Ortalama Hesaplayıcı

Ücretsiz çevrimiçi ortalama hesaplama aracı ile herhangi bir veri setinin ortalamasını bulmak artık çok kolay. Verilerinizi hesaplama kutusuna manuel olarak yazabilir veya doğrudan kopyalayıp yapıştırabilirsiniz. Her bir veri noktasını virgülle ayırdığınızdan emin olun ve ardından "Hesapla" butonuna tıklayın.

Gelişmiş ortalama hesaplama makinesi; girdiğiniz veri seti için aritmetik ortalamayı, adım adım hesaplama sürecini ve diğer önemli istatistiksel sonuçları saniyeler içinde size sunacaktır.

Hesaplayıcının üç modu vardır. Basit modu, düz bir sayı listesinin ortalamasını alır. Ağırlıklı modu, ikinci bir ağırlık listesi alır; böylece daha önemli olan değerler daha fazla hesaba katılır — ders notları, portföy getirileri ve anket puanları bu şekilde ortalanır. Zaman modu ise sa:dk:sn veya dk:sn şeklinde yazılan süreleri kabul eder ve ondalık sayı yerine bir süre olarak yanıt verir; bu da tur süreleri, vardiya uzunlukları ve çalışma seansları için gereken şeydir.

Ortalama

İstatistiksel anlamda ortalama, bir veri setindeki değerlerin bütünü kullanılarak elde edilen merkezi bir değerdir. Hesaplama aşamasında veri setindeki tüm elemanlar sürece dahil edildiği için, elde edilen sonuç tüm veri setini temsil etme özelliğine sahiptir. Ortalama, veri analizindeki en önemli merkezi eğilim (merkezi yığılım) ölçütlerinden biri olarak kabul edilir.

Günlük hayatta en yaygın kullanılan türü basit aritmetik ortalamadır. Bununla birlikte; geometrik ortalama, ağırlıklı ortalama, birleşik aritmetik ortalama ve harmonik ortalama gibi farklı analiz ihtiyaçlarına yanıt veren çeşitli ortalama türleri de bulunmaktadır.

İstatistikte bir popülasyonun (evrenin) ortalaması μ (Mu) sembolü ile, bir örneklemin ortalaması ise X̄ (X-bar / X çizgi) sembolü ile ifade edilir.

Basit Ortalama

Basit ortalama, bir veri setindeki tüm değerlerin toplanıp toplam veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu hesaplama yöntemi sıklıkla sadece "ortalama" veya "aritmetik ortalama" olarak da adlandırılır.

Bir popülasyonun ortalamasını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

μ = Veri setindeki değerlerin toplamı / Popülasyondaki toplam veri sayısı = ΣX / N

Bir örneklemin ortalamasını hesaplamak için ise şu formül kullanılır:

X̄ = Veri setindeki değerlerin toplamı / Örneklemdeki toplam veri sayısı = ΣX / n

Gelin, aritmetik ortalamanın nasıl hesaplandığını bir örnek üzerinden inceleyelim.

Örnek

Jasmine'in geçen dönem aldığı yedi derse ait notlar aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Jasmine'in geçen dönemki not ortalaması nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	92
Matematik	81

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Ortalama, günlük hayatta hemen herkesin aşina olduğu temel bir kavramdır. Ortalama gelir, ortalama üretim maliyeti, ortalama fiyatlandırma, not ortalaması, ortalama yakıt tüketimi gibi terimler sıklıkla karşımıza çıkar. Günlük yaşantımızda standart hesaplama yöntemi olarak genellikle basit ortalama tercih edilir. Basit aritmetik ortalama aynı zamanda "ideal ortalama" olarak da bilinir.

Ancak bazı özel istatistiksel durumlarda farklı merkezi eğilim ölçülerini kullanmamız gerekebilir. Şimdi bu alternatiflere yakından göz atalım.

Geometrik Ortalama

Zaman içinde değişen bir değerin ortalama büyüme hızını belirlerken basit aritmetik ortalama kullanmak doğru sonuçlar vermeyebilir. Özellikle muhasebe ve finans alanlarında, bileşik faiz ve getiri oranları gibi hesaplamalarda kullanılan geometrik ortalama, bu tür analizler için çok daha güvenilir bir göstergedir. Bunun temel nedeni, büyüme oranlarının toplamsal (kümülatif) değil, çarpımsal (katlanarak artan) bir yapıya sahip olmasıdır.

