Verhoudingscalculator

Verhoudingscalculator

Met de online verhoudingscalculator kun je eenvoudig verhoudingen vereenvoudigen, ontbrekende waarden in een evenredigheid berekenen en controleren of twee gegeven verhoudingen gelijkwaardig zijn. De rekenmachine accepteert zowel standaardgetallen als getallen in wetenschappelijke notatie (E-notatie) als invoer. Een voorbeeld van een getal in E-notatie is 2e5, wat gelijk staat aan 2 × 10⁵. Er geldt een invoerlimiet van 15 tekens; dit betekent dat elke ingevoerde waarde (A, B, C of D) maximaal 15 tekens mag bevatten.

Gebruiksaanwijzing

1. Om de tool als een verhoudingsconverter te gebruiken – oftewel om een verhouding of breuk te vereenvoudigen – voer je de teller en noemer in aan één zijde van de vergelijking. Vul A en B in, of C en D. Klik vervolgens op "Berekenen". De verhoudingscalculator zal de ingevoerde verhouding direct vereenvoudigen en het antwoord in de kleinst mogelijke termen weergeven.

Als de bekende waarden zijn ingevoerd als gehele getallen of in wetenschappelijke notatie, toont de rekenmachine ook de berekening stap voor stap.

Staat de ingevoerde waarde al in de eenvoudigste vorm? In dat geval genereert de tool een gelijkwaardige verhouding door zowel de teller als de noemer met 2 te vermenigvuldigen.

2. Wil je de rekenmachine gebruiken om een ontbrekende waarde in een verhouding te berekenen? Voer dan de drie bekende waarden in en laat het veld van de onbekende waarde leeg. Je kunt elk veld (A, B, C of D) als onbekende gebruiken. Druk na het invullen op "Berekenen". De calculator toont vervolgens de opgeloste evenredigheid met alle vier de waarden. Bij gehele getallen wordt ook de volledige uitwerking van de wiskundige oplossing weergegeven.

Definities en belangrijke formules

In de wiskunde wordt een verhouding (of ratio) gedefinieerd als een geordend paar getallen a en b. We gebruiken verhoudingen om twee waarden met elkaar te vergelijken door het ene getal door het andere te delen.

Een verhouding tussen a en b kan worden geschreven als a/b of a:b. Over het algemeen gaan we ervan uit dat b ≠ 0, omdat b de noemer van de breuk is. Verhoudingen worden in de praktijk ontzettend veel gebruikt om hoeveelheden te vergelijken.

Zitten er bijvoorbeeld 2 meisjes en 6 jongens in een klas, dan is de verhouding meisjes ten opzichte van jongens 2:6. Vereenvoudigd is dit 1:3, wat betekent dat er voor elk meisje precies drie jongens zijn.

Een evenredigheid is een wiskundige vergelijking die stelt dat twee verhoudingen aan elkaar gelijk zijn. In ons vorige voorbeeld kan deze evenredigheid als volgt worden genoteerd:

$$2:6::1:3$$

Of

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

of

$$2:6=1:3$$

In een evenredigheid a:b=c:d worden de tweede en derde term (b en c) de "middelste termen" (of binnenste termen) genoemd. De eerste en laatste term (a en d) noemen we de "uiterste termen" (of buitenste termen). Verhoudingen en evenredigheden hebben een cruciale wiskundige eigenschap: het kruislings vermenigvuldigen (ook wel de hoofdeigenschap van evenredigheden genoemd).

De verhoudingsformule

Bij elke kloppende evenredigheid a:b=c:d is het product van de middelste termen (b × c) gelijk aan het product van de uiterste termen (a × d). Wiskundig gezien:

Als

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Dan

$$a × d = b × c$$

Met deze formule kunnen we heel eenvoudig een ontbrekende term in een verhouding berekenen. Moeten we bijvoorbeeld de waarde van a weten, dan schrijven we de verhoudingsformule als volgt om:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Laten we eens kijken naar praktische rekenvoorbeelden van de drie scenario's die we hierboven hebben beschreven.

Voorbeeld 1

Jane is landschapsarchitect en ontwerpt een buitenruimte voor een klant. De totale oppervlakte is 216 vierkante meter en ze heeft een ontwerp gemaakt waarin een zwembad van 64 vierkante meter is verwerkt. Vlak voordat Jane haar ontwerp wil presenteren, geeft de klant aan dat het zwembad minstens een derde van de totale ruimte in beslag moet nemen. Moet ze nu een nieuw ontwerp maken of is haar huidige ontwerp goed genoeg?

Om dit te bepalen, moet ze de verhouding tussen de oppervlakte van het zwembad en de totale buitenruimte berekenen en dit vergelijken met 1/3 (aangezien het zwembad minimaal 1/3 van de ruimte moet innemen).

Het zwembad beslaat 64 vierkante meter op een totale ruimte van 216 vierkante meter. De actuele verhouding is dus 64/216. Deze breuk staat nog niet in de eenvoudigste vorm. We kunnen de verhouding vereenvoudigen door de teller en de noemer te delen door hun Grootste Gemene Deler (GGD).

De Grootste Gemene Deler van de teller (64) en de noemer (216) is 8. Door beide termen te delen door deze GGD van 8, krijgen we:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Daarom is de vereenvoudigde verhouding:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Het zwembad beslaat in het huidige ontwerp 8/27 van de totale buitenruimte. De klant eist echter dat het zwembad minimaal 1/3, oftewel 9/27 van het totaaloppervlak inneemt. Aangezien 8/27 < 9/27, voldoet het huidige plan niet en zal Jane helaas een nieuw ontwerp moeten maken.

