Kikokotoo cha Mkengeuko Sanifu

Kikokotoo chetu cha mkengeuko sanifu ni zana yenye nguvu na rahisi kutumia iliyoundwa kupata mkengeuko sanifu wa seti yoyote ya data. Zaidi ya kukokotoa mkengeuko sanifu, inazalisha papo hapo ufahamu muhimu wa takwimu, ikiwa ni pamoja na wastani (mean), muachano (variance), na jedwali la kina la mtawanyiko wa masafa. Zaidi ya hayo, zana hii hukokotoa muda wa kujiamini (confidence interval) wa seti yako ya data katika viwango mbalimbali vya kujiamini.

Ili kuanza, ingiza tu pointi zako za data zikitenganishwa na koma. Kisha, chagua ikiwa nambari zako zinawakilisha idadi kamili (population) au sampuli (sample), na ubofye "Kokotoa" ili kutazama matokeo yako ya kina.

Mkengeuko Sanifu

Mkengeuko sanifu ni kipimo cha kimsingi cha takwimu kinachoonyesha kiwango cha mtawanyiko, au utofauti, ndani ya seti fulani ya data. Inawakilisha umbali wa wastani wa pointi zako za data kutoka kwa wastani wa seti ya data. Mkengeuko sanifu mdogo unamaanisha pointi za data ziko karibu sana na wastani, wakati mkengeuko sanifu mkubwa unaonyesha data imetawanyika sana. Kimahesabu, mkengeuko sanifu ni kipeuo cha pili (square root) cha muachano—kipimo kingine muhimu cha mtawanyiko wa data.

Jinsi unavyokokotoa mkengeuko sanifu inategemea kabisa seti yako ya data. Ikiwa data yako inajumuisha kila mwanachama wa kundi unalosoma, utakokotoa mkengeuko sanifu wa idadi. Hata hivyo, ikiwa data yako ni sehemu tu ya kundi kubwa, utakokotoa mkengeuko sanifu wa sampuli.

Mkengeuko Sanifu wa Idadi (Population Standard Deviation)

Unapaswa kukokotoa mkengeuko sanifu wa idadi wakati seti yako ya data inajumuisha kila uchunguzi unaowezekana ndani ya kundi unalolilenga. Katika takwimu, mkengeuko sanifu wa idadi unaashiriwa na alama σ.

σ (hutamkwa "sigma") ni herufi ndogo ya Kigiriki. Kanuni ya mkengeuko sanifu wa idadi ni kama ifuatavyo:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Ambapo:

• Σ ni herufi kubwa ya Kigiriki Sigma, ambayo inaashiria jumla katika hisabati;
• xᵢ inawakilisha kila pointi binafsi ya data (uchunguzi) katika seti ya data, kuanzia thamani ya kwanza hadi ya N (ya mwisho);
• μ inawakilisha wastani wa idadi;
• N ni ukubwa wa jumla wa idadi.

Mfano wa kukokotoa mkengeuko sanifu wa idadi ya jumla

Mfano ufuatao unaonyesha jinsi ya kupata mkengeuko sanifu wa data ya idadi.

Wawekezaji mara nyingi huona hisa kama rasilimali hatari kutokana na kuyumbayumba sana kwa bei zake ikilinganishwa na madaraja mengine ya uwekezaji. Tuseme meneja wa uwekezaji anataka kuchambua kuyumbayumba kwa hisa maalum katika mwezi uliopita. Anaamua kwamba hatapendekeza hisa yoyote kwa wateja wake ikiwa mkengeuko sanifu wake ni mkubwa kuliko au sawa na wastani wake, akiainisha rasilimali kama hizo kuwa "hatari mno."

Hapa chini kuna bei zote za kufunga za kila siku (kwa USD) za hisa fulani katika mwezi uliopita. Hebu tukokotoe mkengeuko sanifu ili kubaini kama meneja ataona hisa hii kuwa hatari mno:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

Kwa kuwa meneja anavutiwa tu na bei za hisa za mwezi uliopita, na tunazo bei zote zilizorekodiwa kwa kipindi hicho maalum, tunafanya kazi na idadi kamili. Kwa hivyo, tutatumia kanuni ya mkengeuko sanifu wa idadi.