Bir veri setinin geometrik ortalaması, veri setindeki "n" adet elemanın çarpımının n'inci dereceden kökü olarak tanımlanır. Hesaplama işlemi; her bir değerin birbiriyle çarpılması ve elde edilen sonucun veri sayısına (n) eşit dereceden kökünün alınmasıyla gerçekleştirilir. Geometrik ortalama; oranları, yüzdeleri ve periyodik büyüme hızlarını analiz etmek için son derece kullanışlıdır.

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Bir önceki örneğimizdeki verileri kullanarak geometrik ortalamayı hesaplayalım:

$$Geometrik\ Ortalama = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Matematiksel bir kural olarak Geometrik Ortalama, her zaman aritmetik ortalamaya eşit veya ondan daha küçüktür.

Örneğimizde görebileceğiniz üzere:

Geometrik Ortalama ≤ Aritmetik Ortalama

80,31 < 81

Sitemizdeki çevrimiçi ortalama hesaplama aracını yalnızca aritmetik ortalamayı bulmak için değil, aynı zamanda veri setinizin geometrik ortalamasını tek tıkla ve hatasız bir şekilde hesaplamak için de kullanabilirsiniz.

Ağırlıklı Ortalama

Basit aritmetik ortalamada, hesaplamaya dahil edilen tüm değerler eşit ağırlığa (öneme) sahiptir. Ancak gerçek hayattaki pek çok durumda, veri setimizdeki her bir elemana aynı önemi atfedemeyiz.

Bir önceki örneğimizde, tüm notları toplayıp toplam ders sayısına bölerek basit bir ortalama elde ettik. Fakat bunu yaparken her bir dersin göreceli önemini (kredisi veya katsayısını) dikkate almadık.

Ağırlıklı ortalama, veri setimizdeki her bir elemanın sonuca olan etkisinin (göreceli öneminin) farklı olduğu senaryolarda kullanılmalıdır. Ağırlıklı ortalama; veri değerlerinin kendi ağırlıklarıyla çarpılması sonucu elde edilen "ağırlıklı değerler toplamının", "ağırlıklar toplamına" bölünmesiyle hesaplanır.

Ağırlıklı ortalamayı bulmak için şu formülü kullanabiliriz:

Ağırlıklı ortalama = Ağırlıklı değerlerin toplamı / Ağırlıkların toplamı = ΣWX / ΣW

Örnek

Önceki örnekteki derslerin her birinin farklı bir ağırlığı (kredisi) olduğunu varsayalım. Buna göre, Jasmine'in geçen dönem aldığı 7 derse ait güncellenmiş not ve ağırlık tablosu aşağıdaki gibidir:

Jasmine'in geçen dönem ders puanlarının ağırlıklı ortalaması:

Ders	Puan	Ağırlık
Yönetim	84	3
İletişim	90	2
Muhasebe	75	4
Ekonomi	60	3
İşletme İstatistikleri	85	3
Uluslararası Çalışmalar	92	2
Matematik	81	3

Çözüm

Ağırlıklı ortalama puan = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Bunu yukarıdaki hesap makinesinde çalıştırmak için Ağırlıklı (Weighted) sekmesine geçin, puanları Değerler (Values) kısmına (84, 90, 75, 60, 85, 92, 81) ve ağırlıkları Ağırlıklar (Weights) kısmına (3, 2, 4, 3, 3, 2, 3) yapıştırın. Ağırlıkların toplamının 100 veya belirli bir sayı olması gerekmez; ham kredi saatleri, nihai notun yüzdeleri ve düz sayımların tümü çalışır, çünkü formül ağırlıkların toplamı ne olursa olsun ona böler.

Not Ortalaması Hesaplama: Sınavları, Ödevleri ve Finali Ağırlıklandırma

Not ağırlıklandırma, ağırlıklı ortalamanın en yaygın kullanımıdır ve yukarıdaki Ağırlıklı sekmesi, yeniden adlandırılmasına gerek kalmadan bir not ortalaması hesaplayıcıdır. Eğer bir müfredat ödevlerin notun %20'si, vizenin %30'u ve finalin %50'si olduğunu söylüyorsa, bu yüzdeler ağırlıklardır: üç puanınızı değerler olarak ve 20, 30, 50 sayılarını ağırlıklar olarak girin.

Ödevden 95, vizeden 78 ve finalden 84 alan bir öğrenci (95×20 + 78×30 + 84×50) / 100 = 84,4 alır — bu, en zayıf puan en yüksek ağırlığı taşıdığı için düz ortalama olan 85,7'nin gözle görülür şekilde altındadır. Bu fark, notların basitçe ortalamasının alınması yerine ağırlıklandırılmasının tek nedenidir ve bu yüzden bir ders ortalamasını elle kontrol etmek genellikle not defteriyle uyuşmaz.

