Kikokotoo cha Nisba

Kikokotoo cha uwiano

Kikokotoo chetu cha uwiano kinachoweza kufanya mambo mengi kinakuruhusu kurahisisha uwiano bila shida, kutafuta thamani zilizokosekana katika propolisheni (uwiano), na kubaini kama uwiano miwili iliyotolewa ni sawa. Zana hii inakubali aina mbalimbali za maingizo, ikiwa ni pamoja na nambari kamili, desimali, na nambari katika nukuu za kisayansi za e (scientific e-notation). Kwa mfano, nambari katika nukuu ya kisayansi ya e kama 2e5 inawakilisha 2 × 10⁵. Tafadhali kumbuka kuwa kuna kikomo cha herufi 15 kwa kila sehemu ya kuingiza data, ikimaanisha kuwa sehemu A, B, C, au D haziwezi kuzidi urefu huu.

Maelekezo ya matumizi

1. Ili kutumia kikokotoo kama kibadilishaji cha uwiano—au, kwa maneno mengine, kurahisisha uwiano—ingiza kiasi (numerator) na asili (denominator) kwa upande mmoja wa uwiano. Ingiza haya katika sehemu A na B, au C na D. Kisha, bofya "Kokotoa". Kirahisishaji cha uwiano kitachakata uwiano uliotolewa mara moja na kutoa jibu katika viwango vyake vya chini kabisa.

Ikiwa thamani zinazojulikana zimeingizwa kama nambari kamili au katika nukuu ya kisayansi ya e, kikokotoo pia kitaonyesha suluhisho la hatua kwa hatua.

Ikiwa thamani iliyoingizwa tayari iko katika fomu yake rahisi zaidi, kikokotoo kitazalisha uwiano sawa kwa kuzidisha kiasi na asili kwa 2.

2. Ili kutumia kikokotoo cha propolisheni kutafuta thamani iliyokosekana, ingiza thamani tatu zinazojulikana na uache wazi sehemu ya thamani isiyojulikana. Unaweza kuacha mojawapo ya sehemu zikiwa tupu—A, B, C, au D. Baada ya kuingiza thamani tatu zinazojulikana, bofya "Kokotoa". Zana itasuluhisha propolisheni na kuonyesha thamani zote nne. Ikiwa utaingiza nambari kamili, kikokotoo pia kitatoa suluhisho la hatua kwa hatua kwa tatizo.

Ufafanuzi na fomula muhimu

Katika hisabati, uwiano hufafanuliwa kama jozi iliyopangwa ya nambari, a na b. Tunatumia uwiano kulinganisha thamani mbili kwa kugawanya nambari moja na nyingine.

Uwiano wa a kwa b unaweza kuandikwa kama \$\frac{a}{b}\$, a/b, au a:b. Kwa ujumla inachukuliwa kuwa b ≠ 0, kwa kuwa b inawakilisha asili ya sehemu (fraction). Uwiano hutumiwa sana katika maisha ya kila siku kulinganisha kiasi chochote kile viwili.

Kwa mfano, ikiwa darasa lina wasichana 2 na wavulana 6, uwiano wa wasichana kwa wavulana ni 2:6. Katika fomu iliyorahisishwa, hii ni 1:3, ikimaanisha kwamba kwa kila msichana mmoja, kuna wavulana watatu.

Propolisheni ni msemo wa kihisabati unaosawazisha uwiano miwili. Kwa kutumia mfano wetu uliotangulia, propolisheni inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

$$2:6::1:3$$

au

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

au

$$2:6=1:3$$

Katika propolisheni a:b=c:d, neno la pili na la tatu (b na c) hujulikana kama "wastani" (means) ya propolisheni. Neno la kwanza na la mwisho (a na d) hujulikana kama "ncha" (extremes). Propolisheni zina mali ya kimsingi inayojulikana kama Sifa ya Wastani na Ncha (Means-Extremes Property), au Fomula ya Propolisheni.

