Калькулятор відношень

Калькулятор відношень

Наш зручний онлайн-калькулятор відношень дозволяє швидко та без зусиль спрощувати математичні відношення, знаходити невідомі значення в пропорціях, а також перевіряти еквівалентність двох заданих співвідношень. Цей інструмент підтримує різні формати вхідних даних: цілі та десяткові числа, а також числа в експоненційному записі. Наприклад, експоненційний запис 2e5 означає 2 × 10⁵. Зверніть увагу: максимальна довжина для кожного поля вводу становить 15 символів (поля A, B, C або D не можуть перевищувати цей ліміт).

Інструкція з використання

1. Щоб скористатися калькулятором для перетворення (спрощення) відношення, введіть чисельник та знаменник для однієї сторони пропорції. Заповніть поля A і B або C і D. Після цього натисніть «Обчислити» (Calculate). Інструмент миттєво опрацює дані та видасть результат у нескоротному (найпростішому) вигляді.

Якщо ви ввели цілі числа або експоненційні значення, система також покаже детальний покроковий розв'язок.

Якщо введене відношення вже є максимально спрощеним, калькулятор автоматично згенерує еквівалентне співвідношення, помноживши чисельник і знаменник на 2.

2. Щоб використати калькулятор пропорцій для знаходження невідомого значення, введіть три відомі величини, а поле для шуканого значення залиште порожнім. Ви можете залишити порожнім будь-яке з полів — A, B, C або D. Після введення трьох відомих значень натисніть «Обчислити» (Calculate). Інструмент розв'яже рівняння та покаже всі чотири значення. Для цілих чисел додатково відобразиться покроковий алгоритм розв'язання задачі.

Визначення та важливі формули

У математиці відношення (співвідношення) визначається як впорядкована пара чисел a та b. Воно використовується для порівняння двох величин шляхом ділення одного числа на інше.

Відношення a до b можна записати як \$\frac{a}{b}\$, a/b або a:b. Загальноприйнято вважати, що b ≠ 0, оскільки b є знаменником дробу. Відношення широко застосовуються в повсякденному житті для порівняння будь-яких предметів, величин чи явищ.

Наприклад, якщо в класі 2 дівчинки та 6 хлопчиків, відношення кількості дівчаток до хлопчиків становить 2:6. У спрощеному вигляді це 1:3. Це означає, що на кожну дівчинку припадає троє хлопчиків.

Пропорція — це математична рівність двох відношень. Використовуючи попередній приклад, цю пропорцію можна записати так:

$$2:6::1:3$$

або

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

або

$$2:6=1:3$$

У пропорції a:b=c:d другий і третій члени (b і c) називаються «середніми» членами, а перший і останній (a і d) — «крайніми». Пропорції мають фундаментальну властивість, відому як основна властивість пропорції.

Формула пропорції

Згідно з основною властивістю, у будь-якій пропорції a:b=c:d добуток середніх членів (b × c) завжди дорівнює добутку крайніх членів (a × d). Математично це виражається так:

Якщо

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Тоді

$$a × d = b × c$$

Ця формула дозволяє швидко знайти невідомий член у будь-якій пропорції. Наприклад, якщо потрібно розв'язати задану пропорцію відносно змінної a, ми просто перетворюємо формулу таким чином:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Розгляньмо кілька практичних прикладів обчислень, що ілюструють усі описані вище сценарії.

Приклад 1

Джейн — ландшафтна дизайнерка, яка планує облаштування прибудинкової території для клієнта. Загальна площа ділянки становить 216 квадратних метрів. За її планом басейн займає 64 квадратні метри. Перед самою презентацією проєкту клієнт висуває нову вимогу: басейн має займати щонайменше третину (1/3) від загальної площі. Чи доведеться Джейн переробляти проєкт, чи наявний план відповідає цим вимогам?

Щоб це з'ясувати, Джейн має обчислити відношення площі басейну до загальної площі території та порівняти отриманий результат із дробом 1/3.

Оскільки площа басейну дорівнює 64 м², а загальна площа — 216 м², початкове відношення становить: 64/216.

Оскільки цей дріб можна скоротити, ми маємо його спростити. Для цього поділимо чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НСД).

Найбільший спільний дільник для чисел 64 (чисельник) і 216 (знаменник) дорівнює 8. Поділивши обидва члени на НСД 8, отримуємо:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Отже,

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

За поточним планом басейн займає 8/27 від загальної площі ділянки. Проте клієнт вимагає щонайменше 1/3, що математично дорівнює 9/27. Оскільки 8/27 < 9/27, Джейн, на жаль, доведеться розробити новий дизайн проєкту.

