Varianskalkylator

Varians som spridningsmått

När man analyserar ett dataset är en grundläggande aspekt av statistisk slutledning att mäta hur mycket datan varierar från sitt medelvärde. De vanligaste måtten för att mäta denna spridning är:

• Varians är genomsnittet av de kvadrerade avvikelserna från medelvärdet.
• Standardavvikelse är kvadratroten ur variansen. Standardavvikelse är ett vanligt förekommande mått för att mäta spridning och övergripande variabilitet.
• Variationskoefficienten, även känd som den relativa standardavvikelsen. Variationskoefficienten beräknas som förhållandet mellan standardavvikelsen σ och medelvärdet μ, eller \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Vår onlinebaserade varianskalkylator beräknar enkelt variansen för ett givet dataset och ger en detaljerad steg-för-steg-beskrivning av beräkningsprocessen.

Regler för användning av kalkylatorn

Varianskalkylatorn accepterar inmatning som en lista med siffror separerade med en avgränsare. Några exempel på format som stöds visas i tabellen nedan:

Du kan separera siffrorna med kommatecken, mellanslag, radbrytning eller en kombination av dessa avgränsare. Du kan använda antingen rad- eller kolumnformat. För alla dataformat som visas i tabellen ovan bearbetar kalkylatorn inmatningen korrekt som 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 och 89.

Efter att du har matat in din data väljer du om den representerar ett stickprov eller en hel population. När du trycker på beräkna-knappen visar verktyget fem grundläggande statistiska parametrar: antal (antal observationer), medelvärde, kvadratsumma (summan av de kvadrerade avvikelserna), varians och standardavvikelse.

Den här kalkylatorn är specifikt utformad för att beräkna variansen i ett dataset. Dessutom ger den värdefull insikt i den bakomliggande statistiska teorin genom att tydligt visa alla inblandade steg.

För att dra mycket tillförlitliga statistiska slutsatser är det alltid att föredra att använda ett stort dataset. Det är dock ofta opraktiskt att samla in populationsdata som representerar alla möjliga observationer. På grund av detta tar statistiker vanligtvis ett "stickprov" från populationen, vilket gör att slutsatser om hela populationen kan dras direkt från stickprovsdatan.

Varians mäter ett datasets genomsnittliga spridning i förhållande till dess medelvärde. Det betecknas traditionellt med σ² för en population och med s² för ett stickprov. Ett större värde på σ² eller s² indikerar en större spridning av datapunkterna från medelvärdet, medan ett mindre värde indikerar att datapunkterna är grupperade tätt runt medelvärdet.

Titta på följande exempel på dataset:

(Dataset I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Dataset II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

När vi matar in Dataset I i varianskalkylatorn får vi:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

för ett stickprov, och

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

för populationen.

På samma sätt får vi när vi matar in Dataset II i kalkylatorn:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

för ett stickprov, och

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

för populationen.

• I Dataset I avviker talen avsevärt från stickprovets medelvärde, vilket resulterar i en högre varians:

s²=70.4

σ²=64

• I Dataset II är den övergripande spridningen mycket mindre:

s²=5.6

σ²=5.09

Formeln för varians: populationsvarians kontra stickprovsvarians

Populationsvarians

Inom statistiken syftar en population på alla möjliga observationer inom ett experiment. För N observationer är formeln för populationsvarians:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

där:

• σ² är populationsvariansen,
• Σ representerar summeringen,
• xᵢ är varje enskild observation,
• μ är populationens medelvärde,
• N är det totala antalet observationer i populationen.

Stickprovsvarians

Stickprovsvariansen definieras av följande formel:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

där:

• s² är stickprovsvariansen,
• Σ representerar summeringen,
• xᵢ är varje enskild observation,
• x̄ är stickprovets medelvärde,
• n är det totala antalet observationer i stickprovet.