Fomula ya propolisheni

Katika propolisheni yoyote a:b=c:d, zao la wastani (b × c) ni sawa na zao la ncha (a × d). Kihisabati, hii inaonyeshwa kama:

Ikiwa

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Basi

$$a × d = b × c$$

Fomula hii inaturuhusu kupata kwa urahisi neno lililokosekana katika propolisheni yoyote. Kwa mfano, ikiwa tunahitaji kutatua propolisheni iliyotolewa kwa a, tunapanga upya tu fomula ya propolisheni kama ifuatavyo:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Hebu tuchunguze baadhi ya mifano ya vitendo ya ukokotoaji inayoshughulikia matukio yote matatu yaliyofafanuliwa hapo juu.

Mfano wa 1

Jane ni mbunifu wa mandhari anayepanga nafasi ya nje kwa ajili ya mteja. Eneo lote la nafasi hiyo ni mita za mraba 216, na ameandaa mpangilio unaoonyesha bwawa la kuogelea linalofunika mita za mraba 64. Kabla tu ya Jane kuwasilisha pendekezo lake, mteja anaongeza hitaji jipya: bwawa lazima lichukue angalau theluthi moja ya nafasi yote. Je, Jane anahitaji kuandaa muundo mpya, au anaweza kuwasilisha muundo wake wa sasa?

Ili kuamua hili, Jane lazima akokotoe uwiano wa eneo la bwawa kwa eneo lote la nje na alinganishe thamani hiyo na 1/3.

Kwa kuzingatia kuwa bwawa ni mita za mraba 64 na eneo lote ni mita za mraba 216, uwiano wa awali ni: 64/216.

Kwa kuwa uwiano huu hauko katika viwango vyake vya chini, tunaweza kuurahisisha. Tunarahisisha uwiano kwa kugawanya kiasi (numerator) na asili (denominator) kwa kigawe kikubwa cha shirika (KKS / GCF).

Kigawe kikubwa cha shirika kwa 64 (kiasi) na 216 (asili) ni 8. Kwa kugawanya maneno yote mawili kwa KKS cha 8, tunapata:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Kwa hivyo,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Bwawa kwa sasa linachukua 8/27 ya eneo lote la nje. Hata hivyo, mteja aliomba lichukue angalau 1/3, ambayo ni sawa na 9/27. Kwa kuwa 8/27 < 9/27, kwa bahati mbaya Jane anahitaji kuunda muundo mpya.

Kurahisisha uwiano

Ili kupata suluhisho haraka ukitumia zana yetu ya kurahisisha uwiano, ingiza tu 64 na 216 katika sehemu A na B (au C na D), kwa mtiririko huo, na ubofye "Kokotoa".

Jibu:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Kutafuta thamani iliyokosekana

Hebu tutafute thamani iliyokosekana katika propolisheni ifuatayo:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Ili kutatua thamani isiyojulikana katika propolisheni, tunatumia fomula ya propolisheni, ambayo inasema kwamba zao la wastani daima ni sawa na zao la ncha. Tunaweza kuandika propolisheni iliyotolewa kama ifuatavyo:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Hapa, 99 na 4 ni wastani, wakati 3 na thamani isiyojulikana x ni ncha. Kwa hivyo:

$$3 × X = 4 × 99$$

na

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Jibu

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Mfano wa 2

Helen anahitaji kuajiri mfasiri wa kujitegemea ili kutafsiri makala kadhaa kutoka Kiingereza kwenda Kijapani. Tovuti ya mfasiri inaorodhesha wastani wa kiwango cha $20 kwa kila maneno 600. Makala za Helen zina jumla ya maneno takriban 20,000. Anawezaje kukokotoa jumla ya gharama ya agizo lake ikiwa mfasiri hatoi punguzo la bei kwa kazi kubwa?

Unaweza kutatua hili kwa urahisi kwa kuingiza vizio (units) vinavyolingana kwenye kikokotoo. Tumia sehemu A na C kwa seti moja ya vizio vinavyolingana, na sehemu B na D kwa seti nyingine.

Katika hali hii, tutatumia sehemu A na С kwa idadi ya maneno, na sehemu B na D kwa gharama. Sehemu A na B zinawakilisha kiwango kinachojulikana (bei ya sasa ya mfasiri), wakati sehemu C na D zinawakilisha agizo maalum la Helen.

• Katika sehemu A, ingiza idadi ya maneno kwa kiwango cha msingi cha mfasiri, ambayo ni 600.
• Katika sehemu B, ingiza bei kwa maneno hayo 600, ambayo ni 20.
• Katika sehemu C, ingiza jumla ya idadi ya maneno katika agizo lako, ambayo ni 20,000.
• Katika sehemu D, kikokotoo kitatoa matokeo: 666.66666666667.

