Sandsynlighedsberegner

Beregner til sandsynlighed for to hændelser

Når du kender sandsynlighederne for to uafhængige hændelser, kan du bruge beregneren til sandsynlighed for to hændelser til at bestemme sandsynligheden for, at de indtræffer sammen. Indtast blot sandsynlighederne for dine to uafhængige hændelser (sandsynlighed for A og sandsynlighed for B) i værktøjet. Beregneren genererer øjeblikkeligt foreningen, fællesmængden og andre relaterede sandsynligheder, komplet med visuelle Venn-diagrammer for at hjælpe dig med at forstå resultaterne.

Sandsynlighedsløser til to hændelser

Sandsynlighedsløseren til to hændelser giver dig mulighed for at beregne forskellige sandsynligheder for to uafhængige hændelser, så længe du har to vilkårlige inputværdier. Dette er utrolig nyttigt, når de indledende sandsynligheder for en eller begge hændelser er ukendte. Værktøjet giver ikke kun det endelige svar, men viser også de komplette trin-for-trin beregninger til din reference.

Sandsynlighed for en række uafhængige hændelser

Du kan bruge beregneren til sandsynligheden for en række uafhængige hændelser til at evaluere eksperimenter, hvor uafhængige hændelser sker den ene efter den anden. For at finde sandsynligheden for disse på hinanden følgende forekomster, skal du blot indtaste de krævede sandsynligheder og angive antallet af gange, hændelsen finder sted.

Sandsynlighed for en normalfordeling

Vores beregner til normalfordelingssandsynlighed er et fremragende værktøj til at bestemme sandsynligheden under en normalkurve. Indtast blot middelværdien μ, standardafvigelsen σ og dine ønskede grænser. Denne sandsynlighedsberegner vil hurtigt beregne sandsynligheden for de angivne grænser og levere konfidensintervaller på tværs af en række konfidensniveauer.

Introduktion til sandsynlighedsregning

Sandsynlighed er den statistiske chance for, at en bestemt hændelse vil indtræffe. Når en hændelse er helt sikker på at ske, er dens sandsynlighed 1. Omvendt, når en hændelse er umulig, er dens sandsynlighed 0. Følgelig falder enhver given hændelses sandsynlighed altid mellem 0 og 1. Brugen af en dedikeret sandsynlighedsberegner gør evalueringen af disse chancer utrolig enkel og præcis.

Regler for hændelsesoperationer

I statistik betegnes enhver specifik gruppering af et eksperiments udfald som en hændelse. Grundlæggende er en hændelse enhver delmængde af et udfaldsrum. Kerneoperationerne, der bruges til at analysere disse hændelser, er komplementær, fællesmængde og foreningsmængde. Lad os udforske hver af disse regler ved hjælp af et praktisk eksempel.

Eksempel

Antag, at dit universitet har forskellige institutter, herunder et erhvervsøkonomisk fakultet. Internationale studerende er også indskrevet på universitetet. Som en del af et projekt skal du gennemføre interviews med studerende, og du beslutter dig for at starte med den første person, der går gennem porten. Du er opmærksom på følgende sandsynligheder:

A = Den første studerende er fra det erhvervsøkonomiske fakultet.

B = Den første studerende er en international studerende.

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

Komplementærhændelse

En komplementærhændelse omfatter alle udfald i et udfaldsrum, der ikke er en del af den specifikke hændelse.

For eksempel betyder komplementærmængden af hændelse A, at den først valgte studerende er fra et andet institut end det erhvervsøkonomiske fakultet. Dette kan angives som \$A\prime\$ eller Aᶜ.

Lad os visualisere komplementærhændelsen til A ved hjælp af et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor repræsenterer det farvede område komplementærhændelsen til A.

