Calculadora de Razão

A calculadora de razão é uma ferramenta prática que permite simplificar razões, encontrar valores ausentes em proporções e verificar se duas razões dadas são equivalentes. Nossa calculadora aceita números inteiros, números decimais e números em notação científica (também conhecida como notação E) como entrada. Um exemplo de número em notação científica é 2e5, que equivale a 2×10⁵. Existe um limite máximo de 15 caracteres por entrada, ou seja, cada campo (A, B, C ou D) não pode exceder 15 dígitos.

Instruções de uso

Para usar a calculadora para simplificar uma razão, digite tanto o numerador quanto o denominador em um dos lados da proporção — preencha os campos A e B, ou os campos C e D. Em seguida, clique em "Calcular". A calculadora simplificará a razão fornecida e retornará a resposta na sua forma irredutível.

Se os valores inseridos forem números inteiros ou em notação científica, a ferramenta exibirá também o passo a passo da solução.

Caso o valor inserido já esteja na sua forma mais simples (irredutível), a calculadora encontrará uma razão equivalente multiplicando o numerador e o denominador da fração original por 2.

Para utilizar a calculadora visando encontrar um valor ausente em uma proporção, insira os três valores conhecidos e deixe o campo da incógnita (valor desconhecido) em branco. Você pode usar qualquer campo para representar esse valor: A, B, C ou D. Após preencher as três variáveis conhecidas, clique em "Calcular". O sistema resolverá a equação e exibirá a proporção completa com os quatro valores. Assim como na etapa anterior, se você utilizar números inteiros, o passo a passo matemático da solução será demonstrado.

Definições e fórmulas importantes

Na matemática, uma razão é definida como um par ordenado de números a e b. Usamos as razões para comparar dois valores, dividindo o primeiro número pelo segundo.

Uma razão de a para b pode ser expressa como \$\frac{a}{b}\$, a/b ou a:b. Assume-se geralmente que b≠0, uma vez que b atua como o denominador da fração. As razões são amplamente aplicadas no dia a dia para comparar quaisquer duas grandezas ou quantidades.

Por exemplo, se houver 2 meninas e 6 meninos em uma sala de aula, a razão entre meninas e meninos seria de 2:6 ou, em sua forma simplificada, 1:3. Isso significa que para cada menina, existem 3 meninos.

Uma proporção, por sua vez, é uma equação que iguala duas razões. No nosso exemplo anterior, a proporção poderia ser escrita das seguintes maneiras:

$$2:6::1:3$$

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

$$2:6=1:3$$

Em uma proporção a:b=c:d, o segundo e o terceiro termos (b e c) são chamados de "meios" da proporção, enquanto o primeiro e o último termos (a e d) são conhecidos como os "extremos". As proporções possuem uma propriedade matemática fundamental, chamada de Propriedade Fundamental das Proporções (ou Propriedade dos Meios e Extremos).

A fórmula da proporção

Em qualquer proporção a:b=c:d, o produto dos meios (b×c) é sempre igual ao produto dos extremos (a×d). Matematicamente, expressamos assim:

Se a:b=c:d

Então a×d=b×c

Esta fórmula básica (também conhecida na prática como multiplicação cruzada ou regra de três) nos permite descobrir um termo ausente em qualquer proporção. Por exemplo, se precisarmos resolver a equação para descobrir o valor de a, rearranjamos a fórmula da seguinte maneira:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

Vejamos alguns exemplos práticos de cálculo aplicando os cenários descritos acima.

Exemplo 1

Jane é paisagista e está desenvolvendo o projeto de uma área externa para um cliente. O espaço possui uma área total de 216 metros quadrados e, no rascunho inicial do projeto, 64 metros quadrados seriam ocupados por uma piscina. Pouco antes da apresentação, o cliente informou que faz questão de que pelo menos um terço do espaço total seja destinado à piscina. Ela precisará refazer o projeto ou o desenho atual já atende ao requisito?

Para descobrir se precisará ou não criar um novo design, Jane deve calcular a razão entre a área da piscina e a área externa total, comparando em seguida o resultado com \$\frac{1}{3}\$.

Sabemos que a piscina ocupa 64 metros quadrados, enquanto a área total é de 216 metros quadrados. Portanto, a razão inicial é:

$$\frac{64}{216}$$

Esta razão não está na sua forma irredutível e pode ser simplificada. A simplificação de frações ocorre dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo seu Máximo Divisor Comum (MDC).

O MDC entre o numerador (64) e o denominador (216) é 8. Ao dividir ambos os termos pelo MDC (8), obtemos:

$$\frac{64}{8}=8$$

$$\frac{216}{8}=27$$

Logo, $\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$.

A piscina ocupa, portanto, \$\frac{8}{27}\$ da área externa total. O cliente, no entanto, exige que ela ocupe pelo menos \$\frac{1}{3}\$, o que equivale a \$\frac{9}{27}\$ da área total. Como \$\frac{8}{27}<\frac{9}{27}\$, Jane, infelizmente, terá que criar um novo projeto para adequar o tamanho da piscina.

Simplificando a razão

Para resolver este problema rapidamente, basta usar a nossa calculadora: insira 64 e 216 nos campos A e B (ou C e D), respectivamente, e clique em "Calcular".

