حاسبة النسبة

حاسبة النسبة والتناسب

تتيح لك حاسبة النسبة والتناسب تبسيط النسب، والعثور على القيم المجهولة، وتحديد ما إذا كانت أي نسبتين متكافئتين. تقبل هذه الآلة الحاسبة إدخال الأعداد الصحيحة، والأرقام العشرية، والأرقام المكتوبة بالصيغة العلمية (Scientific Notation). على سبيل المثال، الرقم المكتوب بالصيغة العلمية 2e5 يساوي 2×10⁵. يرجى ملاحظة أن هناك حداً أقصى للإدخال يبلغ 15 حرفاً، مما يعني أن كل حقل إدخال (A، أو B، أو C، أو D) لا يمكن أن يتجاوز هذا الحد.

تعليمات الاستخدام

1. لاستخدام الآلة الحاسبة كأداة لتبسيط النسب، قم بإدخال البسط والمقام في جانب واحد من معادلة التناسب (أي إدخال القيم في الحقلين A و B، أو C و D). بعد ذلك، اضغط على زر "احسب" (Calculate). ستقوم حاسبة النسب بتبسيط النسبة المُدخلة وعرض الناتج في أبسط صورة.

إذا تم إدخال القيم المعروفة كأعداد صحيحة أو بالصيغة العلمية، فستقوم الآلة الحاسبة أيضاً بعرض خطوات الحل بالتفصيل.

أما إذا كانت القيمة المُدخلة موجودة بالفعل في أبسط صورة، فستقوم الآلة الحاسبة بإيجاد نسبة مكافئة لها عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في الرقم 2.

2. لاستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة مجهولة في تناسب معين، أدخل القيم الثلاث المعروفة واترك حقل القيمة المجهولة فارغاً. يمكنك ترك أي حقل فارغاً ليمثل القيمة المجهولة (A، أو B، أو C، أو D). بعد إدخال القيم الثلاث، اضغط على "احسب". ستعرض الآلة الحاسبة التناسب كاملاً ومحلولاً بالقيم الأربع. وإذا كانت القيم المُدخلة عبارة عن أعداد صحيحة، فستوضح الآلة الحاسبة أيضاً خطوات حل المسألة.

التعريفات والمعادلات الهامة

في الرياضيات، تُعرَّف النسبة (Ratio) على أنها زوج مرتب من الأرقام a و b. نستخدم النسب لمقارنة قيمتين عن طريق قسمة أحد الرقمين على الآخر.

يمكن كتابة نسبة a إلى b على النحو التالي: \$\frac{a}{b}\$، أو a/b، أو a:b. ويُفترض عموماً أن b≠0 نظراً لأن b تقع في مقام الكسر. تُستخدم النسب على نطاق واسع في حياتنا اليومية لمقارنة أي كميتين مختلفتين.

على سبيل المثال، إذا كان هناك فتاتان و 6 فتيان في الفصل، فستكون نسبة الفتيات إلى الأولاد هي 2:6، أو في أبسط صورة لها 1:3، مما يعني أن هناك ثلاثة أولاد مقابل كل فتاة.

أما التناسب (Proportion)، فهو معادلة رياضية تنص على تساوي نسبتين. في مثالنا السابق، يمكن كتابة التناسب على النحو التالي:

$$2:6::1:3$$

أو

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

أو

$$2:6=1:3$$

في التناسب a:b=c:d، يُطلق على الحدين الثاني والثالث (b و c) اسم "الوسطين" (Means). بينما يُطلق على الحدين الأول والأخير (a و d) اسم "الطرفين" (Extremes). يتميز التناسب بخاصية رياضية هامة تُعرف باسم "خاصية الطرفين والوسطين"، أو معادلة التناسب.

معادلة التناسب

في أي تناسب a:b=c:d، يكون حاصل ضرب الوسطين b×c مساوياً لحاصل ضرب الطرفين a×d. أو رياضياً:

إذا كان a:b=c:d

فإن a×d=b×c

تتيح لنا هذه المعادلة إيجاد الحد المجهول في التناسب. على سبيل المثال، إذا أردنا حل معادلة التناسب لإيجاد قيمة a، فيمكننا إعادة ترتيب المعادلة لتصبح على النحو التالي:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة العملية لتوضيح السيناريوهات الثلاثة المذكورة أعلاه.

