अनुपात गणक

अनुपात कैलकुलेटर

यह अनुपात कैलकुलेटर (Ratio Calculator) आपको अनुपातों को सरल बनाने, किसी अनुपात में अज्ञात या मिसिंग वैल्यू (missing value) खोजने, और यह जाँचने में मदद करता है कि दिए गए दो अनुपात समान हैं या नहीं। यह कैलकुलेटर इनपुट के रूप में पूर्णांकों (integers), दशमलव (decimals), और वैज्ञानिक ई-नोटेशन (scientific e-notation) वाली संख्याओं को स्वीकार करता है। वैज्ञानिक ई-नोटेशन वाली संख्या का एक उदाहरण 2e5 है, जो 2 × 10⁵ के बराबर है। इसमें 15-कैरेक्टर की इनपुट सीमा है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक इनपुट बॉक्स (A, B, C, या D) में 15 से अधिक कैरेक्टर दर्ज नहीं किए जा सकते।

उपयोग के निर्देश

1. अनुपातों को सरल (Simplify) करने या कैलकुलेटर को अनुपात परिवर्तक (Ratio Converter) के रूप में उपयोग करने के लिए, अनुपात के किसी एक पक्ष के लिए अंश (numerator) और हर (denominator) दर्ज करें। उदाहरण के लिए, A और B या C और D में मान दर्ज करें। इसके बाद "कैलकुलेट करें" (Calculate) पर क्लिक करें। यह अनुपात कैलकुलेटर दिए गए अनुपात को सरल करेगा और उसे अपने सबसे छोटे और सरलतम रूप में प्रस्तुत करेगा।

यदि आपने पूर्णांकों या वैज्ञानिक ई-नोटेशन के रूप में मान दर्ज किए हैं, तो कैलकुलेटर समाधान के विस्तृत स्टेप्स (steps) भी दिखाएगा।

यदि दर्ज किया गया अनुपात पहले से ही अपने सबसे सरल रूप में है, तो कैलकुलेटर अंश और हर को 2 से गुणा करके आपको एक समतुल्य अनुपात (equivalent ratio) प्रदान करेगा।

2. किसी अनुपात में मिसिंग वैल्यू (अज्ञात मान) खोजने के लिए, तीन ज्ञात मान दर्ज करें और अज्ञात मान वाले बॉक्स को खाली छोड़ दें। आप किसी भी बॉक्स (A, B, C, या D) को अज्ञात मान के लिए खाली छोड़ सकते हैं। तीन ज्ञात मान दर्ज करने के बाद, "कैलकुलेट करें" पर क्लिक करें। कैलकुलेटर सभी चार मानों के साथ हल किए गए अनुपात को प्रदर्शित करेगा। यदि दर्ज किए गए मान पूर्णांक थे, तो कैलकुलेटर समस्या को हल करने की पूरी प्रक्रिया भी दिखाएगा।

परिभाषाएं और महत्वपूर्ण सूत्र

गणित में, अनुपात (Ratio) को दो संख्याओं 'a' और 'b' के क्रमित युग्म (ordered pair) के रूप में परिभाषित किया जाता है। हम एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करके दो मानों की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग करते हैं।

a और b के अनुपात को \$\frac{a}{b}\$, a/b या a:b के रूप में लिखा जा सकता है। आमतौर पर यह माना जाता है कि b ≠ 0 है क्योंकि b भिन्न के हर (denominator) में होता है। वास्तविक जीवन में किन्हीं दो राशियों की तुलना करने के लिए अनुपातों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक कक्षा में 2 लड़कियां और 6 लड़के हैं, तो लड़कियों और लड़कों का अनुपात 2:6 होगा। इसे सरल रूप में 1:3 लिखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक लड़की पर तीन लड़के हैं।

समानुपात (Proportion) एक ऐसा समीकरण है जो दर्शाता है कि दो अनुपात बराबर हैं। हमारे पिछले उदाहरण के अनुसार, इस समानुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$2:6::1:3$$

या

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

या

$$2:6=1:3$$

अनुपात a:b=c:d में, दूसरे और तीसरे पद (b और c) को "मध्य पद" (Means) कहा जाता है। पहले और अंतिम पद (a और d) को "चरम पद" (Extremes) कहा जाता है। समानुपात का एक बहुत ही महत्वपूर्ण गुण होता है, जिसे मध्य-चरम गुण (Means-Extremes Property) या आनुपातिक सूत्र (Proportion Formula) कहा जाता है।

आनुपातिक सूत्र (Proportion Formula)

किसी भी समानुपात a:b=c:d में, मध्य पदों (b और c) का गुणनफल हमेशा चरम पदों (a और d) के गुणनफल के बराबर होता है। गणितीय रूप में इसे ऐसे समझते हैं:

