Sannsynlighetskalkulator

Kalkulator for sannsynlighet for to hendelser

Når du kjenner sannsynlighetene for to uavhengige hendelser, kan du bruke kalkulatoren for sannsynlighet for to hendelser (Probability of Two Events Calculator) til å bestemme sannsynligheten for at de inntreffer samtidig. Bare skriv inn sannsynlighetene for de to uavhengige hendelsene (sannsynligheten for A og sannsynligheten for B) i verktøyet. Kalkulatoren vil umiddelbart generere unionen, snittet og andre relaterte sannsynligheter, komplett med visuelle Venn-diagrammer for å hjelpe deg med å forstå resultatene.

Sannsynlighetsløser for to hendelser

Sannsynlighetsløseren for to hendelser lar deg beregne ulike sannsynligheter for to uavhengige hendelser, så lenge du har to inndataverdier. Dette er utrolig nyttig når de opprinnelige sannsynlighetene for den ene eller begge hendelsene er ukjente. Ikke bare gir dette verktøyet det endelige svaret, men det viser også de komplette, trinnvise beregningene som referanse.

Sannsynlighet for en rekke uavhengige hendelser

Du kan bruke kalkulatoren for sannsynlighet for en rekke uavhengige hendelser til å evaluere eksperimenter der uavhengige hendelser skjer en etter en. For å finne sannsynligheten for disse påfølgende hendelsene, skriver du bare inn de nødvendige sannsynlighetene og angir antall ganger hendelsen finner sted.

Sannsynlighet i en normalfordeling

Vår kalkulator for normalfordelingssannsynlighet er et utmerket verktøy for å bestemme sannsynligheten under en normalkurve. Bare skriv inn gjennomsnittet μ, standardavviket σ og de ønskede grensene. Denne normalfordelingskalkulatoren vil raskt beregne sannsynligheten for de angitte grensene og gi konfidensintervaller på tvers av en rekke konfidensnivåer.

Introduksjon til sannsynlighet

Sannsynlighet er den statistiske sjansen for at en bestemt hendelse vil inntreffe. Når en hendelse er helt sikker på å skje, er sannsynligheten 1. Omvendt, når en hendelse er umulig, er sannsynligheten 0. Følgelig faller enhver gitt hendelses sannsynlighet alltid mellom 0 og 1. Ved å bruke en dedikert sannsynlighetskalkulator blir evalueringen av disse sjansene utrolig enkel og nøyaktig.

Regler for hendelsesoperasjoner

I statistikk refereres enhver spesifikk gruppering av et eksperiments utfall til som en hendelse. I bunn og grunn er en hendelse hvilken som helst delmengde av et utfallsrom. Kjerneoperasjonene som brukes for å analysere disse hendelsene er komplement, snitt (fellesmengde) og union. La oss utforske hver av disse reglene ved hjelp av et praktisk eksempel.

Eksempel

Anta at skolen din har ulike institutter, inkludert et økonomisk fakultet. Det er også internasjonale studenter registrert ved skolen. Som en del av et prosjekt må du gjennomføre intervjuer med studenter, og du bestemmer deg for å starte med den første personen som går gjennom porten. Du kjenner til følgende sannsynligheter:

A = Den første studenten er fra det økonomiske fakultetet.

B = Den første studenten er en internasjonal student.

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

Komplementet til en hendelse

Komplementet til en hendelse inkluderer alle utfall i et utfallsrom som ikke er en del av den spesifikke hendelsen.

For eksempel betyr komplementet til hendelse A at den første studenten som velges er fra et annet institutt enn det økonomiske fakultetet. Dette kan betegnes med \$A\prime\$ eller Aᶜ.

La oss visualisere komplementet til hendelse A ved hjelp av et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor representerer det fargede området komplementet til hendelse A.

Det totale arealet av rektangelet representerer den samlede sannsynligheten for utfallsrommet, som er nøyaktig 1. Området utenfor sirkel A illustrerer sannsynligheten for komplementet til hendelse A. Denne visuelle representasjonen lar oss etablere følgende forhold:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Derfor,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Nå, la oss beregne de tilsvarende sannsynlighetene.

Sannsynligheten for at den første studenten som velges ut til intervjuet ikke er fra det økonomiske fakultetet er:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

Sannsynligheten for at den første studenten som velges ikke er en internasjonal student er:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

Snittet av hendelser

Snittet (fellesmengden) av to hendelser, A og B, består av settet med alle felles elementer som deles av begge hendelsene. Ordet "OG" brukes ofte for å indikere dette snittet.

I vårt eksempel betyr snittet av hendelse A og hendelse B å velge en student som er en internasjonal student OG tilhører det økonomiske fakultetet. Dette skrives matematisk på følgende måte:

$$A\cap B$$

La oss se på snittet av hendelsene A og B gjennom et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor fremhever det skraverte området snittet av hendelsene A og B.

Nå introduserer vi hendelse C: å velge en lokal student til intervjuet. Vi kan vise hendelsene A og C i et nytt Venn-diagram.

Siden en student ikke kan være både lokal og internasjonal samtidig, utelukker valget av en internasjonal student i seg selv muligheten for å velge en lokal student. Fordi de ikke kan inntreffe på samme tid, regnes hendelsene A og C som gjensidig utelukkende (disjunkte).

Gjensidig utelukkende hendelser deler ingen felles elementer. Som et resultat er snittet av dem tomt:

$$A\cap C=φ$$

Du kan beregne sannsynligheten for et snitt ved å bruke noen forskjellige metoder avhengig av de kjente variablene. Snittet for hendelsene A og B kan skrives ved hjelp av disse formlene:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Uavhengige hendelser

Uavhengige hendelser er hendelser der utfallene ikke påvirker hverandre. Hvis vi går tilbake til eksempelet vårt, har valget av en student fra det økonomiske fakultetet ingen innvirkning på om studenten er internasjonal eller lokal. Derfor er hendelse A og hendelse B uavhengige hendelser.

