Permutationsberegner

Vores permutationsberegner bestemmer det nøjagtige antal måder, du kan arrangere n forskellige objekter på, ved at tage en stikprøve på r elementer ad gangen. Den beregner antallet af mulige arrangementer for grupper, hvor den specifikke rækkefølge eller orden af elementer er strengt vigtig. Det samlede antal tilgængelige objekter betegnes med n, mens antallet af elementer i hver valgt gruppe betegnes med r.

Hvis vi for eksempel ønsker at arrangere bogstaverne XYZ i grupper af to bogstaver, kan vi danne XY, XZ, YZ, YX, ZX og ZY, hvilket resulterer i 6 forskellige måder.

For at bruge denne nPr-beregner skal du blot indtaste n (det samlede antal objekter, der skal arrangeres) og r (antallet af elementer i hver stikprøvegruppe) og derefter klikke på "Beregn".

Permutationer

I matematik er en permutation en anbringelse af en mængdes medlemmer i en bestemt rækkefølge eller orden. Hvis en mængde allerede er ordnet, skaber en ombytning af dens elementer en ny permutation. I enhver permutation har rækkefølgen af elementerne afgørende betydning. For eksempel repræsenterer rækkefølgerne AB og BA to helt forskellige permutationer. Det samlede antal permutationer af n objekter udtaget i stikprøver af r objekter betegnes normalt som nPr.

Beregningen af antallet af permutationer afhænger i høj grad af den type objekter, der arrangeres, og om gentagelser er tilladt. Medmindre andet er angivet, antages det generelt, at gentagelser ikke er tilladt ved beregning af permutationer.

I denne artikel vil vi udelukkende fokusere på eksempler med permutationer uden gentagelse.

Permutationer bygger på det grundlæggende tælleprincip (multiplikationsprincippet). Dette princip fastslår, at hvis et eksperiment består af k sekventielle hændelser, hvor den første hændelse kan forekomme på n₁ måder, den anden på n₂ måder, og så fremdeles indtil den sidste hændelse forekommer på nₖ måder, er det samlede antal måder eksperimentet kan udfolde sig på produktet af disse individuelle hændelser: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Antag, at vi ønsker at bestemme antallet af mulige permutationer for bogstaverne ABC uden nogen gentagelser. Hvert af de tre bogstaver kan placeres først, hvilket betyder, at der er 3 måder at fastsætte det første bogstav på.

Når det første bogstav er fastlagt, er der to bogstaver tilbage. Hvert af disse to kan vælges som det andet bogstav, hvilket giver os 2 måder at fastsætte det andet bogstav på. Efter at det andet bogstav er valgt, er der kun ét bogstav tilbage, hvilket betyder, at der kun er 1 måde at fastsætte det tredje bogstav på.

Ved at anvende det grundlæggende tælleprincip er der i alt 3 × 2 × 1 = 6 måder at arrangere bogstaverne ABC på. Disse arrangementer er ABC, ACB, BCA, BAC, CAB og CBA.

Fakultet (Faktoriel)

Som vist ovenfor beregnes antallet af permutationer af 3 forskellige objekter som 3 × 2 × 1 = 6. Generelt er antallet af permutationer for at arrangere et helt sæt af n objekter givet ved n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Dette indebærer at multiplicere alle positive heltal fra n ned til 1. I matematik kaldes produktet af et heltal n og alle de positive heltal under det for fakultet, hvilket betegnes med udråbstegn (!).

Derfor er n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, og udtales som "n fakultet".

Bemærk, at det i matematisk konvention gælder, at 0! = 1 og 1! = 1.

Eksempel på permutationer

Standardbanen til sprintløb ved De Olympiske Lege har 9 baner. Til 100-meter-løb er bane 1 dog typisk tom. De 8 løbere placeres i stedet i bane 2 til 9. På hvor mange mulige måder kan disse 8 løbere arrangeres på tværs af bane 2 til 9?

Ved hjælp af det grundlæggende tælleprincip:

• enhver af de 8 løbere kan tildeles bane 2,
• enhver af de resterende 7 løbere kan tildeles bane 3,
• enhver af de resterende 6 løbere kan tildeles bane 4,
• enhver af de resterende 5 løbere kan tildeles bane 5,
• enhver af de resterende 4 løbere kan tildeles bane 6,
• enhver af de resterende 3 løbere kan tildeles bane 7,
• en af de resterende 2 løbere kan tildeles bane 8,
• den 1 resterende løber tildeles bane 9.

Derfor er de samlede mulige permutationer for at arrangere de 8 løbere på de 8 tilgængelige baner 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 måder.

For at løse dette med vores permutationsberegner skal du blot indtaste 8 i både n (objekter) og r (stikprøve) felterne, og derefter klikke på "Beregn" for øjeblikkeligt at få 40.320.

Permutation af delmængder

I de foregående eksempler så vi på at beregne permutationer, når hvert objekt i mængden bruges i arrangementet. Der er dog mange situationer, hvor en større mængde af objekter arrangeres i mindre undergrupper.

I disse tilfælde betegnes det samlede antal tilgængelige objekter med n, antallet af udvalgte objekter til undergruppen (stikprøven) betegnes med r, og følgende formel bruges til at beregne antallet af permutationer:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dette er standardformlen for permutationer, der bruges til at beregne arrangementer uden gentagelser, når du skal organisere en specifik stikprøve r taget fra en større mængde n.

Hvis du har brug for at beregne antallet af måder at arrangere alle elementer i en mængde i en bestemt rækkefølge uden gentagelser (hvor n er lig med r), forenkles formlen til:

$$ₙPᵣ=n!$$

Eksempel

Hvis vi vender tilbage til eksemplet med 100-meter-løb, beregnede vi tidligere det samlede antal måder, hvorpå alle otte løbere kunne arrangeres på banen. Lad os nu se på medaljerne. Der er tre medaljer på spil: førstepladsen vinder guld, andenpladsen vinder sølv, og tredjepladsen vinder bronze. Ud af de 8 startende løbere, på hvor mange mulige måder kan guld-, sølv- og bronzemedaljerne uddeles?