Steg för att beräkna variansen

Att beräkna variansen manuellt involverar följande standardsteg:

Steg 1: Beräkna stickprovets eller populationens medelvärde. Detta är summan av alla datapunkter dividerat med antalet datapunkter (n för ett stickprov och N för en population), d.v.s.

Stickprovets medelvärde:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Populationens medelvärde:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Steg 2: Beräkna de enskilda avvikelserna genom att subtrahera stickprovets eller populationens medelvärde från varje datapunkt, d.v.s.

Avvikelser för stickprov:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Avvikelser för population:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Steg 3: Beräkna de kvadrerade avvikelserna för varje datapunkt.

Kvadrerade avvikelser för stickprov:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Kvadrerade avvikelser för population:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Steg 4: Beräkna summan av de kvadrerade avvikelserna (kvadratsumman).

Kvadratsumma för stickprov:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Kvadratsumma för population:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Steg 5: Dividera kvadratsumman med n-1 för ett stickprov och med N för populationen för att få fram den slutliga variansen.

Stickprovsvarians:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Populationsvarians:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Exempel på beräkning av varians för ett stickprov

Låt oss titta på ett praktiskt exempel med hjälp av följande dataset: 1, 2, 4, 5, 6 och 12. För att beräkna stickprovsvariansen följer vi dessa steg:

Steg 1: Beräkna stickprovets medelvärde.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Steg 2: Beräkna avvikelserna från medelvärdet för varje datapunkt.

Steg 3: Beräkna kvadraterna av avvikelserna.

Steg 4: Summera de kvadrerade avvikelserna.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Steg 5: Beräkna stickprovsvariansen genom att dividera summan av de kvadrerade avvikelserna med antalet frihetsgrader (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

För en population skulle du dividera med n (det totala antalet datapunkter) istället för n-1 för att beräkna populationsvariansen.

Variansens betydelse

Varians och spridning är avgörande mätetal inom investeringsvärlden. De ger kapitalförvaltare möjlighet att optimera sin investeringsavkastning och hantera portföljer på ett effektivt sätt. Finansanalytiker förlitar sig i hög grad på varians för att utvärdera den enskilda risken och den historiska utvecklingen för specifika tillgångar i en investeringsportfölj.

När investerare överväger ett nytt köp beräknar de variansen för att avgöra om en potentiell investering är värd den tillhörande risken. Spridningsmått hjälper analytiker att kvantifiera osäkerhet – en faktor som är nästan omöjlig att utvärdera korrekt utan varians och standardavvikelse.

Även om osäkerhet i sig inte är direkt mätbar, gör varians och standardavvikelse (kvadratroten ur variansen) det möjligt för investerare att fastställa den upplevda volatiliteten och vilken inverkan en viss aktie kommer att ha på en bredare portfölj.

Utöver finansvärlden är varians ett viktigt verktyg för forskare, statistiker, matematiker och dataanalytiker. Det ger djupgående matematiska insikter om experiment och urvalspopulationer.

Forskare förlitar sig ofta på varians för att identifiera strukturella skillnader mellan testgrupper och för att avgöra om de är tillräckligt lika för att framgångsrikt kunna testa en hypotes. Ju högre varians, desto mer spridda är värdena i datasetet. Dataforskare använder denna information för att förstå hur exakt medelvärdet representerar datasetet som helhet.

En nackdel med att använda varians är dock dess känslighet för stora extremvärden (outliers). Eftersom avvikelser från medelvärdet kvadreras matematiskt får extremvärden en oproportionerligt stor vikt, vilket oavsiktligt kan förvränga datans övergripande representation.

Av denna anledning föredrar många forskare och finansproffs att arbeta med standardavvikelse. Eftersom det beräknas som kvadratroten ur variansen, uttrycks standardavvikelsen i samma enhet som den ursprungliga datan. Det ger en mindre, mer intuitiv siffra som är mycket lättare att tolka samtidigt som den förblir något mindre förvrängd av extrema uteliggare.