Standart Sapma Hesaplayıcı

Standart sapma hesaplayıcı, belirli bir veri setinin standart sapmasını hızlı ve hatasız bir şekilde bulmanızı sağlar. Bu araç sadece standart sapmayı değil; aynı zamanda ortalama, varyans, hata payı ve frekans dağılımı gibi önemli istatistiksel metrikleri de sunar. Üstelik farklı güven seviyeleri için veri setinizin güven aralığını da kolayca hesaplayabilirsiniz.

Hesaplayıcıyı kullanmak oldukça basittir: Sayılarınızı aralarına virgül koyarak ilgili alana girin. Verilerinizin bir "popülasyonu" (ana kütle) mu yoksa "örneklemi" mi temsil ettiğini seçtikten sonra "Hesapla" butonuna tıklamanız yeterlidir.

Standart Sapma

Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamaya göre ne kadar yayıldığını veya değişkenlik gösterdiğini ifade eden temel bir istatistiksel ölçüdür. Kısacası, veri noktalarının ortalamadan ne kadar saptığını gösterir. Standart sapma değeri ne kadar küçükse, veriler ortalamaya o o kadar yakın (tutarlı) demektir. Aksine, standart sapma yüksek çıktığında verilerin ortalamadan uzaklaştığı ve geniş bir alana yayıldığı anlaşılır. Matematiksel olarak standart sapma, bir diğer önemli dağılım ölçüsü olan "varyans"ın kareköküne eşittir.

Standart sapma hesaplaması, eldeki verinin niteliğine göre değişir. Eğer veri seti, incelenen konudaki tüm elemanları kapsıyorsa buna popülasyon (ana kütle) standart sapması denir. Ancak veriler, büyük bir popülasyondan seçilmiş daha küçük bir grubu temsil ediyorsa, bu durumda örneklem standart sapması hesaplanır.

Popülasyon Standart Sapması

Eldeki veri seti, incelenen popülasyonun (ana kütlenin) tamamını kapsadığında popülasyon standart sapması hesaplanır. Yani bu durum, gözlem yapmak istediğimiz tüm elemanların veri setine dâhil olduğu anlamına gelir. Popülasyon standart sapması istatistikte σ sembolü ile gösterilir.

σ, Yunan alfabesindeki Sigma harfinin küçük yazılışıdır. Popülasyon standart sapmasını bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Burada:

• Σ, matematikte sayıların toplamını ifade etmek için kullanılan büyük Sigma harfini;
• xᵢ, veri setindeki her bir gözlemi (ilk veri noktasından N'inci son veri noktasına kadar);
• μ, popülasyon ortalamasını;
• n, popülasyonun toplam büyüklüğünü (eleman sayısını) temsil eder.

Genel popülasyonun standart sapmasını hesaplama örneği

Aşağıdaki örnek, popülasyon verileri üzerinden standart sapmanın nasıl bulunacağını adım adım göstermektedir.

Yatırımcılar, diğer varlık sınıflarına kıyasla yüksek dalgalanma (volatilite) göstermeleri nedeniyle hisse senetlerini genellikle riskli yatırımlar olarak görürler. Bir portföy yöneticisi, geçtiğimiz ay işlem gören bazı hisse senetlerinin volatilitesini analiz etmek istiyor. Yöneticinin kuralı şudur: Standart sapması ortalamasına eşit veya ortalamasından büyük olan hisseleri "çok riskli" olarak değerlendirecek ve müşterilerine önermeyecektir.

Aşağıda, incelenen hisse senedinin geçen aya ait tüm günlük kapanış fiyatları (USD cinsinden) verilmiştir. Standart sapmayı hesaplayarak yöneticinin bu hisseyi "çok riskli" bulup bulmayacağına karar verelim:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Yöneticinin yalnızca geçen ayın fiyatlarıyla ilgilendiğine ve yukarıdaki listenin geçen ayın tüm işlem günlerini kapsadığına dikkat edin. Bu nedenle elimizdeki veri seti bir "popülasyon" oluşturmaktadır. Dolayısıyla hesaplama için popülasyon standart sapması formülünü kullanacağız.

