Forholdsberegner

Forholdsberegner

Vores alsidige forholdsberegner giver dig mulighed for ubesværet at forenkle forhold, finde manglende værdier i proportioner og bestemme, om to givne forhold er ækvivalente. Dette værktøj accepterer en række forskellige input, herunder heltal, decimaltal og tal i videnskabelig e-notation. For eksempel repræsenterer et tal i videnskabelig e-notation som 2e5 2 × 10⁵. Bemærk venligst, at der er en grænse på 15 tegn for hvert inputfelt, hvilket betyder, at felt A, B, C eller D ikke kan overskride denne længde.

Brugsanvisning

1. For at bruge lommeregneren som en forholds-konverter – eller med andre ord, for at forenkle et forhold – skal du indtaste tælleren og nævneren for den ene side af forholdet. Indtast disse i felt A og B, eller C og D. Klik derefter på "Beregn". Forholdsforenkleren vil straks behandle det givne forhold og returnere svaret i dets mindste heltal (forkortet).

Hvis de kendte værdier indtastes som heltal eller i videnskabelig e-notation, vil lommeregneren også vise trin-for-trin-løsningen.

Hvis den indtastede værdi allerede er i sin enkleste form, vil lommeregneren generere et ækvivalent forhold ved at gange både tælleren og nævneren med 2.

2. For at bruge proportionsberegneren til at finde en manglende værdi, skal du indtaste de tre kendte værdier og lade feltet for den ukendte værdi stå tomt. Du kan lade ethvert af felterne stå tomt – A, B, C eller D. Efter at have indtastet de tre kendte værdier, skal du klikke på "Beregn". Værktøjet vil løse proportionen og vise alle fire værdier. Hvis du indtaster heltal, vil lommeregneren også give en trin-for-trin-løsning på problemet.

Definitioner og vigtige formler

I matematikken defineres et forhold som et ordnet par af tal, a og b. Vi bruger forhold til at sammenligne to værdier ved at dividere det ene tal med det andet.

Et forhold mellem a og b kan skrives som \$\frac{a}{b}\$, a/b eller a:b. Det antages generelt, at b ≠ 0, da b repræsenterer nævneren i brøken. Forhold er meget udbredt i hverdagen til at sammenligne to vilkårlige mængder.

For eksempel, hvis en klasse består af 2 piger og 6 drenge, er forholdet mellem piger og drenge 2:6. I forenklet (forkortet) form er dette 1:3, hvilket betyder, at for hver pige er der tre drenge.

En proportion er et matematisk udtryk, der sætter to forhold lig med hinanden. Med vores tidligere eksempel kan proportionen skrives som følger:

$$2:6::1:3$$

eller

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

eller

$$2:6=1:3$$

I proportionen a:b=c:d kendes det andet og tredje led (b og c) som proportionens "mellemled". Det første og sidste led (a og d) kaldes "yderled". Proportioner besidder en grundlæggende egenskab kendt som mellemled-yderled-reglen, eller proportionsformlen.

Proportionsformlen

I enhver proportion a:b=c:d er produktet af mellemleddene (b × c) lig med produktet af yderleddene (a × d). Matematisk udtrykkes dette som:

Hvis

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Så

$$a × d = b × c$$

Denne formel giver os mulighed for nemt at finde et manglende led i enhver proportion. Hvis vi for eksempel har brug for at isolere a i en given proportion, omarrangerer vi blot proportionsformlen på følgende måde:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Lad os se på nogle praktiske beregningseksempler, der dækker alle tre af de ovennævnte scenarier.

Eksempel 1

Jane er landskabsarkitekt og planlægger et udendørsområde for en kunde. Det samlede areal er 216 kvadratmeter, og hun har udarbejdet et udkast med en swimmingpool, der dækker 64 kvadratmeter. Lige inden Jane afleverer sit forslag, tilføjer kunden et nyt krav: Poolen skal udgøre mindst en tredjedel af det samlede areal. Er Jane nødt til at lave et nyt design, eller kan hun aflevere sit nuværende forslag?

For at afgøre dette skal Jane beregne forholdet mellem poolens areal og det samlede udendørsareal og sammenligne den værdi med 1/3.

Da poolen er 64 kvadratmeter, og det samlede areal er 216 kvadratmeter, er det oprindelige forhold: 64/216.

Da dette forhold ikke er forkortet mest muligt, kan vi forenkle det. Vi forenkler forholdet ved at dividere både tælleren og nævneren med deres største fælles divisor (SFD).

Den største fælles divisor for 64 (tælleren) og 216 (nævneren) er 8. Ved at dividere begge led med en SFD på 8, får vi:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Derfor,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Poolen udgør i øjeblikket 8/27 af det samlede udendørsareal. Kunden bad dog om, at den skulle fylde mindst 1/3, hvilket svarer til 9/27. Da 8/27 < 9/27, er Jane desværre nødt til at udarbejde et nyt design.

