Калькулятор теореми Піфагора

Наш онлайн-калькулятор теореми Піфагора допоможе швидко та легко знайти довжину невідомої сторони прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші. Всі розрахунки базуються на класичній формулі Піфагора, що гарантує абсолютну точність результатів.

Як користуватися калькулятором

Введіть значення двох відомих сторін у відповідні поля та натисніть «Обчислити». Наш онлайн-калькулятор для прямокутних трикутників миттєво виконає розрахунок і видасть такі дані:

• Довжину третьої сторони (гіпотенузи або катета).
• Значення гострих кутів (відмінних від 90°) у градусах та радіанах.
• Площу трикутника.
• Периметр трикутника.
• Довжину висоти, проведеної до гіпотенузи.

Крім того, інструмент генерує детальне покрокове розв'язання. Щоб переглянути його, просто натисніть «+ Показати кроки обчислення» ("+ Show Calculation Steps").

Для максимальної зручності поля введення підтримують як цілі числа, так і значення під знаком квадратного кореня. Це дозволяє легко вводити точні математичні вирази, наприклад: 2√3, √3 тощо.

Важливе правило: довжина кожного з катетів (a та b) завжди має бути меншою за довжину гіпотенузи (c).

Теорема Піфагора

Класична теорема Піфагора стверджує: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (найдовшої сторони) дорівнює сумі квадратів катетів (двох інших сторін).

Формула Піфагора записується так:

a² + b² = c²,

де a та b — довжини катетів (коротших сторін прямокутного трикутника), а c — довжина гіпотенузи. Усно це математичне рівняння зазвичай читається так: a в квадраті плюс b в квадраті дорівнює c в квадраті.

Доведення теореми Піфагора

Довести теорему Піфагора можна наочно — шляхом порівняння площ певних геометричних фігур.

На схемі вище зображено великий квадрат зі стороною (a + b). Усередині нього розташований менший квадрат зі стороною c, який оточений чотирма однаковими прямокутними трикутниками зі сторін a, b і c. Знайдемо загальну площу великого квадрата двома різними способами:

1. Площу великого квадрата зі стороною (a + b) можна обчислити за формулою:

A = (a + b)²

2. З іншого боку, цю ж площу можна отримати, додавши площі внутрішніх фігур: площу меншого квадрата зі стороною c та площі чотирьох прямокутних трикутників. Площа внутрішнього квадрата дорівнює c². Площа одного прямокутного трикутника становить (ab)/2. Отже:

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Оскільки обидва вирази описують площу однієї і тієї ж фігури, ми можемо їх прирівняти:

(a + b)² = c² + 2ab

Розкривши квадрат суми в лівій частині рівняння, отримаємо:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Віднявши 2ab від обох частин рівняння, приходимо до фінального результату:

a² + b² = c²

Це і є математичним доведенням теореми Піфагора.

Формули та алгоритми обчислення

Як знайти сторони прямокутного трикутника

Якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, третю можна легко знайти за допомогою теореми Піфагора. Наприклад, якщо задано катети a та b, довжина гіпотенузи c розраховується так:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Аналогічно, щоб знайти невідомий катет, використовують формули:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

та

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Як знайти кути прямокутного трикутника

Якщо відомі всі три сторони прямокутного трикутника, його гострі кути можна обчислити за допомогою обернених тригонометричних функцій:

• ∠α = arcsin(a/c) або ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) або ∠β = arccos(a/c)

Тут ∠α — кут, протилежний катету «a», ∠β — кут, протилежний катету «b», а «c» — гіпотенуза. Вибір між арксинусом (arcsin) та арккосинусом (arccos) залежить від того, який катет використовується відносно шуканого кута. Функція arcsin працює з протилежним катетом, тоді як arccos — з прилеглим. Обидва методи абсолютно правильні і дозволяють отримати точні значення кутів для будь-якого прямокутного трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Периметр прямокутного трикутника

Периметр прямокутного трикутника визначається як загальна сума довжин усіх його сторін:

P = a + b + c

Висота, проведена до гіпотенузи

Маючи довжини всіх трьох сторін, висоту, опущену на гіпотенузу (h), можна розрахувати за такою формулою:

h = (a × b)/c

Застосування теореми Піфагора в реальному житті

Формула Піфагора широко застосовується в архітектурі, інженерії та будівництві для розрахунку точних розмірів деталей і перевірки ідеально прямих кутів конструкцій. Розглянемо практичний приклад використання цієї математичної теореми в побуті.

Практична задача: Розміщення габаритних предметів

Уявіть, що під час переїзду ви орендували вантажівку з кузовом довжиною 4 метри та висотою 3 метри. У вас є жорстка драбина довжиною 4,5 метра. Чи поміститься ваша драбина всередині вантажівки?

Розв'язання

Оскільки довжина драбини (4,5 м) більша за довжину кузова вантажівки (4 м), єдиний спосіб розмістити її всередині — по діагоналі. Щоб перевірити, чи це можливо, застосуємо теорему Піфагора. Нам потрібно знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, катетами якого є довжина та висота кузова. Отже, маємо a = 4, b = 3, і шукаємо гіпотенузу c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 4 і 3 дорівнює 5. Це означає, що максимальна довжина жорсткого предмета, який можна розмістити по діагоналі у вантажівці, становить рівно 5 метрів. Оскільки ваша драбина має довжину 4,5 метра, вона без проблем туди поміститься!

Відповідь

Так, драбина легко поміститься.

Додаткові обчислення

Наш онлайн-калькулятор гіпотенузи та катетів також визначає інші важливі геометричні параметри заданого прямокутного трикутника. Погляньмо на розширені результати для нашої "трикутника-вантажівки" зі сторонами a = 4, b = 3 та гіпотенузою c = 5.

Площа трикутника:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Периметр трикутника:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Висота, проведена до гіпотенузи:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Кут, протилежний до сторони a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 рад

Кут, протилежний до сторони b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 рад