo tu na data zilizojitenga kupita kiasi.