Rektanglets samlede areal repræsenterer den overordnede sandsynlighed for udfaldsrummet, som er præcis 1. Området uden for cirkel A illustrerer sandsynligheden for komplementærhændelsen til A. Denne visuelle repræsentation giver os mulighed for at fastslå følgende sammenhæng:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Derfor,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Lad os nu beregne de tilsvarende sandsynligheder.

Sandsynligheden for, at den første studerende valgt til interviewet ikke er fra det erhvervsøkonomiske fakultet er:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

Sandsynligheden for, at den første valgte studerende ikke er en international studerende er:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

Fællesmængde af hændelser

Fællesmængden af to hændelser, A og B, består af sættet af alle fælles elementer, der deles af begge hændelser. Ordet "OG" bruges ofte til at indikere denne fællesmængde.

I vores eksempel betyder fællesmængden af hændelse A og hændelse B, at man vælger en studerende, der er international studerende OG tilhører det erhvervsøkonomiske fakultet. Dette angives matematisk som følger:

$$A\cap B$$

Lad os se på fællesmængden af hændelserne A og B gennem et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor fremhæver det skyggelagte område fællesmængden af hændelserne A og B.

Lad os nu introducere hændelse C: at vælge en lokal studerende til interviewet. Vi kan vise hændelserne A og C i et nyt Venn-diagram.

Da en studerende ikke kan være både lokal og international på samme tid, udelukker valget af en international studerende i sagens natur muligheden for at vælge en lokal studerende. Fordi de ikke kan forekomme samtidigt, betragtes hændelserne A og C som gensidigt udelukkende (disjunkte).

Gensidigt udelukkende hændelser deler ingen fælles elementer. Som følge heraf er deres fællesmængde tom:

$$A\cap C=φ$$

Du kan beregne sandsynligheden for en fællesmængde ved hjælp af et par forskellige metoder afhængigt af de kendte variabler. Fællesmængden for hændelserne A og B kan skrives med disse formler:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Uafhængige hændelser

Uafhængige hændelser er hændelser, hvis udfald ikke påvirker hinanden. For at vende tilbage til vores eksempel, har valget af en studerende fra det erhvervsøkonomiske fakultet ingen effekt på, om den studerende er international eller lokal. Derfor er hændelse A og hændelse B uafhængige hændelser.

Når hændelser er fuldstændig uafhængige, afhænger sandsynligheden for, at den ene sker, ikke af forekomsten af den anden. Dermed udtrykkes den matematiske sammenhæng som:

$$P(B/A)=B\ and\ P(A/B)=A$$

Du kan indsætte disse i vores tidligere ligninger for at gøre det lettere at finde sandsynligheden for fællesmængden af uafhængige hændelser:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Dette betyder, at du nemt kan finde fællesmængden af to uafhængige hændelser blot ved at gange deres individuelle sandsynligheder:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Givet at hændelserne A og B er uafhængige, lad os bestemme sandsynligheden for, at den første studerende valgt til interviewet vil være både fra det erhvervsøkonomiske fakultet og en international studerende:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

Foreningsmængde af hændelser

Foreningsmængden af to hændelser resulterer i en bredere hændelse, der indeholder alle elementer fra den ene eller begge af de oprindelige hændelser. Ordet "ELLER" bruges almindeligvis til at beskrive denne type relation.

I vores gennemgående eksempel betyder foreningsmængden af hændelserne A og B, at man vælger en studerende, der enten er international ELLER fra det erhvervsøkonomiske fakultet (eller begge). Dette betegnes som:

$$A\cup B$$

Lad os visualisere foreningsmængden af hændelserne A og B med et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor repræsenterer hele det farvede område foreningsmængden af hændelserne A og B.

For at beregne sandsynligheden for, at hændelse A eller hændelse B indtræffer, lægger vi sandsynlighederne for begge individuelle hændelser sammen og trækker derefter sandsynligheden for deres fællesmængde fra.