Ili kupata mkengeuko sanifu, lazima kwanza tukokotoe wastani (μ). Kumbuka, wastani unapatikana kwa kugawanya jumla kuu ya nambari kwa idadi ya nambari zote.

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

Kisha, ondoa wastani kutoka kwa kila pointi binafsi ya data na uzidishe tofauti kwa yenyewe (square the difference). Jumlisha tofauti zote hizi zilizozidishwa kwa zenyewe pamoja, na ugawanye matokeo kwa idadi ya jumla. Matokeo haya ndiyo muachano (σ²).

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

Hatimaye, chukua kipeuo cha pili cha muachano ili kubaini mkengeuko sanifu wa idadi.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

Kama unavyoona, mkengeuko sanifu wa bei za hisa hii kwa mwezi uliopita (0.21) ni mdogo kuliko wastani (1.097). Kwa hivyo, meneja hataiona hisa hii kuwa "hatari mno."

Mkengeuko Sanifu wa Sampuli

Unapaswa kukokotoa mkengeuko sanifu wa sampuli wakati seti yako ya data ni sampuli tu (sehemu ndogo) iliyotolewa kutoka kwa idadi kubwa inayolengwa. Mkengeuko sanifu wa sampuli unaashiriwa na herufi s na unakokotolewa kwa kutumia kanuni ifuatayo:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Ambapo:

• Σ inaashiria jumla;
• xᵢ inawakilisha kila pointi binafsi ya data;
• x̄ inawakilisha wastani wa sampuli;
• n ni ukubwa wa sampuli.

Hebu tuonyeshe jinsi ya kupata mkengeuko sanifu wa sampuli kwa kutumia tofauti ya mfano uliopita. Tuseme meneja wa uwekezaji anataka kuchambua hisa ile ile, lakini wakati huu, hana ufikiaji wa bei za kufunga kwa kila siku moja ya biashara ya mwezi uliopita. Badala yake, anazo tu bei za kufunga za sampuli ya nasibu ya siku 5. Atahitaji kukadiria mkengeuko sanifu wa hisa kwa kutumia data hii ndogo ya sampuli.

Tuchukulie bei 5 zilizorekodiwa za kufunga ni:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

Ingawa lengo kuu la meneja liko kwenye mwezi mzima uliopita, anamiliki tu seti ndogo ya siku 5. Kwa kuwa tunashughulika na sampuli badala ya idadi kamili, lazima tukokotoe mkengeuko sanifu kwa kutumia kanuni ya mkengeuko sanifu wa sampuli.

Kwanza, kokotoa wastani wa sampuli (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

Kisha, kokotoa muachano wa sampuli (s²).

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

Hatimaye, chukua kipeuo cha pili cha muachano ili kupata mkengeuko sanifu wa sampuli.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

Ukingo wa Kosa (Margin of Error)

Moja ya matumizi muhimu sana ya mkengeuko sanifu ni kukokotoa anuwai "inayokubalika" ya thamani, ambayo ina jukumu muhimu katika uchanganuzi wa kubashiri na uhakikisho wa ubora wa takwimu za viwanda. Ikiwa data ya msingi inafuata mtawanyiko wa kawaida (normal distribution), anuwai hii inajulikana kama muda wa kujiamini (kama itakavyofafanuliwa katika sehemu inayofuata). Muda huu unakokotolewa katika viwango mbalimbali vya kujiamini, ambavyo kwa kawaida huelezwa kama asilimia.

Ukingo wa kosa ni sehemu muhimu ya muda wa kujiamini ambayo huamua upana wake wa jumla. Kimsingi, ukingo wa kosa huweka thamani za juu zaidi na za chini zaidi zinazokubalika kwa kipimo unachochambua.

Ukingo wa kosa unakokotolewa kwa kutumia kanuni hii:

$$Margin\ of\ error\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Tunatumia kanuni hii wakati mkengeuko sanifu wa idadi (σ) unajulikana, mradi tu ukubwa wa sampuli ni mkubwa vya kutosha (kwa kawaida n > 30).

Wakati mkengeuko sanifu wa idadi haujulikani na sampuli ni ndogo (kwa kawaida n ≤ 30), tunatumia kanuni ifuatayo badala yake:

$$Margin\ of\ error\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Katika hali hii, tunabadilisha mkengeuko sanifu wa idadi (σ) kwa kuweka mkengeuko sanifu wa sampuli (s).

