Varyans Hesaplayıcı

Varyansın değişkenlik ölçüsü olarak kullanımı

Verilen bir veri setinin istatistiksel çıkarımında, verilerin ortalamadan olan değişkenliğini karakterize eden bir metriği ölçmek temel bir yönüdür. Değişkenliği ölçen en popüler metrikler şunlardır:

• Varyans, ortalamadan olan karesel sapmaların ortalamasıdır.
• Standart sapma - varyansın kareköküdür. Standart sapma, dağılım/değişkenliği ölçmek için yaygın olarak kullanılan bir metriktir.
• Değişim katsayısı, aynı zamanda göreceli standart sapma olarak da bilinir. Değişim katsayısı, standart sapmanın σ ortalamaya μ oranı olarak hesaplanır ya da \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Bu hesaplayıcı, verilen bir veri setinin varyansını bulur ve hesaplama adımlarını gösterir.

Bu hesaplayıcıyı kullanma kuralları

Varyans hesaplayıcı, bir ayırıcı ile ayrılmış sayıların bir listesi olarak girişi kabul eder. Aşağıdaki tabloda olası girişin birkaç örneği gösterilmiştir.

satır girişi	sütun girişi	sütun girişi	sütun girişi
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Sayılar, bir virgül, boşluk, satır sonu veya birden fazla türde ayırıcı karışımı ile ayrılabilir. Hem satır hem de sütun formatını kullanabilirsiniz. Yukarıdaki tabloda gösterilen tüm formatlar için hesaplayıcı girişi 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 ve 89 olarak işler.

Verileri girdikten sonra, bunların örnek veri mi yoksa popülasyon verisi mi olduğunu seçebilirsiniz. Hesapla butonuna bastığınızda, hesaplayıcı veri setinin beş istatistik parametresini gösterir: gözlem sayısı (sayım), ortalama, karesel sapmalar toplamı, varyans ve standart sapma.

Hesaplayıcı, bir veri setinin varyansını hesaplamak üzere tasarlanmıştır. Ayrıca, hesaplamanın ardındaki teoriye bir bakış sağlar ve tüm adımları gösterir.

Çıkarımlar yaparken, iyi istatistikler elde etmek için genellikle büyük veri setlerinin kullanılması tercih edilir. Ancak tüm mümkün gözlemleri temsil eden popülasyon verilerini elde etmek sıklıkla zordur. Bu nedenle, genel bir kural olarak, popülasyondan bir "örnek" alınır. Ve popülasyon hakkındaki sonuçlar genellikle örnek verilerden çıkarılır.

Varyans, bir veri setinin ortalama ile ilişkili ortalama dağılımını ölçer. Genellikle popülasyon için σ² ile ve örnek için s² ile gösterilir. σ² veya s² değerinin büyük olması, veri noktalarının örnek ortalamasından daha büyük bir dağılımını ve tersi anlamına gelir.

Aşağıdaki örnek veri setlerini göz önünde bulundurun.

(Set I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Set II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Set I'i varyans hesaplayıcıya girildiğinde şu sonuçlar elde edilir:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

örnek için, ve

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

popülasyon için.

Benzer şekilde, Set II'yi hesaplayıcıya girildiğinde:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

örnek için, ve

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

popülasyon için elde edilir.

• Set I'de, sayılar örnek ortalamadan önemli ölçüde sapmıştır:

s²=70,4

σ²=64

• Set II'de değişkenlik küçüktür:

s²=5,6

σ²=5,09

Varyans formülü: Popülasyon varyansı ve örneklem varyansı

Popülasyon varyansı

İstatistikte popülasyon, bir deneydeki tüm olası gözlemleri ifade eder. N gözlem için, popülasyon varyansı şu şekilde hesaplanır:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}{{(x_i-\mu)}^2}}{N}$$

burada

• σ² popülasyon varyansıdır,
• Σ toplam sembolüdür,
• xᵢ her bir gözlemdir,
• μ popülasyon ortalamasıdır,
• N popülasyondaki gözlem sayısıdır.