Resposta

$$64∶216=8∶27$$

Encontrando um valor ausente

Vamos encontrar o valor ausente na seguinte proporção: \$\frac{3}{99}=\frac{4}{x}\$.

Para descobrir a incógnita desconhecida, utilizamos a fórmula da proporção, que estabelece que o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. Podemos reescrever a proporção dada da seguinte forma:

$$3:99=4:x$$

Nesta equação, 99 e 4 são os meios, enquanto 3 e a incógnita x são os extremos. Isolando o valor de x (o extremo ausente), temos:

$$3×x=4×99$$

$$x=\frac{4×99}{3}$$

$$x=\frac{396}{3}$$

$$x=132$$

Resposta

$$3∶99=4∶132$$

Exemplo 2

Helen deseja contratar um tradutor para passar diversos artigos do inglês para o japonês. O site do profissional indica uma taxa média de US$ 20 para uma tradução de 600 palavras. Somando todos os textos, os artigos de Helen chegam a cerca de 20.000 palavras. Como ela pode calcular o custo total do pedido caso o tradutor não esteja disposto a conceder um desconto?

Para resolver isso na calculadora, insira as unidades equivalentes de um lado (campos A e C) e as outras grandezas equivalentes do outro (campos B e D). Neste exemplo, usaremos A e С para a quantidade de palavras, e B e D para os valores financeiros. Os campos A e B representarão a tarifa padrão do tradutor, e os campos C e D focarão no volume do projeto de Helen.

No campo A, você insere a quantidade base de palavras estipulada pelo tradutor — 600;
No campo B, você digita o valor cobrado por essas 600 palavras — 20;
No campo C, você informa o número total de palavras do seu pedido — 20.000;
E no campo D, a calculadora revelará o resultado: 666,66666666667.

A partir daí, Helen pode arredondar a estimativa para US$ 667. Não se esqueça de que Helen pode pedir um desconto devido ao grande volume do pedido, mas os US$ 667 servem como um excelente ponto de partida nas negociações.

Exemplo 3

Jack está de férias na Indonésia e precisa trocar seus dólares americanos (US$) por rúpias indonésias (IDR), a moeda local. Ele necessita do dinheiro em espécie para quitar o aluguel mensal de uma Yamaha X-Max Maxi-scooter, que custa 3.500.000 rúpias.

Ele verifica que a taxa de câmbio atual na casa de câmbio mais próxima do seu hotel é de 14.750 rúpias por 1 dólar americano. Quantos dólares ele precisa trocar para obter exatamente 3.500.000 rúpias?

Novamente, utilizaremos nossa ferramenta alocando as unidades equivalentes de forma lógica: os campos A e C para as rúpias indonésias, e os campos B e D para os dólares americanos.

Na caixa A, você insere a cotação da rúpia por dólar — isto é, 14.750;
No campo B, você coloca o equivalente a esse montante em dólares — 1;
No campo C, você digita o valor total em rúpias que deseja alcançar — 3.500.000;
No campo D, a ferramenta retornará o montante exato necessário em dólares — 237,28813559322.

Conclui-se que, assumindo que a casa de câmbio não cobre taxas de comissão extras, Jack precisará trocar pelo menos US$ 237 para pagar o aluguel da scooter pelo mês. Na prática, o mais provável é que ele troque um valor mais redondo, como US$ 250 ou US$ 300.

Usando a calculadora para validar uma proporção

Para utilizar a calculadora com o objetivo de verificar se duas razões são perfeitamente equivalentes, como \$\frac{4}{16}\$ e \$\frac{3}{12}\$, digite 4 no campo A e 16 no campo B para formar o primeiro lado da proporção. Em seguida, insira 3 no campo C e 12 no campo D para completar o outro lado da equação. Depois, basta clicar em "Calcular".

Resposta

$$4:16=3:12$$

É VERDADEIRO

Propriedades da proporção

A propriedade mais importante (e útil) das proporções é a Propriedade Fundamental dos Meios e Extremos. No entanto, as proporções possuem outras propriedades matemáticas estruturais muito interessantes.

Permutação dos meios e dos extremos:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, invertendo os meios (permutação dos meios), a seguinte equação se mantém verdadeira:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

E, invertendo os extremos (permutação dos extremos), a lógica também se comprova:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Alteração de proporções (Aumentar e Diminuir): Aumentar ou diminuir uma proporção pode ser feito de acordo com as seguintes regras matemáticas.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, a proporção pode ser aumentada da seguinte forma:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

E diminuída da seguinte maneira:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Composição de uma proporção por adição e subtração: Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, a seguinte propriedade de soma se aplica:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

E, para a subtração:

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

A proporção áurea

Na matemática, dois valores formam a proporção áurea (ou razão áurea) se a razão do valor maior para o menor for rigorosamente igual à razão da soma desses dois valores para o valor maior. Traduzindo isso em termos matemáticos: assumindo que a>b>0, a proporção áurea pode ser escrita da seguinte forma:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

O cérebro humano está condicionado a enxergar a proporção áurea como a harmonia estética perfeita entre as partes e o todo. Não por acaso, essa razão fascinante é frequentemente observada nos padrões da natureza, na ciência, na arquitetura e nas artes.

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