Vipengele \$z_{\alpha/2}\$ na \$t_{n-1, \alpha/2}\$ vinajulikana kama thamani muhimu (critical values). Vinabainishwa kwa kutumia takwimu za z (z-statistics) na takwimu za t (t-statistics), mtawalia, na hufanya kazi kama viwango visivyobadilika vinavyohusishwa na kiwango chako ulichochagua cha kujiamini.

Viwango vya kujiamini vinavyojulikana sana na kutumika katika uchanganuzi wa takwimu ni 90%, 95%, na 99%. Thamani zake muhimu zinazolingana za \$z_{\alpha/2}\$ ni 1.645 (kwa 90%), 1.96 (kwa 95%), na 2.575 (kwa 99%).

Vipengele \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ na \$\frac{s}{\sqrt n}\$ vinawakilisha kosa sanifu (standard error).

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ inatumika tunapojua mkengeuko sanifu wa idadi (σ) na tuna ukubwa mkubwa wa sampuli (kwa kawaida n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ inatumika wakati hatujui mkengeuko sanifu wa idadi na tunafanya kazi na ukubwa mdogo wa sampuli (kwa kawaida n ≤ 30). Kwa sababu σ haijulikani, lazima tutegemee mkengeuko sanifu wa sampuli yetu inayopatikana (s).

Muda wa Kujiamini (Confidence Interval)

Kama ilivyotajwa hapo juu, muda wa kujiamini ni anuwai ya takwimu ya thamani ambamo kigezo fulani cha idadi kinatarajiwa kuanguka, kulingana na kiwango maalum cha kujiamini.

Kwa mfano, mtaalamu wa takwimu anaweza kusema kwamba wastani wa urefu wa wasichana wa miaka 13 unaanguka kati ya inchi 59 na inchi 66 kwa kiwango cha asilimia 90 cha kujiamini. Hii inamaanisha kuwa kama tungechukua sampuli nyingi za nasibu za wasichana wa miaka 13, karibu asilimia 90 ya wakati, urefu wao wa wastani ungekuwa kati ya mipaka hiyo miwili.

Wakati mkengeuko sanifu wa idadi unajulikana, muda wa kujiamini unakokotolewa kwa kutumia kanuni ifuatayo:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ni wastani wa sampuli,
• \$z_{\alpha/2}\$ ni thamani muhimu,
• σ ni mkengeuko sanifu wa idadi,
• n ni idadi ya uchunguzi.

Ikiwa hatujui mkengeuko sanifu wa idadi (σ) na lazima tutumie mkengeuko sanifu wa sampuli (s) badala yake, tunatumia kanuni hii mbadala:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ni wastani wa sampuli,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ni thamani muhimu,
• s ni mkengeuko sanifu wa sampuli,
• n ni idadi ya uchunguzi.

Kama ilivyofafanuliwa katika sehemu iliyopita, mlinganyo wa maneno \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ na \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ unawakilisha kingo za makosa.

Mfano wa kukokotoa muda wa kujiamini

Tuseme tunajua kwamba bei za hisa za kila siku tunazochambua zinafuata mtawanyiko wa kawaida. Tuna sampuli ifuatayo ya bei 10 za hisa mikononi mwetu:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

Tunataka kukokotoa anuwai ambamo wastani halisi wa bei ya hisa utayumbayumba, kwa kiwango cha kujiamini cha 95%.

Kwa sababu hii ni sampuli ndogo na mkengeuko sanifu wa idadi haujulikani, tutatumia mkengeuko sanifu wa sampuli na kanuni inayolingana ya takwimu ya t:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ni wastani wa sampuli: 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ni thamani muhimu: \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (thamani muhimu za ukubwa wa sampuli na kiwango cha kujiamini huweza kupatikana kwa kutumia jedwali sanifu la t au jedwali la z)
• s ni mkengeuko sanifu wa sampuli: 0.23
• n ni idadi ya uchunguzi: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ ni kosa sanifu: \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

Sasa, tunaingiza nambari hizi katika kanuni yetu ya muda wa kujiamini:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Tukikokotoa mipaka ya chini na ya juu, tunapata:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

Matokeo haya yanamaanisha tunaweza kuwa na uhakika kwa 95% kwamba wastani halisi wa bei ya hisa kwa rasilimali hii upo ndani ya muda wa kujiamini wa (0.94, 1.26).