अनुपात गणक

अनुपात गणक

अनुपात गणक आपको अनुपातों को सरल बनाने, अनुपात में लापता मूल्यों को खोजने और यह पहचानने की अनुमति देता है कि क्या दो दिए गए अनुपात बराबर हैं। गणक एक वैज्ञानिक ई-अंकन में पूर्णांकों, दशमलव संख्याओं और संख्याओं को आगत के रूप में स्वीकार करता है। एक वैज्ञानिक ई-अंकन में एक संख्या का उदाहरण 2e5 है, जो 2 × 10⁵ के बराबर है। एक 15-वर्ण आगत सीमा है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आगत (A, B, C, या D) 15 वर्णों से अधिक नहीं हो सकता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

1. गणक को अनुपात परिवर्तक के रूप में उपयोग करने के लिए, या, दूसरे शब्दों में, अनुपात को सरल बनाने के लिए, अनुपात के एक तरफ के लिए अंश और हर दर्ज करें। A और B या C और D दर्ज करें। फिर "गणना करें" दबाएं। अनुपात गणक तब दिए गए अनुपात को सरल करेगा और सबसे कम शब्दों में उत्तर लौटाएगा।

मान लीजिए कि ज्ञात मान पूर्णांकों के रूप में या वैज्ञानिक ई-अंकन में डाले गए थे। उस स्थिति में, गणक समाधान के चरणों को भी प्रदर्शित करेगा।

मान लीजिए कि डाला गया मूल्य पहले से ही सबसे कम अंको में है। उस स्थिति में, गणक अंश और भिन्न के हर को 2 से गुणा करके एक समान अनुपात प्राप्त करेगा।

2. किसी अनुपात में गुम मान का पता लगाने के लिए गणक का उपयोग करने के लिए, तीन ज्ञात मान दर्ज करें और अज्ञात मान की जगह को खाली छोड़ दें। आप अज्ञात मान के लिए किसी भी जगह का उपयोग कर सकते हैं - A, B, C, या D। तीन ज्ञात मान दर्ज करने के बाद, "गणना करें" दबाएं। गणक सभी चार मानों के साथ हल किए गए अनुपात को वापस कर देगा। यदि दर्ज किए गए मान पूर्णांक थे, तो गणक समस्या का समाधान भी प्रदर्शित करेगा।

परिभाषाएं और महत्वपूर्ण सूत्र

गणित में, अनुपात को संख्याओं a और b के क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जाता है। हम एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करके दो मानों की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग करते हैं।

a से b के अनुपात को \$\frac{a}{b}\$, a/b या a:b के रूप में लिखा जा सकता है। आमतौर पर यह माना जाता है कि b ≠ 0 क्योंकि b भिन्न के हर में है। वास्तविक जीवन में किन्हीं दो राशियों की तुलना करने के लिए अनुपातों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक कक्षा में 2 लड़कियां और 6 लड़के हैं, तो लड़कियों का लड़कों से अनुपात 2:6 होगा, या, सरलीकृत रूप में, 1:3 होगा, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक लड़की के लिए, तीन लड़के हैं।

एक अनुपात दो अनुपातों के बराबर एक अभिव्यक्ति है। हमारे पिछले उदाहरण में, अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$2:6::1:3$$

या

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

या

$$2:6=1:3$$

अनुपात में a:b=c:d, दूसरे और तीसरे पद, b और c, अनुपात के "माध्यम" कहलाते हैं। और प्रथम और अंतिम पद, a और d को "चरम" कहा जाता है। अनुपात में एक महत्वपूर्ण गुण होता है, जिसे मीन्स-एक्सट्रीम प्रॉपर्टी या आनुपातिक सूत्र कहा जाता है।

अनुपात सूत्र

किसी भी अनुपात में a:b=c:d, साधन b × c का गुणनफल चरम a × d के गुणनफल के बराबर होता है। या, गणितीय रूप से:

यदि

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

फिर

$$a × d = b × c$$

यह सूत्र हमें किसी अनुपात का लुप्त पद ज्ञात करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें दिए गए अनुपात को a के लिए हल करने की आवश्यकता है, तो हम अनुपात सूत्र को निम्नानुसार दुबारा समूहित करेंगे:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

आइए ऊपर वर्णित तीनों परिदृश्यों के गणना उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

जेन एक लैंडस्केप डिज़ाइनर है जो ग्राहक के लिए बाहरी जगहों के योजना तैयार करती है। अंतरिक्ष में 216 वर्ग मीटर का क्षेत्र है, और उसने एक योजना बनाई जहां एक स्विमिंग पूल 64 वर्ग मीटर लेता है। जेन द्वारा अपना डिज़ाइन प्रस्तुत करने से ठीक पहले, ग्राहक इस आवश्यकता के साथ आता है कि कम से कम एक तिहाई स्थान पर पूल का कब्जा होना चाहिए। क्या उसे एक नयी योजना बनानी है, या क्या वह मौजूदा योजना जमा कर सकती है?

यह निर्धारित करने के लिए कि उसे एक नयी योजना बनानी है या नहीं, उसे पूल क्षेत्र के कुल बाहरी क्षेत्र के अनुपात का पता लगाना होगा और फिर उस मान की तुलना 1/3 से करनी होगी।

यह दिया गया है कि पूल 64 वर्ग मीटर में है, जबकि कुल बाहरी क्षेत्र 216 वर्ग मीटर है। इसलिए, आवश्यक अनुपात है: 64/216।

अनुपात सबसे कम अंको में नहीं है। इसलिए, हम इसे सरल बना सकते हैं। हम अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य कारक (GFC) से विभाजित करके अनुपात को सरल बना सकते हैं।

अंश (64) और हर (216) का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 8 है। दोनों पदों को GCF, 8 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

इसलिए,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

पूल कुल बाहरी क्षेत्र के 8/27 पर कब्जा करता है। हालाँकि, ग्राहक चाहता है कि वह कुल क्षेत्रफल का कम से कम 1/3 या 9/27 भाग ले। 8/27 < 9/27, और दुर्भाग्य से, जेन को एक नयी योजना बनानी है।

अनुपात को सरल बनाना

समस्या का समाधान जल्दी से खोजने के लिए, क्रमशः A और B (या C और D) की जगह में 64 और 216 दर्ज करें, और "गणना करें" दबाएं।

उत्तर:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

लापता मान ढूँढना

निम्नलिखित अनुपात में लापता मान ज्ञात कीजिए:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

अज्ञात अनुपात मान को हल करने के लिए, हम अनुपात सूत्र का उपयोग करते हैं। इसमें कहा गया है कि साधनों का गुणनफल हमेशा चरम अनुपात के गुणनफल के बराबर होता है। हम दिए गए अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

इस अनुपात में 99 और 4 साधन हैं, और 3 और अज्ञात मान x चरम हैं। इसलिए:

$$3 × X = 4 × 99$$

और

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

उत्तर

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

उदाहरण 2

हेलेन एक अनुवादक को अंग्रेजी से जापानी में कई लेखों का अनुवाद करने का आर्डर देना चाहती है। अनुवादक की वेबसाइट 600-शब्दों के अनुवाद के लिए $20 की औसत दर दिखाती है। हेलेन के लेख कुल मिलाकर लगभग 20,000 शब्दों के हैं। यदि अनुवादक उसे छूट देने से इंकार कर देता है तो वह ऑर्डर लागत की गणना कैसे करेगी?