Спрощення відношення

Щоб миттєво отримати цей результат за допомогою нашого інструменту для спрощення відношень, просто введіть 64 та 216 у поля A і B (або C і D) відповідно та натисніть «Обчислити».

Відповідь:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Знаходження невідомого значення

Спробуємо знайти невідоме значення в такій пропорції:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Щоб розв'язати пропорцію з невідомим, застосуємо основну властивість пропорції (добуток середніх членів дорівнює добутку крайніх). Пропорція виглядає так:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Тут 99 і 4 — це середні члени, тоді як 3 і невідоме x — крайні. Отже, складаємо рівняння:

$$3 × X = 4 × 99$$

та

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Відповідь

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Приклад 2

Олені потрібно найняти перекладача-фрілансера для перекладу кількох статей з англійської на японську мову. На сайті перекладача вказано середній тариф: $20 за 600 слів. Загальний обсяг текстів Олени становить приблизно 20 000 слів. Як розрахувати загальну вартість замовлення, якщо перекладач не надає знижок за великий обсяг?

Цю задачу можна легко розв'язати, ввівши відповідні дані в наш калькулятор пропорцій. Використовуйте поля A і C для одного типу одиниць вимірювання, а поля B і D — для іншого.

У цьому випадку поля A і C позначатимуть кількість слів, а поля B і D — вартість. Поля A і B міститимуть базову ставку перекладача, а поля C і D — дані конкретного замовлення Олени.

• У поле A введіть кількість слів за базовим тарифом перекладача, тобто 600.
• У поле B введіть ціну за ці 600 слів, тобто 20.
• У поле C введіть загальну кількість слів у вашому замовленні, тобто 20 000.
• У полі D калькулятор миттєво видасть результат: 666.66666666667.

Олена може округлити цю суму до $667. Хоча вона завжди може спробувати домовитися про знижку за великий обсяг, сума $667 є чудовим орієнтиром для початку переговорів.

Приклад 3

Джек проводить відпустку в Індонезії, і йому потрібно обміняти долари США на місцеву валюту — індонезійські рупії. Готівка потрібна для оренди максіскутера Yamaha X-Max, яка коштує 3 500 000 рупій на місяць.

Він знає, що поточний курс у найближчому обміннику становить 14 750 рупій за 1 долар США. Скільки доларів йому потрібно обміняти, щоб отримати рівно 3 500 000 рупій?

За аналогією з попереднім прикладом, вводимо один тип одиниць у поля A і C, а інший — у поля B і D.

Тут A і C позначатимуть індонезійські рупії, а B і D — долари США.

• У поле A введіть кількість рупій за 1 долар, тобто 14 750.
• У поле B введіть доларовий еквівалент цієї суми, тобто 1.
• У поле C введіть загальну суму рупій, яка потрібна Джеку, тобто 3 500 000.
• У полі D ви отримаєте необхідну суму в доларах: 237.28813559322.

За умови, що обмінник не стягує додаткових комісій, Джеку потрібно обміняти щонайменше $237, щоб оплатити оренду скутера. На практиці ж він, найімовірніше, обміняє круглішу суму, наприклад, $250 або $300.

Використання калькулятора для пошуку рішення

Щоб використати наш калькулятор еквівалентних відношень для порівняння двох дробів (наприклад, 4/16 та 3/12), введіть 4 у поле A та 16 у поле B, щоб заповнити одну частину пропорції. Потім введіть 3 у поле C і 12 у поле D для іншої частини. Після цього натисніть «Обчислити».

Відповідь

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

є ІСТИННИМ

Властивості пропорції

Найважливішою і найкориснішою властивістю пропорцій є основна властивість пропорції. Проте існують і інші цікаві математичні закономірності.

Перестановка середніх і крайніх членів:

Якщо

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Тоді, застосовуючи перестановку середніх членів, отримаємо таку правильну рівність:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

А застосовуючи перестановку крайніх членів, отримаємо таку правильну рівність:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Перетворення пропорції через додавання та віднімання можна виконати за такими правилами:

Якщо

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Тоді пропорцію можна перетворити через додавання (componendo) так:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

І через віднімання (dividendo) так:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Складання пропорції за допомогою додавання та віднімання: Якщо

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Тоді правильною є така рівність:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Та

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Золотий перетин

У математиці два числа утворюють золотий перетин, якщо відношення більшого значення до меншого дорівнює відношенню їхньої суми до більшого значення. Математичною мовою для a>b>0 формула золотого перетину записується так:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Людський мозок від природи сприймає золотий перетин як найбільш естетично привабливу пропорцію між частинами та цілим. Саме тому золотий перетин (або золота пропорція) так часто зустрічається в природі, науці, архітектурі та мистецтві.