Forenkling af forholdet

For hurtigt at finde løsningen med vores forholdsforenkler, indtaster du blot henholdsvis 64 og 216 i felt A og B (eller C og D), og klikker på "Beregn".

Svar:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Find en manglende værdi

Lad os finde den manglende værdi i følgende proportion:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

For at finde en ukendt værdi i en proportion anvender vi proportionsformlen, som siger, at produktet af mellemleddene altid er lig med produktet af yderleddene. Vi kan skrive den givne proportion således:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Her er 99 og 4 mellemleddene, mens 3 og den ukendte værdi x er yderleddene. Derfor:

$$3 × X = 4 × 99$$

og

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Svar

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Eksempel 2

Helen har brug for at hyre en freelance-oversætter til at oversætte flere artikler fra engelsk til japansk. Oversætterens hjemmeside angiver en gennemsnitspris på $20 per 600 ord. Helens artikler tæller i alt cirka 20.000 ord. Hvordan kan hun beregne de samlede omkostninger for sin bestilling, hvis oversætteren ikke tilbyder mængderabat?

Du kan nemt løse dette ved at indtaste tilsvarende enheder i lommeregneren. Brug felt A og C til det ene sæt af tilsvarende enheder, og felt B og D til det andet.

I dette scenarie bruger vi felt A og С til ordantallet, og felt B og D til prisen. Felt A og B repræsenterer den kendte pris (oversætterens gældende takst), mens felt C og D repræsenterer Helens specifikke bestilling.

• I felt A indtaster du antallet af ord for oversætterens grundtakst, hvilket er 600.
• I felt B indtaster du prisen for de 600 ord, hvilket er 20.
• I felt C indtaster du det samlede antal ord i din bestilling, hvilket er 20.000.
• I felt D vil lommeregneren vise resultatet: 666,66666666667.

Helen kan runde dette resultat op til $667. Selvom hun altid kan forhandle sig frem til en mængderabat, giver $667 hende et solidt udgangspunkt for forhandlingerne.

Eksempel 3

Jack er på ferie i Indonesien og har brug for at veksle sine amerikanske dollars til den lokale valuta, indonesiske rupiah. Han har brug for kontanter til at leje en Yamaha X-Max maxi-scooter, som koster 3.500.000 rupiah om måneden.

Han ved, at dagens vekselkurs på det vekselkontor, der ligger tættest på hans hotel, er 14.750 rupiah for 1 amerikansk dollar. Hvor mange dollars skal han veksle for at få præcis 3.500.000 rupiah?

Endnu en gang placerer vi tilsvarende enheder i felt A og C, og de andre tilsvarende enheder i felt B og D.

I dette eksempel vil A og С repræsentere indonesiske rupiah, mens B og D vil repræsentere amerikanske dollars.

• I felt A indtaster du antallet af rupiah per $1, hvilket er 14.750.
• I felt B indtaster du dollarværdien af dette beløb, hvilket er 1.
• I felt C indtaster du det samlede antal rupiah, som Jack har brug for, hvilket er 3.500.000.
• I felt D vil du få det krævede beløb i dollars: 237,28813559322.

Forudsat at vekselereren ikke opkræver provision, skal Jack veksle mindst $237 for at dække sin scooterleje for måneden. Realistisk set vil han nok veksle et mere rundt beløb, såsom $250 eller $300.

Brug af lommeregneren til at finde løsningen

For at bruge ækvivalens-forholdsberegneren til at sammenligne to forhold – såsom 4/16 og 3/12 – indtaster du 4 i felt A og 16 i felt B for at udfylde den ene side af proportionen. Indtast derefter 3 i felt C og 12 i felt D for den anden side. Klik til sidst på "Beregn".

Svar

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

er SANDT

Egenskaber for proportioner

Den mest kritiske og nyttige egenskab ved proportioner er mellemled-yderled-reglen. Proportioner har dog også adskillige andre interessante matematiske egenskaber.

Ombytning af mellemled og yderled:

Hvis

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Så gælder følgende ved ombytning af mellemleddene:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Og ved ombytning af yderleddene gælder følgende:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Forøgelse og mindskelse af proportionen kan gøres i overensstemmelse med følgende regler:

Hvis

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Så kan proportionen forøges som følger:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

Og mindskes som følger:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Sammensætning af en proportion ved addition og subtraktion Hvis

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Så gælder følgende:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Og

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Det gyldne snit

I matematikken befinder to værdier sig i det gyldne snit, hvis forholdet mellem den største værdi og den mindste værdi er lig med forholdet mellem deres sum og den største værdi. Matematisk set skrives formlen for det gyldne snit for a>b>0 på følgende måde:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Den menneskelige hjerne opfatter i sagens natur det gyldne snit som den mest æstetisk tiltalende proportion mellem dele og en helhed. Det er ikke overraskende, at det gyldne snit ofte observeres overalt i naturen, videnskaben og kunsten.