مثال 1

"جين" هي مصممة حدائق ومساحات خارجية تعمل على مشروع لأحد العملاء. تبلغ المساحة الإجمالية للمكان 216 متراً مربعاً، وقد وضعت مخططاً يشغل فيه المسبح مساحة 64 متراً مربعاً. وقبل أن تقدم "جين" تصميمها النهائي، طلب العميل أن يشغل المسبح ثلث المساحة الإجمالية على الأقل. هل يتعين عليها إنشاء تصميم جديد، أم يمكنها تسليم التصميم الحالي؟

لتحديد ذلك، يجب عليها حساب نسبة مساحة المسبح إلى إجمالي المساحة الخارجية، ثم مقارنة هذه القيمة بالكسر \$\frac{1}{3}\$.

مساحة المسبح المقترحة هي 64 متراً مربعاً، والمساحة الخارجية الكلية هي 216 متراً مربعاً. بناءً على ذلك، تكون النسبة المطلوبة هي:

$$\frac{64}{216}$$

هذه النسبة ليست في أبسط صورة لها، لذا يمكننا تبسيطها عن طريق قسمة كل من البسط والمقام على القاسم (العامل) المشترك الأكبر.

القاسم المشترك الأكبر للبسط (64) والمقام (216) هو 8. بقسمة كلا الحدين على 8، نحصل على:

$$\frac{64}{8}=8$$

$$\frac{216}{8}=27$$

لذلك، \$\frac{64}{216}=\frac{8}{27}\$.

يشغل المسبح \$\frac{8}{27}\$ من إجمالي المساحة الخارجية. ومع ذلك، طلب العميل أن يشغل المسبح \$\frac{1}{3}\$ على الأقل (والتي تكافئ \$\frac{9}{27}\$) من إجمالي المساحة. وبما أن \$\frac{8}{27}<\frac{9}{27}\$، فسيتعين على "جين" للأسف العمل على تصميم جديد يلبي متطلبات العميل.

تبسيط النسبة

للحصول على حل سريع لهذه المسألة باستخدام الآلة الحاسبة، أدخل القيمتين 64 و 216 في الحقلين A و B (أو C و D) على التوالي، ثم اضغط على "احسب".

الإجابة:

$$64∶216=8∶27$$

إيجاد القيمة المجهولة

أوجد القيمة المجهولة في التناسب التالي: \$\frac{3}{99}=\frac{4}{x}\$.

لإيجاد القيمة المجهولة، نستخدم قانون التناسب الذي ينص على أن حاصل ضرب الوسطين يساوي دائماً حاصل ضرب الطرفين في أي تناسب. يمكننا كتابة التناسب المعطى على النحو التالي:

$$3:99=4:x$$

في هذا التناسب، الرقمان 99 و 4 هما "الوسطان"، بينما الرقم 3 والقيمة المجهولة x هما "الطرفان". وبالتالي:

$$3× x=4×99$$

و

$$x=\frac{4×99}{3}$$

$$x=\frac{396}{3}$$

$$x=132$$

الحل:

$$3∶99=4∶132$$

مثال 2

ترغب "هيلين" في التعاقد مع مترجم لترجمة عدة مقالات من اللغة الإنجليزية إلى اليابانية. يعرض الموقع الإلكتروني للمترجم سعراً قدره 20 دولاراً مقابل ترجمة 600 كلمة. إذا كان إجمالي عدد الكلمات في مقالات "هيلين" يبلغ حوالي 20,000 كلمة، فكيف يمكنها حساب التكلفة الإجمالية لطلبها في حال لم يقدم لها المترجم أي خصم؟

استخدم الآلة الحاسبة وأدخل الوحدات المتكافئة الأولى في الحقلين A و C، والوحدات المتكافئة الأخرى في الحقلين B و D.

في هذا المثال، سنخصص الحقلين A و C لعدد الكلمات، والحقلين B و D للتكلفة المالية. سيمثل الحقلان A و B الحالة الأولى (تسعيرة المترجم الأساسية)، بينما يمثل الحقلان C و D الحالة الثانية (التكلفة المتوقعة لطلب هيلين).

• في الحقل A، أدخل عدد الكلمات بناءً على تسعيرة المترجم وهو 600.
• في الحقل B، أدخل التكلفة مقابل 600 كلمة، وهي 20.
• في الحقل C، أدخل إجمالي عدد الكلمات في الطلب، وهو 20000.
• في الحقل D، ستظهر لك النتيجة النهائية وهي 666.66666666667.