100'e Ulaşmayan Ağırlıklar

Ulaşması gerekmez. Hesaplayıcı, ağırlıkların toplamı neyse ona böler, bu nedenle şu üç durumun tümü de aynen çalışır:

Ağırlıkların ne olduğu	Örnek	Toplam
Dönem sonu notunun yüzdeleri	20, 30, 50	100
Ders başına kredi saatleri	3, 4, 3, 2	12
Her bir ödevin toplam puanı	50, 100, 200	350

Üçüncü durum üzerinde durmaya değer, çünkü düz bir ortalamanın en çok yanılttığı yer burasıdır: 50 puanlık bir kısa sınav (quiz) ile 200 puanlık bir finali eşit kabul eden bir sınav ortalaması hesaplayıcı, küçük ödevlerde başarılı olan bir öğrencinin durumunu abartacaktır. Puan değerlerini ağırlık olarak girdiğinizde sonuç not defteriyle eşleşir.

İhtiyacınız Olan Puanı Hesaplama

Ağırlıklı ortalama basitçe Σ(w·x) ÷ Σw olduğundan, aynı sekme tersi soruyu da yanıtlar — finalde kaç almam gerekiyor? Sahip olduğunuz ağırlıklı puanları toplayın, hedefinizden çıkarın ve finalin ağırlığına bölün. Ödevden 95 (%20) ve vizeden 78 (%30) alan birinin 85 ortalamaya ulaşması için finalden (85×100 − 95×20 − 78×30) / 50 = 85,2 alması gerekir.

Medyan

Bir veri setindeki elemanlar küçükten büyüğe (artan) veya büyükten küçüğe (azalan) doğru sıralandığında, tam ortada yer alan değere medyan (ortanca) denir. Başka bir deyişle medyan; sıralı bir veri dizisini (veri dizisi, ham verilerin belirli bir düzene göre sıralanmış halidir) iki eşit parçaya bölen merkez noktasıdır. Bu bölünme sonucunda, verilerin %50'si medyan değerinin altında, diğer %50'si ise medyan değerinin üstünde yer alır.

Medyan Hesaplama Metodu

Medyanı hesaplarken, işe öncelikle aşağıdaki formülü kullanarak medyanın veri seti içindeki pozisyonunu (sırasını) bularak başlamalıyız:

$$Medyanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe$$

Formüldeki "n", veri setindeki toplam eleman sayısını ifade eder.

Eğer veri setindeki eleman sayısı tek ise, dizilimin tam ortasında yer alan eleman medyandır. Ancak veri setindeki eleman sayısı çift ise ortada tek bir değer kalmayacağından, merkeze denk gelen iki sayının aritmetik ortalaması medyan olarak kabul edilir.

Ortalama ve Medyan Arasındaki Farklar

1. Ortalama (aritmetik ortalama), bir veri setindeki tüm değerlerin toplanıp gözlem sayısına bölünmesiyle hesaplanır ve her bir veri noktasının büyüklüğünü hesaba katan bir değer sunar. Buna karşılık medyan, sıralı bir listedeki tam orta değerdir. Merkezi bir bölme noktası sağlar ancak etrafındaki sayıların büyüklüğünü hesaba katmaz.

2. Her iki metrik de verilerin grafiksel gösterimlerinden görsel olarak tahmin edilebilir. Simetrik bir dağılımda ortalama, doğrudan merkezde yer aldığı için hızlıca tahmin edilebilir. Buna karşılık medyan, bir kutu grafiği (box plot) içindeki orta çizgi olarak kolayca tanımlanır.

3. Hem ortalama hem de medyan, ileri düzey istatistiksel analizlerde kritik roller oynar. Ortalama, aykırı değerlerden arındırılmış normal dağılımlı veriler için yoğun bir şekilde kullanılır ve varyans ile standart sapma hesaplamalarının temelini oluşturur. Öte yandan medyan, veriler aşırı çarpık olduğunda veya aykırı değerlerle dolu olduğunda bir merkezi eğilim ölçüsü olarak öne çıkar. Belirli veri dağılımlarının varsayılmadığı parametrik olmayan istatistiksel testlerde yaygın olarak kullanılır.

Ortalamalar Hakkında Sıkça Sorulan Sorular

Bir Sayı Grubunun Ortalaması Nasıl Bulunur?