Örneklem varyansı

Örneklem varyansı şu şekilde tanımlanır:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}{{(x_i-\bar{x})}^2}}{n-1}$$

burada

• s² örneklem varyansıdır,
• Σ toplam sembolüdür,
• xᵢ her bir gözlemdir,
• x̄ örneklem ortalamasıdır,
• n örneklemindeki gözlem sayısıdır.

Varyans hesaplama adımları

Varyans hesaplamasında aşağıdaki adımlar izlenir.

Adım 1: Örneklem/popülasyon ortalamasını hesaplayın. Bu, tüm veri noktalarının toplamının veri noktalarının sayısına (örnek için n ve popülasyon için N) bölünmesidir, yani,

Örneklem ortalaması:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Popülasyon ortalaması:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Adım 2: Her bir veri noktasından örneklem/popülasyon ortalamasını çıkararak sapmaları hesaplayın, yani,

Örneklem sapmaları:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Popülasyon sapmaları:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Adım 3: Her veri noktası için kare sapmaları hesaplayın.

Örneklem kare sapmalar:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Popülasyon kare sapmalar:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Adım 4: Kare sapmaların toplamını hesaplayın.

Örneklem kare sapmalar toplamı:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Popülasyon kare sapmalar toplamı:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Adım 5: Varyansı hesaplamak için kare sapmaların toplamını örnek için n-1 ve popülasyon için N ile bölin.

Örneklem varyansı:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Popülasyon varyansı:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Bir Örneklemin Varyans Hesaplaması Örneği

Aşağıdaki veri setini ele alalım: 1, 2, 4, 5, 6 ve 12. Örneklem varyansını hesaplamak için şu adımları izleriz:

Adım 1: Örneklem ortalamasını (ortalama) hesaplayın.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Adım 2: Her veri noktası için ortalama değerden sapmaları hesaplayın.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Adım 3: Sapmaların karelerini hesaplayın.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Adım 4: Kare sapmaların toplamını hesaplayın.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Adım 5: Serbestlik derecesine (n-1) bölerek kare sapmalar toplamını örneklem varyansını hesaplayın.

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Bir popülasyon için, popülasyon varyansını hesaplamak üzere n-1 yerine n (veri noktalarının toplam sayısı) ile bölerdik.

Varyansın Önemi

Dağılım, yatırımda kullanılır. Varlık yöneticilerinin yatırımlarının performansını artırmalarına yardımcı olur. Finans analistleri, bir yatırım portföyünün bileşenlerinin bireysel performansını değerlendirmek için varyansı kullanabilir.

Yatırımcılar, bir yatırımın riskine değip değmeyeceğine karar vermek için yeni bir satın alma işlemi düşünürken varyansı hesaplarlar. Dağılım, analistlerin varyans ve standart sapma olmadan nicel bir şekilde ölçülmesi zor olan bir belirsizlik ölçüsünü belirlemelerine yardımcı olur.

Belirsizlik doğrudan ölçülemez. Ancak varyans ve standart sapma (varyansın karekökü), özellikle bir hisse senedinin bir portföy üzerindeki algılanan etkisini belirlemeye yardımcı olabilir.

Bilim insanları, istatistikçiler, matematikçiler ve veri analistleri de varyansı kullanabilir. Bu, bir deney veya örneklem popülasyonu hakkında faydalı bilgiler sağlamada yardımcı olur.

Bilim insanları, bir hipotezi başarıyla test etmek için yeterince benzer olup olmadıklarını belirlemek için test grupları arasındaki farkları arayabilirler. Veri setinin varyansı ne kadar yüksek olursa, veri setindeki değerler o kadar dağınık olur. Veri araştırmacıları, ortalamaların veri setini ne kadar iyi temsil ettiğini görmek için bu bilgiyi kullanabilirler.

Varyans kullanmanın dezavantajı, bir setteki büyük aykırı değerlerin verilerin bazı çarpıtmalara neden olabilmesidir. Bu, aykırı değerlerin karesi alındığında ağırlıklarının daha da artabileceği anlamına gelir.

Birçok araştırmacı, varyansın karekökü olarak hesaplanan ve aykırı değerlerden daha az etkilenen, daha küçük bir sayı olan ve yorumlanması daha kolay olan standart sapmayla çalışmayı tercih eder.