Standart sapmayı bulmak için öncelikle ortalamayı (μ) hesaplamamız gerekir. Ortalama, tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Ardından, her bir kapanış fiyatından ortalamayı çıkarıp elde edilen farkın karesini alırız. Çıkan tüm sonuçları toplayıp toplam veri sayısına böldüğümüzde varyans (σ²) değerine ulaşırız.

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Son olarak, varyansın karekökünü alarak standart sapmayı buluruz.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Sonuçlardan da görüleceği üzere, bu hisse senedinin geçen ayki fiyat dalgalanmalarının standart sapması (0,21), fiyat ortalamasından (1,097) oldukça düşüktür. Bu veriler ışığında yönetici, bu hisse senedini "çok riskli" kategorisine dâhil etmeyecektir.

Örneklem Standart Sapması

İncelenen veri seti, büyük bir popülasyondan seçilmiş daha küçük bir grubu temsil ediyorsa örneklem standart sapması hesaplanır. Bu senaryoda elimizdeki veriler, ilgilenilen tüm gözlemlerin (ana kütlenin) sadece bir kısmından oluşur. Örneklem standart sapması istatistikte s harfi ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Burada:

• Σ, toplam sembolünü;
• xᵢ, örneklemdeki her bir veri noktasını;
• x̄, örneklem ortalamasını;
• n, örneklem büyüklüğünü (eleman sayısını) ifade eder.

Örneklem verilerinin standart sapmasını anlamak için bir önceki hisse senedi örneğimiz üzerinden ilerleyelim. Ancak bu kez, portföy yöneticisinin geçen aya ait tüm işlem günlerinin fiyatlarına erişimi olmadığını varsayalım. Elinde sadece, geçen ay rastgele seçilmiş 5 güne ait kapanış fiyatları bulunsun. Bu durumda yönetici, hisse senedi kapanış fiyatlarının genel standart sapmasını mevcut "örneklem" verilerini kullanarak tahmin edecektir.

Diyelim ki elindeki 5 günlük kapanış fiyatları şunlardır:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Yöneticinin asıl ilgilendiği konu hisse senedinin geçen ayki genel fiyatları olmasına rağmen, elinde ayın tamamı değil sadece 5 günlük küçük bir alt küme (örneklem) bulunmaktadır. Bu nedenle hesaplamayı örneklem standart sapması formülüne göre yapacağız.

İlk olarak örneklemin ortalamasını bulalım:

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Daha sonra örneklem varyansını (s²) hesaplıyoruz. (Örneklem varyansında paydaya veri sayısının 1 eksiği olan n-1 yazıldığına dikkat edin).

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Son adımda, varyansın karekökünü alarak örneklem standart sapmasına ulaşırız:

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Hata Payı (Hata Marjı)

Standart sapmanın en önemli kullanım alanlarından biri, veriler için "kabul edilebilir" veya "beklenen" değerler aralığını hesaplamaktır. Bu kavram, endüstriyel kalite güvencesi süreçlerinde ve kestirimsel (tahmine dayalı) istatistiksel analizlerde kritik bir rol oynar. İncelenen temel veriler normal bir dağılım izlediğinde, oluşan bu aralığa güven aralığı adı verilir (detaylar için bir sonraki bölüme bakabilirsiniz). Güven aralıkları genellikle farklı güven seviyelerine (yüzdelere) göre belirlenir.

Hata payı (veya hata marjı), bu güven aralığının genişliğini belirleyen temel bileşendir. Kısacası hata payı, ölçülen değerin kabul edilebilir maksimum ve minimum sınırlarını çizer.

Hata payı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$Hata\ marjı = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Bu formülü, popülasyon standart sapması σ bilindiğinde ve örneklem hacmi yeterince büyük olduğunda (genellikle n>30) kullanırız.