यदि

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

तो

$$a × d = b × c$$

यह सूत्र हमें किसी भी अनुपात का अज्ञात पद (missing term) ज्ञात करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें दिए गए समीकरण में 'a' का मान निकालना है, तो हम आनुपातिक सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करेंगे:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

आइए ऊपर वर्णित तीनों स्थितियों के व्यावहारिक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

जेन एक लैंडस्केप डिज़ाइनर है जो अपने क्लाइंट के लिए एक आउटडोर स्पेस का प्लान तैयार कर रही है। उस जगह का कुल क्षेत्रफल 216 वर्ग मीटर है, और उसने एक ऐसा डिज़ाइन बनाया है जिसमें स्विमिंग पूल 64 वर्ग मीटर की जगह लेता है। जेन द्वारा अपना डिज़ाइन प्रस्तुत करने से ठीक पहले, क्लाइंट एक नई शर्त रखता है कि पूल कम से कम एक-तिहाई (1/3) जगह में होना चाहिए। क्या उसे एक नया डिज़ाइन बनाना होगा, या वह इसी प्लान को सबमिट कर सकती है?

यह तय करने के लिए कि नया प्लान बनाना है या नहीं, उसे कुल बाहरी क्षेत्रफल के मुकाबले पूल के क्षेत्रफल का अनुपात निकालना होगा और फिर उस मान की तुलना 1/3 से करनी होगी।

दिया गया है कि पूल का क्षेत्रफल 64 वर्ग मीटर है, जबकि कुल बाहरी क्षेत्रफल 216 वर्ग मीटर है। इसलिए, आवश्यक अनुपात है: 64/216।

यह अनुपात अपने सबसे सरल रूप में नहीं है। इसलिए, हम इसे सरल बना सकते हैं। हम अंश (numerator) और हर (denominator) को उनके महत्तम समापवर्तक (Greatest Common Factor - GCF) से विभाजित करके अनुपात को सरल बना सकते हैं।

अंश (64) और हर (216) का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (GCF) 8 है। दोनों पदों को GCF (8) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

इसलिए,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

पूल कुल क्षेत्रफल का 8/27 हिस्सा घेरता है। हालाँकि, क्लाइंट चाहता है कि पूल कुल क्षेत्रफल का कम से कम 1/3 या 9/27 भाग ले। चूंकि 8/27 < 9/27 है, दुर्भाग्य से, जेन को एक नया प्लान बनाना होगा।

अनुपात को सरल बनाना

इस समस्या का समाधान तुरंत खोजने के लिए, कैलकुलेटर में क्रमशः A और B (या C और D) की जगह 64 और 216 दर्ज करें, और "कैलकुलेट करें" पर क्लिक करें।

उत्तर:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

मिसिंग वैल्यू (अज्ञात मान) ढूँढना

निम्नलिखित समीकरण में अज्ञात मान ज्ञात कीजिए:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

अज्ञात मान को हल करने के लिए, हम आनुपातिक सूत्र का उपयोग करते हैं। यह बताता है कि मध्य पदों (means) का गुणनफल हमेशा चरम पदों (extremes) के गुणनफल के बराबर होता है। हम दिए गए अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

इस अनुपात में 99 और 4 मध्य पद हैं, और 3 और अज्ञात मान x चरम पद हैं। इसलिए:

$$3 × X = 4 × 99$$

और

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

उत्तर

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

उदाहरण 2

हेलेन एक फ्रीलांस अनुवादक को अंग्रेजी से जापानी में कई लेखों का अनुवाद करने का काम देना चाहती है। अनुवादक की वेबसाइट 600 शब्दों के अनुवाद के लिए $20 की औसत दर (rate) दिखाती है। हेलेन के पास अनुवाद के लिए कुल मिलाकर लगभग 20,000 शब्द हैं। यदि अनुवादक उसे किसी भी प्रकार का डिस्काउंट देने से मना कर देता है, तो वह अपने आर्डर की कुल लागत की गणना कैसे करेगी?