Formlen for sandsynligheden for en foreningsmængde mellem hændelserne A og B skrives som følger:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Vi kan også ændre dette for at skabe en specifik formel for foreningsmængden af to uafhængige hændelser. Dette er især nyttigt, når sandsynligheden for fællesmængden er ukendt.

Fordi hændelserne er uafhængige:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Derfor bliver formlen for foreningsmængden:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Lad os beregne sandsynligheden for foreningsmængden af hændelserne A og B. Med andre ord, hvad er chancen for at vælge en studerende, der læser erhvervsøkonomi, er international studerende, eller begge dele på samme tid?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

Takket være vores beregner til sandsynlighed for to hændelser og sandsynlighedsløser til to hændelser, kan du udføre alle disse beregninger øjeblikkeligt. Disse værktøjer er perfekte til at verificere manuelle beregninger, da de viser omfattende trin-for-trin udregninger ved siden af de endelige svar.

Normalfordeling

En normalfordeling er en symmetrisk, klokkeformet kurve. I en perfekt normalfordeling er middelværdien, medianen og typetallet alle identiske. Nøjagtig 50 % af dataene falder over middelværdien, og de andre 50 % falder under den. Efterhånden som kurven strækker sig væk fra middelværdien i begge retninger, nærmer den sig – men berører aldrig rent faktisk – X-aksen. Det samlede areal under denne kurve er altid lig med 1.

Hvis en stokastisk variabel X følger en normalfordeling med parametrene μ (middelværdi) og σ² (varians), skrives det som X ~ N(μ, σ²).

Sandsynlighed for en normalfordeling

Tæthedsfunktionen for en normalfordeling udtrykkes som:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

I denne funktion:

• μ er fordelingens middelværdi;
• σ² er fordelingens varians;
• π er cirka 3,14;
• e er cirka 2,7182.

Fordi der er et uendeligt antal normalkurver, er det umuligt at oprette en enkelt sandsynlighedstabel for hver mulig kombination af middelværdier og standardafvigelser. For at løse dette bruger statistikere standardnormalfordelingen. Dette er et særligt tilfælde af normalfordelingen, hvor middelværdien er 0, og standardafvigelsen er 1.

For at beregne sandsynligheden for en normalfordeling manuelt, skal du først transformere din specifikke fordeling til en standardnormalfordeling ved hjælp af en z-score (standardiseret variabel). Når den er konverteret, kan du bruge en z-tabel til at finde sandsynligheden. Alternativt fungerer vores sandsynlighedsberegner for normalfordeling problemfrit som en standard normal sandsynlighedsberegner, der øjeblikkeligt beregner sandsynligheder og konfidensintervaller uden manuelle tabelopslag.

Formlen for z-scoren er:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Standardnormalfordelingskurven er et stærkt værktøj til at løse statistiske problemer fra den virkelige verden. Den bruges specifikt til at bestemme sandsynligheden for kontinuerte variabler. En kontinuert variabel kan antage et uendeligt antal værdier, inklusive decimaler – såsom højde, vægt og temperatur.

Lad os se på et praktisk eksempel for at forstå, hvordan man finder sandsynligheden inden for en normalfordeling.

Eksempel

Antag, at resultaterne fra dit statistikkursus er normalfordelte med en gennemsnitsscore på 65 og en standardafvigelse på 10. Hvis en studerende vælges tilfældigt, skal du bestemme sandsynligheden for følgende scenarier:

• Den studerendes score er lig med eller over 70.
• Den studerendes score er strengt mindre end 70.
• Den studerendes score ligger mellem 50 og 70.

Løsning

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

At beregne sandsynligheden for en normalkurve manuelt indebærer flere komplekse trin og kræver aflæsning af z-tabeller. Heldigvis giver vores beregner til normalfordelingssandsynlighed dig mulighed for at undgå besværet. Indtast blot fire værdier – middelværdien, standardafvigelsen samt venstre og højre grænse – og beregneren vil beregne den præcise sandsynlighed for dig øjeblikkeligt.