Popülasyon standart sapmasının bilinmediği ve örneklem hacminin küçük olduğu (genellikle n≤30) durumlarda ise aşağıdaki formül tercih edilir:

$$Hata\ marjı = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Bu formülde, popülasyon standart sapması σ elimizde olmadığı için onun yerine örneklem standart sapması s kullanılır.

Formüllerde yer alan \$z_{\alpha/2}\$ ve \$t_{n-1, \alpha/2}\$ değerleri sırasıyla z-istatistiği ve t-istatistiği kullanılarak belirlenir ve bunlara kritik değer denir. Bu değerler, seçilen güven seviyesiyle ilişkili sabitlerdir.

İstatistiksel analizlerde en sık kullanılan güven aralıkları %90, %95 ve %99'dur. Bu seviyelere karşılık gelen \$z_{\alpha/2}\$ kritik değerleri ise sırasıyla 1,645 (%90 için), 1,96 (%95 için) ve 2,575 (%99 için) olarak kabul edilir.

Denklemlerdeki \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ veya \$\frac{s}{\sqrt n}\$ bölümüne ise standart hata adı verilir.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$, popülasyon standart sapması σ bilindiğinde ve yeterince büyük bir örnekleme sahip olduğumuzda (genellikle n>30) kullanılır.
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$, popülasyon standart sapmasının bilinmediği ve örneklemimizin küçük olduğu durumlar (genellikle n≤30) içindir. Bu senaryoda ana kütlenin standart sapması σ yerine, elimizdeki örneklemin standart sapması s kullanılmalıdır.

Güven Aralığı

Yukarıda da değinildiği gibi güven aralığı, incelenen bir istatistiksel değerin belirli bir güven seviyesinde içinde bulunması beklenen değerler aralığıdır.

Örnek vermek gerekirse; "13 yaşındaki kız çocuklarının boy uzunluklarının %90 güven seviyesinde 59 inç ile 66 inç arasında olduğunu" söyleyebiliriz. Bu ifadenin anlamı şudur: Rastgele bir grup 13 yaşındaki kız çocuğu seçersek, yaklaşık olarak %90 ihtimalle boyları bu iki değer (59-66 inç) arasında olacaktır.

Güven aralığı aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ örneklem ortalamasını,
• \$z_{\alpha/2}\$ kritik değeri,
• σ popülasyon standart sapmasını,
• n gözlem sayısını (örneklem hacmini) ifade eder.

Eğer popülasyon standart sapması σ bilinmiyorsa ve bunun yerine örneklem standart sapması s kullanılacaksa, formül şu şekilde değişir:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ örneklem ortalamasını,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ kritik değeri,
• s örneklem standart sapmasını,
• n gözlem sayısını (örneklem hacmini) ifade eder.

Önceki bölümden de hatırlayacağınız üzere; formüllerdeki \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ ve \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ kısımları doğrudan hata payını temsil etmektedir.

Güven aralığının hesaplanması örneği

İncelediğimiz günlük hisse senedi fiyatlarının normal bir dağılım izlediğini (çan eğrisi oluşturduğunu) varsayalım. Elimizde hisse senedi fiyatlarına ait şöyle bir örneklem var:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Hisse senedi fiyatlarının %95 güven seviyesinde hangi aralıkta dalgalanacağını hesaplamak istiyoruz.

Elimizdeki veri seti küçük bir örneklem olduğu ve popülasyon standart sapmasını bilmediğimiz için, hesaplamada örneklem standart sapmasını ve t-dağılımını kullanan şu formülü uygulayacağız:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ (Örneklem ortalaması): 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ (Kritik değer): \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (Belirli bir örneklem büyüklüğü ve güven seviyesi için genellikle istatistiksel z-tablosu veya t-tablosundan elde edilen değer)
• s (Örneklem standart sapması): 0,23
• n (Gözlem sayısı): 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ (Standart hata): \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Elde ettiğimiz bu sayıları formüldeki yerlerine koyalım:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Hesaplamaları yaptığımızda sınırları şu şekilde buluruz:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Sonuç olarak; ortalama hisse senedi fiyatının güven aralığının (0,94, 1,26) bandında yer alacağından %95 oranında eminiz.