Tüm sayıları birbirleriyle toplayın, ardından çıkan sonucu toplam sayı adedine bölün. Yöntem tamamen budur: 10, 2, 38 ve 23 sayıları için toplam 73, sayı adedi ise 4'tür; dolayısıyla ortalama 73 ÷ 4 = 18,25 olur. Yukarıdaki hesaplayıcı, bu işlemin her iki tarafını da yanıtın yanında gösterir; böylece matematiksel işlem bir sonucun arkasında gizli kalmaz, görünür olur.

Aritmetik Ortalama Nasıl Hesaplanır?

Aynı şekilde. Günlük kullanımda "ortalama" ve "aritmetik ortalama" aynı sayıya işaret eder — toplamın sayı adedine bölünmesiyle elde edilen ve resmi olarak aritmetik ortalama olarak adlandırılan değerdir. İstatistikte "ortalama" (mean) kelimesi tercih edilir çünkü birkaç farklı ortalama türü vardır (aritmetik, geometrik, harmonik) ve bu terim onları birbirinden ayırır; oysa günlük dildeki "ortalama" (average) kelimesi gevşek bir şekilde medyanı veya hatta modu da ifade edebilir.

Ortalama, Medyan ve Mod Arasındaki Fark Nedir?

Aynı veri hakkında üç farklı soruya yanıt verirler. Ortalama değerleri dengeler: yukarıdaki ve aşağıdaki mesafelerin birbirini götürdüğü noktadır. Medyan veri sayısını ikiye böler: değerlerin yarısı onun altında, yarısı ise üstünde kalır. Mod ise basitçe en sık tekrarlanan değerdir. 2, 3, 3, 4 ve 88 sayıları için ortalama 20, medyan 3 ve mod 3'tür — bunlar "burada tipik olan nedir" sorusuna verilen üç meşru yanıttır; bu yüzden 88 gibi tek bir aykırı değer, ortalamayı aralarındaki en az kullanışlı değer haline getirir.

Yüzdelerin Ortalaması Nasıl Bulunur?

Yüzdelerin doğrudan ortalamasını yalnızca aynı büyüklükteki grupları tanımlıyorlarsa alın. 10 kişilik bir ekibin %40'ı ve 90 kişilik bir ekibin %60'ı evet yanıtını verdiyse, gerçek oran %50 değil — (0,40×10 + 0,60×90) / 100 = %58'dir. Bu, grup büyüklüklerinin ağırlık olarak kullanıldığı bir ağırlıklı ortalamadır ve Ağırlıklı sekmesinin tam olarak kullanım amacı budur. İki yüzdeyi düz sayılar gibi ortalamak, her iki grubun da eşit büyüklükte olduğunu varsaymak anlamına gelir.

Zaman Ortalaması Nasıl Alınır?

Her bir süreyi tek bir birime (örneğin saniyeye) dönüştürün, bunların ortalamasını alın ve tekrar süre formatına dönüştürün. 1:45:30, 2:10:00 ve 1:58:15 şeklindeki üç tur süresi toplam 21.225 saniye eder; bu sayı üçe bölündüğünde 7.075 saniye, yani 1:57:55 yapar. Zaman sekmesi bu dönüştürme işlemini sizin yerinize yapar ve ayrıca sonucu, çoğu zaman çizelgesi ve faturanın talep ettiği biçim olan ondalık saat (1,9653 sa) cinsinden raporlar.

Ortalama, Kümedeki Her Değerden Daha Büyük Olabilir mi?

Hayır. Ortalama her zaman en küçük ve en büyük değerlerin arasında yer alır — bu matematiğin kendi özelliğidir, bir tesadüf değildir. Hesaplanan bir ortalama bu aralığın dışındaysa, işlemde bir hata var demektir. Ağırlıklı ortalama da ağırlıklar negatif olmadığı sürece aynı kurala uyar; ağırlıkların negatif olması genellikle bir modelleme seçeneğinden ziyade bir veri giriş hatasıdır.

Ortalama Neden Bazen Yanıltıcı Olabilir?

Çünkü tek bir uç değer ortalamayı kendine doğru çeker. 40.000$ kazanan dokuz kişi ve 1.000.000$ kazanan bir kişinin ortalama geliri 136.000$'dır — bu rakam odadaki hiç kimseyi tanımlamaz. 40.000$ olan medyan ise on kişiden dokuzunu tanımlar. Bir dağılımın uzun bir kuyruğu olduğunda, ortalamanın yanında mutlaka medyanı da rapor edin; yukarıdaki hesaplayıcı aynı girdiden her ikisini de sunduğu için bu karşılaştırma zahmetsizdir.