Ifølge det grundlæggende tælleprincip kan enhver af de 8 løbere tage førstepladsen. Når guldvinderen er fundet, er der 7 løbere tilbage i kampen om andenpladsen. Efter at sølvet er uddelt, er der 6 løbere tilbage til at konkurrere om bronzemedaljen på tredjepladsen. Derfor er det samlede antal mulige permutationer for de tre øverste placeringer ud af 8 løbere: 8 × 7 × 6 = 336

Alternativt kan vi bruge nPr-formlen:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ved at indsætte vores tal får vi:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

For at finde dette ved hjælp af permutationsberegneren skal du indtaste 8 i feltet n (objekter) og 3 i feltet r (stikprøve). Klik på "Beregn", og du vil få 336.

Permutationer og kombinationer: Forskellen

En anden essentiel tælleteknik i matematik er kombinationer. Kombinationer repræsenterer de forskellige måder, hvorpå et mindre antal objekter (stikprøve r) kan vælges fra en større pulje af objekter (n). Antallet af kombinationer af r objekter valgt fra n objekter betegnes ganske enkelt som ₙCᵣ.

Da vi definerede permutationer, fastslog vi, at rækkefølgen eller arrangementet har afgørende betydning. Dette er præcis kerneforskellen mellem permutationer og kombinationer: i kombinationer er rækkefølgen ligegyldig.

For eksempel bemærkede vi tidligere, at permutationerne af bogstaverne XYZ taget i grupper af to giver seks forskellige arrangementer: XY, XZ, YZ, YX, ZX og ZY.

Imidlertid giver kombinationerne af bogstaverne XYZ i grupper af to kun tre forskellige parringer: XY, XZ og YZ. Fordi rækkefølgen ikke betyder noget i kombinationer, betragtes XY og YX som præcis det samme par. Det samme gælder for XZ og ZX, samt YZ og ZY.

Formlen, der bruges til at beregne antallet af kombinationer af r objekter fra n objekter, er:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Eksempel på beregning af kombinationer

I løbescenariet ovenfor beregnede vi antallet af måder, vi kunne tildele de specifikke første-, anden- og tredjepladser fra en gruppe på 8 løbere. Men hvad nu, hvis vi blot ønsker at kende antallet af måder at vælge 3 medaljevindere fra de 8 løbere, uanset deres specifikke placering? I dette tilfælde betyder det ikke noget, hvem der bliver nummer et, to eller tre – kun at de er udvalgt til at vinde en medalje.

Fordi den nøjagtige rækkefølge af medaljerne er irrelevant her, bruger vi kombinationer. Vi kan løse dette ved at bruge standardformlen for kombinationer:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Antallet af måder, hvorpå 3 urangerede medaljevindere kan vælges fra en pulje på 8 løbere, er givet ved:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Eksempler på beregning af permutationer

1. En tv-nyhedsproducent skal vælge 3 ud af 5 tilgængelige gæstetalere til et kommende analytisk program. Den rækkefølge, som gæsterne taler i, er yderst vigtig. På hvor mange forskellige måder kan producenten arrangere præsentationerne? Fordi rækkefølgen betyder noget, og gentagelse ikke er tilladt (en gæst kan ikke optræde to gange i det samme program), bruger vi formlen for permutationer:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Dette viser, at producenten har 60 unikke måder at organisere gæstetalerne på.

2. En fremtrædende restaurantkritiker har udvalgt 10 fremragende sushisteder i byen for at finde de 3 bedste sushirestauranter. Stederne skal præsenteres i en bestemt rækkefølge for at afspejle deres endelige rangering, og ingen restaurant kan optræde i rangeringen mere end én gang. Da rækkefølgen er afgørende, og der ikke er nogen gentagelser, opfylder vi kernekravene for permutationer. Vi anvender nPr-formlen:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Når vi siger, at "rækkefølgen er vigtig" i permutationer, betyder det ikke strengt taget, at rækkefølgen skal være en numerisk placering som 1., 2. eller 3. plads. Rækkefølge kan også defineres ved specifikke, forskellige roller eller lokationer, som vores elementer tildeles.

Overvej for eksempel lederen af et håndværkerfirma. Han har fire specifikke arbejdsopgaver, der skal udføres i dag: maling af et visumbureau, et fabrikslager, en tøjbutik og et værelse i et privat hjem. Virksomheden har seks malere ansat. Hver maler kan kun sendes til 1 sted om dagen, hvilket betyder, at to malere naturligvis får fri.

De fire unikke arbejdssteder (visumbureauet, lageret, butikken og det private hjem) fungerer som modstykker til positionerne 1, 2, 3 og 4.

Lederen vurderer sine muligheder:

• 6 tilgængelige malere, der kan tildeles visumbureauet,
• 5 resterende malere, der skal tildeles fabrikslageret,
• 4 resterende malere, der skal sendes til tøjbutikken,
• 3 resterende malere, der kan tildeles det private hjem.

Intuitivt kan vi beregne det samlede antal valgmuligheder for tildelingen som 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Fordi den specifikke lokation, hver maler tildeles, betyder alt (rækkefølge er vigtig), og ingen maler kan arbejde på mere end én lokation på en enkelt dag (ingen gentagelser), kan vi uden problemer anvende vores permutationsformel:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

I sidste ende er der nøjagtigt 360 forskellige måder, hvorpå håndværkerlederen kan fordele dagens ordrer blandt sine tilgængelige malere under de givne betingelser.