फ़ील्ड A और C में कुछ समकक्ष इकाइयाँ दर्ज करें। फ़ील्ड B और D में अन्य समकक्ष इकाइयाँ दर्ज करें।

इस उदाहरण में, हम शब्दों की संख्या के लिए A और C का और पैसे के लिए B और D का उपयोग करते हैं। A और B की जगह पहले मामले (अनुवादक की वर्तमान दर) के लिए हैं, और C और D की जगह दूसरे मामले (हेलेन के आर्डर के लिए संभावित दर) के लिए हैं।

• A की जगह की जगह में, अनुवादक की दर से शब्दों की संख्या दर्ज करें - 600।
• B की जगह में, आप 600 शब्दों के लिए मूल्य दर्ज करें, यानी 20।
• C की जगह में, अपने क्रम में शब्दों की संख्या दर्ज करें, यानी 20,000।
• और D की जगह में आपको 666.6666666666667 नतीजा मिलता है।

फिर आप परिणाम को $667 तक बढ़ा सकते हैं। यह मत भूलें कि हेलेन थोक आर्डर के लिए छूट मांग सकती है, लेकिन $667 बातचीत में एक प्रारंभिक बिंदु हो सकता है।

उदाहरण 3

जैक इंडोनेशिया में छुट्टी पर है और इंडोनेशियाई रुपिया की स्थानीय मुद्रा के लिए अपने नकद डॉलर का आदान-प्रदान करना चाहता है। उसे यामाहा एक्स-मैक्स मैक्सी-स्कूटर किराए पर देने के लिए पैसे की जरूरत है, जिसकी कीमत 3,500,000 रुपये प्रति माह है।

वह जानता है कि आज उसके होटल के निकटतम विनिमय केंद्र पर विनिमय दर एक अमेरिकी डॉलर के लिए 14,750 रुपये है। 3,500,000 रुपये प्राप्त करने के लिए उसे कितने डॉलर का आदान-प्रदान करने की आवश्यकता है?

और फिर, हम A और C की जगह में कुछ समकक्ष इकाइयों और B और D की जगह में अन्य समकक्ष इकाइयों का उपयोग करते हैं।

इस उदाहरण में, हम इंडोनेशियाई रुपिया के लिए A और С और यू.एस. डॉलर के लिए B और D का उपयोग करते हैं।

• A बक्से में, प्रति $1 - 14,750 रुपये की संख्या दर्ज करें।
• B के जगह में, आप उस राशि के बराबर डॉलर में दर्ज करते हैं, अर्थात, 1.
• C के जगह में, आप जितने रुपये प्राप्त करना चाहते हैं, वह दर्ज करें, यानी 3,500,000।
• D के जगह में आपको वह राशि मिलेगी जो आप डॉलर में चाहते हैं, यानी 237.28813559322।

यह पता चला है कि अगर मुद्रा परिवर्तक कमीशन नहीं लेता है, तो उसे एक महीने के लिए स्कूटर के किराए का भुगतान करने के लिए कम से कम $ 237 का आदान-प्रदान करना होगा। वह संभवतः एक पूर्णांक राशि - $250 या $300 का आदान-प्रदान करेगा।

आनुपातिक गुण

अनुपात की सबसे महत्वपूर्ण गुण (और सबसे उपयोगी) साधन-चरम गुण है। हालांकि, अनुपात में कुछ अन्य दिलचस्प गुण होते हैं।

साधन और चरम क्रमपरिवर्तन:

यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

फिर, साधन क्रमपरिवर्तन के साथ, निम्नलिखित सत्य है:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

और, चरम के क्रमपरिवर्तन के साथ, निम्नलिखित सत्य है:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

अनुपात को बढ़ाना और घटाना निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जा सकता है:

यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

फिर अनुपात को निम्नानुसार बढ़ाया जा सकता है:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

और इस प्रकार घटा:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

जोड़ और घटाकर अनुपात बनाना यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

तब निम्नलिखित सत्य है:

$$\frac{a c}{b d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

और

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

सुनहरा अनुपात

गणित में, दो मान सुनहरे अनुपात में होते हैं यदि बड़े मान का छोटे से अनुपात इन मानों के योग के बड़े मान के अनुपात के समान होता है। या, गणितीय शब्दों में: a>b>0 के लिए, सुनहरा अनुपात निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$$\frac{a}{b}=\frac{a b}{a}$$

मानव मस्तिष्क सुनहरे अनुपात को भागों का संपूर्ण अनुपात मानता है। और प्रकृति, विज्ञान और कला में अक्सर स्वर्णिम अनुपात देखा जाता है।