Ortalama Ne Zaman Kullanılır

Veri setinin dağılımı simetrik olduğunda ve içinde aykırı (çok uç) değerler bulunmadığında (ya da bu aykırı değerler veri temizleme işlemiyle çıkarıldığında), aritmetik ortalama veri setini tanımlamak için kullanılabilecek en ideal ve uygun merkezi eğilim ölçüsüdür.

Medyan Ne Zaman Kullanılır

Veri seti aşırı uç (aykırı) değerler barındırıyorsa, simetrik bir dağılım göstermiyorsa veya sağa/sola çarpık bir dağılıma sahipse, genel yapıyı temsil etmek için ortalama kullanmak son derece yanıltıcı olabilir. Aykırı değerler, bir veri setindeki diğer tüm değerlere kıyasla olağandışı derecede küçük veya büyük olan veri noktalarıdır. Eğer bir dizide aykırı değerler varsa, aritmetik ortalama bu uç noktalardan doğrudan ve çok büyük ölçüde etkilenir.

Gelin örneğimizi biraz değiştirerek aykırı değerlerin sistem üzerindeki etkisini yakından görelim.

Örnek

Jasmine'in Uluslararası Çalışmalar dersinden 92 yerine çok daha düşük bir not olan 15 aldığını varsayalım. Bu durumda Jasmine'in geçen dönemki not ortalaması nasıl değişir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	15
Matematik	81

Çözüm

Ortalama puan = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Gördüğünüz gibi yeni not ortalaması 70'e geriledi. Tek bir aykırı değerin sisteme dahil olmasıyla genel aritmetik ortalama 81'den 70'e, yani tam 11 puan birden düşmüş oldu.

İşte bu gibi aşırı dengesiz dağılımın ve aykırı değerlerin bulunduğu durumlarda, veri setinin ortancası (medyan), aritmetik ortalamaya (mean) kıyasla çok daha dirençli ve uygun bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Aradaki bu davranış farkını daha net görebilmek adına, orijinal veri seti ile değiştirilmiş veri seti için medyan değerlerini ayrı ayrı hesaplayalım.

Örnek

Aşağıdaki tablo, Jasmine'in geçen dönem yedi dersten aldığı orijinal (ilk) notları göstermektedir. Bu veri setine göre Jasmine'in ders notlarının medyanı (ortancası) nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	92
Matematik	81

Çözüm

İlk adım olarak, tüm notları bir dizi halinde sıralamalıyız. Tercihinize bağlı olarak dizilimi artan veya azalan sırayla yapabilirsiniz. Biz bu örnekte küçükten büyüğe (artan sıraya göre) ilerleyeceğiz:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Medyanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = 4^{üncü}\ öğe$$

Ardından, sıraladığımız dizide 4. elemanın hangisi olduğuna bakarız. Bu değer 84'tür. Buna göre orijinal veri setinin medyan değeri 84'tür. Şimdi de, aykırı uç değer barındıran değiştirilmiş veri setimizin medyanını bulalım.

Örnek

Jasmine'in Uluslararası Çalışmalar dersinden 92 yerine 15 aldığını varsayalım. Bu yeni senaryoda, geçen dönem aldığı derslerin medyan puanı (ortancası) nedir?

Ders	Puan
Yönetim	84
İletişim	90
Muhasebe	75
Ekonomi	60
İşletme İstatistikleri	85
Uluslararası Çalışmalar	15
Matematik	81

Çözüm

Yine ilk adım olarak tüm notları baştan bir dizi halinde organize etmeliyiz. Verilerimizi artan sıraya göre (küçükten büyüğe doğru) yeniden dizelim:

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$Medyanın\ pozisyonu = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{inci}\ öğe = 4^{üncü}\ öğe$$

Formüle göre yine veri setimizin 4. elemanını kontrol ederiz. Bu kez merkeze düşen değer 81'dir. Sisteme 15 gibi çok ciddi bir aykırı (düşük) değer girmiş olmasına rağmen, medyan değeri yalnızca küçük bir kayma yaşamış (84'ten 81'e inmiş) fakat aritmetik ortalama gibi çökmemiştir (81'den 70'e düşüş). Bu istatistiksel durum, aykırı değerlerin söz konusu olduğu analizlerde medyanın ne kadar güvenilir ve sistemi temsil yeteneği yüksek bir ölçüt olduğunu açıkça kanıtlamaktadır.