Når hendelser er fullstendig uavhengige, er sannsynligheten for at den ene inntreffer ikke avhengig av om den andre inntreffer. Dermed uttrykkes det matematiske forholdet som:

$$P(B/A)=B\ og\ P(A/B)=A$$

Du kan sette disse inn i de tidligere ligningene våre for å forenkle det å finne sannsynligheten for at uavhengige hendelser inntreffer samtidig:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Dette betyr at du enkelt kan finne snittet av to uavhengige hendelser ganske enkelt ved å multiplisere deres individuelle sannsynligheter:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Gitt at hendelsene A og B er uavhengige, la oss bestemme sannsynligheten for at den første studenten som velges til intervjuet vil være både fra det økonomiske fakultetet og en internasjonal student:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

Unionen av hendelser

Unionen av to hendelser resulterer i en bredere hendelse som inneholder alle elementer fra enten den ene eller begge de opprinnelige hendelsene. Ordet "ELLER" brukes vanligvis for å beskrive denne typen forhold.

I vårt gjennomgående eksempel betyr unionen av hendelsene A og B å velge en student som enten er internasjonal ELLER fra det økonomiske fakultetet (eller begge deler). Dette betegnes som:

$$A\cup B$$

La oss visualisere unionen av hendelsene A og B med et Venn-diagram.

I Venn-diagrammet ovenfor representerer hele det fargede området unionen av hendelsene A og B.

For å beregne sannsynligheten for at hendelse A eller hendelse B inntreffer, legger vi sammen sannsynlighetene for begge de individuelle hendelsene og subtraherer deretter sannsynligheten for snittet av dem.

Formelen for sannsynligheten for en union mellom hendelsene A og B skrives på følgende måte:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Vi kan også endre denne for å lage en spesifikk formel for unionen av to uavhengige hendelser. Dette er spesielt nyttig når sannsynligheten for snittet er ukjent.

Fordi hendelsene er uavhengige:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Derfor blir formelen for unionen:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

La oss beregne sannsynligheten for unionen av hendelsene A og B. Med andre ord, hva er sjansen for å velge en student som er økonomistudent, internasjonal student, eller begge deler samtidig?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

Takket være vår kalkulator for sannsynlighet for to hendelser og vår sannsynlighetsløser for to hendelser, kan du utføre alle disse beregningene umiddelbart. Disse verktøyene er perfekte for å verifisere manuell matematikk, da de viser omfattende trinnvise beregninger ved siden av de endelige svarene.

Normalfordeling

En normalfordeling er en symmetrisk, klokkeformet kurve. I en perfekt normalfordeling er gjennomsnittet, medianen og typetallet identiske. Nøyaktig 50 % av dataene faller over gjennomsnittet, og de andre 50 % faller under det. Etter hvert som kurven strekker seg bort fra gjennomsnittet i begge retninger, nærmer den seg – men berører egentlig aldri – X-aksen. Det totale arealet under denne kurven er alltid lik 1.

Hvis en tilfeldig variabel X følger en normalfordeling med parametrene μ (gjennomsnitt) og σ² (varians), skrives det som X ~ N(μ, σ²).

Sannsynlighet i en normalfordeling

Sannsynlighetstetthetsfunksjonen til en normalfordeling uttrykkes som:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

I denne funksjonen:

• μ er fordelingens gjennomsnitt;
• σ² er fordelingens varians;
• π er omtrent 3,14;
• e er omtrent 2,7182.

Fordi det finnes et uendelig antall normalkurver, er det umulig å lage en enkelt sannsynlighetstabell for hver mulige kombinasjon av gjennomsnitt og standardavvik. For å løse dette bruker statistikere standard normalfordeling. Dette er et spesialtilfelle av normalfordelingen der gjennomsnittet er 0 og standardavviket er 1.

For å manuelt beregne sannsynligheten i en normalfordeling, må du først transformere din spesifikke fordeling til en standard normalfordeling ved hjelp av en z-skår (z-score). Når den er konvertert, kan du bruke en z-tabell for å finne sannsynligheten. Alternativt fungerer vår normalfordelingskalkulator sømløst som en kalkulator for standard normalfordeling, og beregner sannsynligheter og konfidensintervaller umiddelbart, helt uten manuelle oppslag i tabeller.

Formelen for z-skåren er:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Den standardiserte normalfordelingskurven er et kraftig verktøy for å løse reelle statistiske problemer. Den brukes spesielt til å bestemme sannsynligheten for kontinuerlige variabler. En kontinuerlig variabel kan anta uendelig mange verdier, inkludert desimaler – som for eksempel høyde, vekt og temperatur.

La oss se på et praktisk eksempel for å forstå hvordan man finner sannsynligheten innenfor en normalfordeling.

Eksempel

Anta at resultatene fra statistikkkurset ditt er normalfordelt, med et gjennomsnitt på 65 og et standardavvik på 10. Hvis en student velges tilfeldig, avgjør sannsynligheten for følgende scenarier:

• Studentens poengsum er lik eller over 70.
• Studentens poengsum er strengt tatt under 70.
• Studentens poengsum ligger mellom 50 og 70.

Løsning

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

Å beregne sannsynligheten for en normalkurve manuelt innebærer flere komplekse trinn og krever at man leser av z-tabeller. Heldigvis lar vår kalkulator for normalfordelingssannsynlighet deg hoppe over dette styret. Bare skriv inn fire verdier – gjennomsnittet, standardavviket, samt venstre og høyre grense – så vil kalkulatoren umiddelbart beregne den nøyaktige sannsynligheten for deg.