Calculadora de distancia de 2D

Nuestra calculadora de distancia entre dos puntos le permite hallar la longitud exacta entre dos coordenadas en un plano. Esta herramienta opera de forma precisa en un espacio bidimensional (2D). Dado que una línea recta representa siempre la distancia más corta entre dos puntos, esta herramienta también funciona perfectamente como una calculadora de longitud de línea o segmento.

Instrucciones de uso

Esta calculadora determina la distancia entre un punto 1, con coordenadas (X₁, Y₁), y un punto 2, con coordenadas (X₂, Y₂).

Para obtener el resultado, simplemente introduzca las coordenadas en los campos correspondientes siguiendo estas indicaciones:

• Utilice una coma para separar las dos coordenadas de cada punto. Por ejemplo, introduzca "4,5" en el campo (X₁, Y₁) para definir un punto 1 con una coordenada X igual a 4 y una coordenada Y igual a 5. Si alguna de las coordenadas incluye decimales, utilice el punto para separar la parte entera de la decimal; por ejemplo, ingrese "4.5, 7" para indicar un punto con una coordenada X de 4.5 y una coordenada Y de 7.
• Solo se admiten números enteros y decimales como coordenadas. No se aceptan fracciones.
• Los espacios entre las coordenadas no son obligatorios, pero puede añadirlos para facilitar la lectura.

Una vez ingresados los datos, presione el botón "Calcular". La calculadora le mostrará la respuesta final junto con la resolución detallada paso a paso.

Para vaciar todos los campos y realizar un nuevo cálculo, presione "Borrar".

Fórmula de la distancia

En un plano bidimensional (2D), la distancia d entre el punto 1 con coordenadas (X₁, Y₁) y el punto 2 con coordenadas (X₂, Y₂) se calcula mediante la siguiente fórmula:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

En otras palabras: la distancia entre dos puntos en un espacio 2D es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas correspondientes. Esta expresión matemática se conoce como la fórmula de la distancia euclidiana. Por esta razón, nuestra herramienta también es ampliamente conocida como calculadora de distancia euclidiana.

Deducción de la fórmula de la distancia euclidiana

Para deducir esta fórmula, observemos dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano (X, Y):

Para hallar la distancia entre el punto 1 y el punto 2, trazamos una línea vertical hacia abajo desde el punto 2 y una línea horizontal hacia la derecha desde el punto 1. Estas dos líneas, junto con la distancia buscada, formarán un triángulo rectángulo.

El cateto vertical de este triángulo corresponde a la distancia vertical entre ambos puntos: (Y₂ – Y₁). El cateto horizontal corresponde a la distancia horizontal entre ellos: (X₂ – X₁). La hipotenusa representa la distancia real que queremos calcular.

Dado que conocemos las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, podemos determinar la longitud de la hipotenusa aplicando el célebre teorema de Pitágoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Ejemplos de cálculo

Ejemplo 1

Calculemos la distancia entre el punto 1, con coordenadas (X₁, Y₁) = (3, 1), y el punto 2, con coordenadas (X₂, Y₂) = (5, 7). Al sustituir los valores de X₁, Y₁, X₂ e Y₂ en la fórmula de la distancia euclidiana, obtenemos:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Tenga en cuenta que invertir el orden de los puntos no altera el resultado final, ya que las diferencias entre las coordenadas se elevan al cuadrado (eliminando cualquier signo negativo). Repitamos el cálculo anterior asumiendo que (X₁, Y₁) = (5, 7) y (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Ejemplo 2

Veamos un ejemplo con coordenadas negativas. Determinaremos la distancia entre el punto 1, con (X₁, Y₁) = (-4, 2), y el punto 2, con (X₂, Y₂) = (6, -6). Sustituyendo los valores correspondientes en la fórmula, tenemos:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Ejemplos de la vida real

Como demostramos anteriormente, la fórmula de la distancia euclidiana tiene su origen en el teorema de Pitágoras. Sin embargo, adapta este teorema a situaciones donde únicamente conocemos las coordenadas de los puntos (en lugar de las longitudes de los lados de un triángulo).

Esta fórmula es extremadamente útil cuando se necesita calcular distancias reales a partir de coordenadas en un plano topográfico, un mapa o un gráfico. Además, es una herramienta esencial en física y matemáticas avanzadas para calcular las magnitudes de números complejos y vectores.

Ejemplo 3

Imagine una escalera apoyada contra una pared. En este escenario, el suelo representa el eje X de nuestro plano 2D, mientras que la pared representa el eje Y, tal como se aprecia en la siguiente imagen. Si la escalera toca la pared exactamente en el punto (0, 2) y se apoya en el suelo en el punto (3, 0), ¿cuál es la longitud total de la escalera?

Solución

Para hallar la longitud de la escalera en este plano bidimensional, primero debemos identificar las coordenadas de sus extremos: X₁, Y₁, X₂, Y₂.

Definamos el lugar donde la escalera toca la pared como el punto 1 (X₁, Y₁), y el lugar donde toca el suelo como el punto 2 (X₂, Y₂). Sabemos que el apoyo en la pared ocurre en las coordenadas (0, 2). Por lo tanto, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Observe que X₁ = 0. Esto se ilustra claramente en el diagrama, donde el punto de origen (0, 0) corresponde a la intersección física donde la pared se encuentra con el suelo, imposibilitando que los valores de X e Y sean negativos en este contexto.

Por otro lado, sabemos que la base de la escalera toca el suelo en las coordenadas (3, 0). En consecuencia, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

De igual forma, Y₂ = 0 indica que este punto se encuentra directamente a ras de suelo. Ahora, apliquemos la fórmula de la distancia para determinar la longitud de la escalera:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Respuesta

La longitud de la escalera es de aproximadamente 3,6 unidades.

Distancia en el espacio 3D

La distancia euclidiana es lo que comúnmente denominamos simplemente como "distancia". Por ejemplo, cuando decimos que un objeto está a 5 metros de nosotros, nos estamos refiriendo a su distancia euclidiana. La fórmula explicada a lo largo de este texto se puede extrapolar fácilmente a tres (¡o incluso más!) dimensiones.

En un espacio tridimensional (3D), la distancia entre un punto 1 con coordenadas (X₁, Y₁, Z₁) y un punto 2 con coordenadas (X₂, Y₂, Z₂) se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado entre las tres coordenadas correspondientes:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$