بعد ذلك، يمكنك تقريب النتيجة لتصبح 667 دولاراً. تجدر الإشارة إلى أن "هيلين" قد تطلب خصماً نظراً لحجم الطلب الكبير، ولكن مبلغ 667 دولاراً يعتبر نقطة انطلاق جيدة للتفاوض.

مثال 3

يقضي "جاك" إجازته في إندونيسيا ويرغب في تحويل مبلغ من الدولار الأمريكي إلى العملة المحلية (الروبية الإندونيسية). يحتاج "جاك" إلى المال النقدي لدفع إيجار دراجة نارية (سكوتر) من طراز Yamaha X-Max maxi، والذي تبلغ تكلفة إيجاره 3,500,000 روبية شهرياً.

إذا كان سعر الصرف لليوم في أقرب مكتب صرافة لفندقه هو 14,750 روبية مقابل الدولار الواحد، فكم دولاراً يحتاج "جاك" إلى تحويله للحصول على 3,500,000 روبية؟

مرة أخرى، سنستخدم الوحدات المتكافئة الأولى في الحقلين A و C، والوحدات المتكافئة الأخرى في الحقلين B و D.

في هذا المثال، سنخصص الحقلين A و C لعملة الروبية الإندونيسية، والحقلين B و D لعملة الدولار الأمريكي.

• في الحقل A، أدخل قيمة الروبية مقابل كل دولار أمريكي، وهي 14750.
• في الحقل B، أدخل القيمة المكافئة بالدولار، وهي 1.
• في الحقل C، أدخل المبلغ الذي ترغب في الحصول عليه بالروبية، وهو 3500000.
• في الحقل D، سيظهر لك المبلغ المطلوب بالدولار، وهو 237.28813559322.

يتضح من ذلك أنه في حال لم يفرض مكتب الصرافة أي عمولات، سيحتاج "جاك" إلى تحويل 237 دولاراً كحد أدنى لتغطية إيجار الدراجة لمدة شهر. ومن المرجح أن يقوم بتحويل مبلغ أكبر قليلاً، كأن يكون 250 أو 300 دولار كاحتياطي.

استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الحل

لاستخدام الآلة الحاسبة في مقارنة النسبتين \$\frac{4}{16}\$ و \$\frac{3}{12}\$، أدخل الرقم 4 في الحقل A، والرقم 16 في الحقل B لإكمال طرف واحد من التناسب. ثم أدخل الرقم 3 في الحقل C، والرقم 12 في الحقل D لإكمال الطرف الآخر من التناسب، واضغط على "احسب".

الحل:

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

العبارة صحيحة (النسبتان متكافئتان).

خصائص التناسب

تعتبر خاصية "حاصل ضرب الطرفين في الوسطين" (Means-Extremes Property) من أهم خصائص التناسب وأكثرها فائدة. ومع ذلك، هناك العديد من الخصائص الرياضية الأخرى المثيرة للاهتمام.

التبديل بين الأوساط والأطراف:

إذا كان:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

فإنه عند تبديل الوسطين (b و c)، يظل التناسب صحيحاً:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

وعند تبديل الطرفين (a و d)، يظل التناسب صحيحاً أيضاً:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

قاعدة الجمع والطرح (Componendo and Dividendo):

إذا كان:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

فإنه يمكن صياغة التناسب بالجمع على النحو التالي:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

ويمكن صياغته بالطرح على النحو التالي:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

تكوين نسبة جديدة عن طريق جمع وطرح الحدود:

إذا كان:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

فإن المعادلات التالية تكون صحيحة:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

و:

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

النسبة الذهبية

في الرياضيات، يُقال إن قيمتين تحققان "النسبة الذهبية" (Golden Ratio) إذا كانت نسبة القيمة الكبرى إلى القيمة الصغرى تساوي تماماً نسبة مجموع القيمتين إلى القيمة الكبرى. رياضياً، بافتراض أن a>b>0، يمكن كتابة معادلة النسبة الذهبية على النحو التالي:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

يجد العقل البشري أن النسبة الذهبية تمثل توازناً مثالياً وجذاباً بين الأجزاء والكل. ولذلك، يمكن ملاحظة استخدام النسبة الذهبية بشكل متكرر وواضح في الطبيعة، والعلوم، والفنون والتصاميم المعمارية.