कैलकुलेटर के फील्ड A और C में एक प्रकार की इकाइयाँ (units) दर्ज करें। फील्ड B और D में दूसरे प्रकार की इकाइयाँ दर्ज करें।

इस उदाहरण में, हम शब्दों की संख्या के लिए A और C का उपयोग करते हैं और पैसों (डॉलर) के लिए B और D का। A और B की जगह पहली स्थिति (अनुवादक की वर्तमान दर) के लिए हैं, और C और D की जगह दूसरी स्थिति (हेलेन के आर्डर के लिए संभावित लागत) के लिए हैं।

• फील्ड A में, अनुवादक की दर के अनुसार शब्दों की संख्या दर्ज करें - 600।
• फील्ड B में, 600 शब्दों की कीमत दर्ज करें, यानी 20।
• फील्ड C में, अपने आर्डर के कुल शब्दों की संख्या दर्ज करें, यानी 20,000।
• ऐसा करने पर फील्ड D में आपको 666.6666666666667 परिणाम मिलेगा।

आप इस परिणाम को राउंड ऑफ करके $667 मान सकते हैं। ध्यान रहे कि हेलेन इस बड़े आर्डर (bulk order) के लिए डिस्काउंट की मांग कर सकती है, लेकिन मोलभाव (negotiation) के लिए $667 एक शुरुआती बिंदु हो सकता है।

उदाहरण 3

जैक इंडोनेशिया में छुट्टियां मना रहा है और वह अपने पास मौजूद अमेरिकी डॉलर (Cash Dollars) को स्थानीय मुद्रा, इंडोनेशियाई रुपिया (IDR) में बदलना चाहता है। उसे एक यामाहा एक्स-मैक्स मैक्सी-स्कूटर किराए पर लेने के लिए पैसों की आवश्यकता है, जिसका मासिक किराया 3,500,000 रुपये है।

उसे पता है कि उसके होटल के पास वाले मनी एक्सचेंज पर आज की विनिमय दर (exchange rate) 1 अमेरिकी डॉलर के बदले 14,750 रुपये है। तो 3,500,000 रुपये प्राप्त करने के लिए उसे कितने डॉलर बदलने होंगे?

यहाँ फिर से, हम A और C के बॉक्स में एक प्रकार की इकाई और B और D के बॉक्स में दूसरी प्रकार की इकाई का उपयोग करते हैं।

इस उदाहरण में, हम इंडोनेशियाई रुपिया के लिए A और С का उपयोग करते हैं और यू.एस. डॉलर के लिए B और D का।

• फील्ड A में, $1 के बदले मिलने वाले रुपये दर्ज करें - 14,750।
• फील्ड B में, उस राशि के बराबर डॉलर दर्ज करें, अर्थात 1।
• फील्ड C में, आपको जितने रुपये चाहिए वो दर्ज करें, यानी 3,500,000।
• फील्ड D में आपको वह राशि मिलेगी जो आपको डॉलर में चाहिए, यानी 237.28813559322।

इससे यह स्पष्ट होता है कि यदि मनी एक्सचेंजर कोई कमीशन नहीं लेता है, तो जैक को एक महीने के स्कूटर किराए का भुगतान करने के लिए कम से कम $237 एक्सचेंज करने होंगे। व्यावहारिक रूप से, वह संभवतः एक पूर्णांक राशि - जैसे $250 या $300 एक्सचेंज करेगा।

आनुपातिक गुण (Properties of Proportion)

अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण (और सबसे उपयोगी) गुण मध्य-चरम गुण (Means-Extremes Property) है। हालाँकि, अनुपातों के कुछ अन्य दिलचस्प गणितीय गुण भी हैं।

मध्य और चरम पदों का स्थान परिवर्तन (Permutation):

यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

तो, मध्य पदों (means) की अदला-बदली करने पर, निम्नलिखित सत्य होगा:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

और, चरम पदों (extremes) की अदला-बदली करने पर, निम्नलिखित सत्य होगा:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

अनुपातों को निम्नलिखित नियमों के अनुसार बढ़ाया और घटाया जा सकता है (Componendo and Dividendo के समान):

यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

तो अनुपात को इस प्रकार बढ़ाया (Add) जा सकता है:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

और इस प्रकार घटाया (Subtract) जा सकता है:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

अनुपातों को जोड़कर और घटाकर नए अनुपात बनाना यदि

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

तब निम्नलिखित सत्य है:

$$\frac{a c}{b d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

और

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

स्वर्णिम अनुपात (Golden Ratio)

गणित में, दो मान स्वर्णिम अनुपात (Golden Ratio) में तब माने जाते हैं, जब बड़े मान का छोटे मान से अनुपात, उन दोनों मानों के योग का बड़े मान से अनुपात के बिल्कुल समान हो। गणितीय शब्दों में: a>b>0 के लिए, स्वर्णिम अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\frac{a}{b}=\frac{a b}{a}$$

मानव मस्तिष्क इस स्वर्णिम अनुपात को भागों और संपूर्ण के बीच का एक आदर्श और सौंदर्यपूर्ण अनुपात मानता है। यही कारण है कि प्रकृति, विज्ञान, वास्तुकला और कला में अक्सर स्वर्णिम अनुपात देखा जाता है।