Helen anaweza kukadiria matokeo haya hadi $667. Ingawa anaweza kujadili punguzo la bei kwa agizo kubwa kila wakati, $667 inampa sehemu nzuri ya kuanzia kwa mazungumzo.

Mfano wa 3

Jack yuko likizoni nchini Indonesia na anahitaji kubadilisha dola zake za Marekani kwa sarafu ya ndani, rupiah za Indonesia. Anahitaji pesa taslimu ili kukodisha pikipiki aina ya Yamaha X-Max maxi-scooter, ambayo inagharimu rupiah 3,500,000 kwa mwezi.

Anajua kuwa kiwango cha ubadilishaji cha leo kwenye ofisi ya kubadilisha fedha iliyo karibu na hoteli yake ni rupiah 14,750 kwa dola 1 ya Marekani. Anahitaji kubadilisha dola ngapi ili kupata hasa rupiah 3,500,000?

Kwa mara nyingine tena, tunaweka vizio vinavyolingana katika sehemu A na C, na vizio vingine vinavyolingana katika sehemu B na D.

Katika mfano huu, A na С zitawakilisha rupiah ya Indonesia, huku B na D zitawakilisha dola za Marekani.

• Katika sehemu A, ingiza idadi ya rupiah kwa $1, ambayo ni 14,750.
• Katika sehemu B, ingiza kiasi cha dola sawa na hicho, ambacho ni 1.
• Katika sehemu C, ingiza jumla ya idadi ya rupiah anazohitaji Jack, ambayo ni 3,500,000.
• Katika sehemu D, utapata kiasi kinachohitajika katika dola: 237.28813559322.

Kwa kudhani kuwa mbadilisha fedha hatozi kamisheni, Jack anahitaji kubadilisha angalau $237 ili kufidia ukodishaji wa pikipiki yake kwa mwezi huo. Kiuhalisia, huenda atabadilisha kiasi kilichokadiriwa kama $250 au $300.

Kutumia kikokotoo kupata suluhisho

Ili kutumia kikokotoo cha uwiano sawa kulinganisha uwiano miwili—kama vile 4/16 na 3/12—ingiza 4 kwenye sehemu A na 16 kwenye sehemu B ili kukamilisha upande mmoja wa propolisheni. Kisha, ingiza 3 kwenye sehemu C na 12 kwenye sehemu D kwa upande mwingine. Hatimaye, bofya "Kokotoa".

Jibu

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

ni KWELI

Sifa za propolisheni

Sifa muhimu zaidi na yenye manufaa ya propolisheni ni Sifa ya Wastani na Ncha. Hata hivyo, propolisheni pia zina sifa nyingine kadhaa za kuvutia za kihisabati.

Mabadilishano ya wastani na ncha (permutation):

Ikiwa

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Basi, kwa kutumia mabadilishano ya wastani, yafuatayo ni kweli:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Na, kwa kutumia mabadilishano ya ncha, yafuatayo ni kweli:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Kuongeza na kupunguza propolisheni kunaweza kufanywa kulingana na sheria zifuatazo:

Ikiwa

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Basi propolisheni inaweza kuongezwa kama ifuatavyo:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

Na kupunguzwa kama ifuatavyo:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Kutunga propolisheni kwa kujumlisha na kutoa Ikiwa

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Basi yafuatayo ni kweli:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Na

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Uwiano wa dhahabu

Katika hisabati, thamani mbili ziko katika uwiano wa dhahabu ikiwa uwiano wa thamani kubwa kwa thamani ndogo ni sawa na uwiano wa jumla yao kwa thamani kubwa. Kwa maneno ya kihisabati, kwa a>b>0, fomula ya uwiano wa dhahabu imeandikwa kama ifuatavyo:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Ubongo wa mwanadamu kiasili huchukulia uwiano wa dhahabu kama propolisheni inayopendeza zaidi kimwonekano kati ya sehemu na kitu kizima. Haishangazi, uwiano wa dhahabu huzingatiwa mara kwa mara katika asili, sayansi, na sanaa.