De verhouding vereenvoudigen

Om deze berekening snel en foutloos uit te voeren met onze verhoudingscalculator, voer je simpelweg 64 in bij veld A en 216 bij veld B (of gebruik C en D). Klik vervolgens op "Berekenen".

Antwoord:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Een ontbrekende waarde vinden

Bereken de ontbrekende waarde (x) in de volgende verhouding:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Om een onbekende in een evenredigheid op te lossen, gebruiken we het principe van kruislings vermenigvuldigen. Dit stelt dat het product van de middelste termen altijd gelijk is aan het product van de uiterste termen. We kunnen de gegeven evenredigheid dus als volgt opschrijven:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

In deze vergelijking zijn 99 en 4 de middelste termen, en 3 en de onbekende waarde x de uiterste termen. Dat geeft de volgende berekening:

$$3 × X = 4 × 99$$

En

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Antwoord:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Voorbeeld 2

Helen wil een vertaler inhuren om een aantal artikelen van het Engels naar het Japans te laten vertalen. Op de website van de vertaler staat een standaardtarief van $20 per 600 woorden. Helens artikelen bevatten in totaal zo'n 20.000 woorden. Hoe berekent ze de totale kosten van haar opdracht als de vertaler geen korting geeft?

In de calculator voer je de equivalente eenheden in. We gebruiken velden A en C voor het ene type eenheid (woorden) en velden B en D voor het andere (geld). A en B vertegenwoordigen de bekende situatie (het standaardtarief), en C en D vertegenwoordigen Helens specifieke opdracht.

• Vul in veld A het bekende aantal woorden in: 600.
• Vul in veld B de bijbehorende prijs in voor die 600 woorden: 20.
• Vul in veld C het totale aantal woorden van de nieuwe opdracht in: 20.000.
• In veld D verschijnt vervolgens automatisch de uitkomst: 666,66666666667.

Je kunt dit bedrag naar boven afronden op $667. Helen zou uiteraard nog om een volumekorting kunnen vragen voor deze grote bestelling, maar $667 is in ieder geval de basisprijs en een uitstekend startpunt voor onderhandelingen.

Voorbeeld 3

Jack is op vakantie in Indonesië en wil zijn contante Amerikaanse dollars omwisselen voor de lokale valuta: de Indonesische roepia (IDR). Hij heeft contant geld nodig om de huur van een Yamaha X-Max motorscooter te betalen, wat hem 3.500.000 roepia per maand kost.

Hij ziet dat de actuele wisselkoers bij het dichtstbijzijnde wisselkantoor 14.750 roepia voor één Amerikaanse dollar bedraagt. Hoeveel dollars moet hij omwisselen om precies 3.500.000 roepia in handen te krijgen?

Ook hier gebruiken we equivalente eenheden: A en C voor de ene valuta, en B en D voor de andere. In dit voorbeeld gebruiken we A en C voor Indonesische roepia, en B en D voor Amerikaanse dollars.

• Vul in veld A de wisselkoers in roepia's per $1 in: 14.750.
• Vul in veld B het equivalente bedrag in dollars in: 1.
• Vul in veld C het doelbedrag in roepia's in dat Jack nodig heeft: 3.500.000.
• In veld D verschijnt vervolgens de benodigde hoeveelheid dollars: 237,28813559322.

Als het wisselkantoor geen extra commissie rekent, moet Jack dus minimaal $237 wisselen om de huur van de scooter voor een maand te kunnen betalen. In de praktijk zal hij dit bedrag waarschijnlijk naar boven afronden en $250 of $300 omwisselen.

De rekenmachine gebruiken om de oplossing te controleren

Wil je de online calculator gebruiken om te controleren of twee verhoudingen, bijvoorbeeld 4/16 en 3/12, gelijk aan elkaar zijn? Voer dan 4 in bij veld A en 16 bij veld B om de ene kant van de vergelijking te vullen. Vul vervolgens 3 in bij veld C en 12 bij veld D voor de andere kant. Druk op "Berekenen".

Antwoord:

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

De uitkomst is: WAAR

Eigenschappen van verhoudingen

De belangrijkste (en meest gebruikte) eigenschap van evenredigheden is de eigenschap van kruislings vermenigvuldigen (product van de middelste en uiterste termen). Er zijn echter nog een paar andere interessante wiskundige eigenschappen.

Het omkeren van middelste en uiterste termen (Permutatie):

Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan geldt door het omwisselen van de middelste termen ook:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

En door het omwisselen van de uiterste termen is ook dit waar:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Verhoudingen verhogen en verlagen:

Dit kan worden gedaan volgens de volgende wiskundige regels:

Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan kan de verhouding als volgt worden verhoogd:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

En als volgt worden verlaagd:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Nieuwe verhoudingen samenstellen door optellen en aftrekken:

Als

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dan kloppen de volgende vergelijkingen ook:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

En

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

De Gulden Snede

In de wiskunde staan twee waarden in de verhouding van de gulden snede (golden ratio) als de verhouding tussen de grootste en de kleinste waarde gelijk is aan de verhouding tussen de som van deze waarden en de grootste waarde. In wiskundige termen kan de gulden snede voor a > b > 0 als volgt worden uitgedrukt:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Het menselijk brein ervaart de gulden snede vaak als de meest esthetische en perfecte verhouding tussen delen en het geheel. Deze unieke, wiskundige verhouding is dan ook overal om ons heen te vinden in de natuur, wetenschap, architectuur en kunst.