Calculadora de puntuación Z

La Calculadora de Puntuación Z se puede utilizar para cualquier tipo de cálculo relacionado con Puntuación Z. Puede ingresar una puntuación en bruto (X), una media de una población (μ) y una desviación estándar (σ) en la primera calculadora para encontrar la puntuación Z con pasos y probabilidades relacionadas con esa puntuación en bruto.

El convertidor de puntuación Z y probabilidad le ayuda a convertir entre puntuaciones Z y probabilidades sin necesidad de hacer referencia a una tabla Z. Los resultados incluirán todos los cálculos de probabilidad posibles con esa única puntuación z. Use la última calculadora para encontrar la probabilidad entre 2 puntuaciones Z.

¿Qué es la puntuación Z?

La puntuación Z es una medida estadística que describe el número de desviaciones estándar de un punto de datos de la media de un conjunto de datos. El puntaje Z se usa para comparar un solo punto de datos con el conjunto de datos completo y ayuda a estandarizar los datos para que sea más fácil compararlos y analizarlos.

La puntuación Z nos permite determinar qué tan "típico" o, por el contrario, "atípico" se comporta un solo punto de datos con el conjunto de datos completo.

• Detectar valores atípicos: las puntuaciones Z pueden ayudarnos a identificar puntos de datos que son significativamente diferentes del resto de los datos. Esto es útil en áreas como las finanzas y la investigación médica, donde los valores atípicos pueden indicar patrones o anomalías importantes.
• Comparar datos de diferentes conjuntos: La puntuación Z nos permite comparar datos de diferentes conjuntos, incluso si tienen diferentes unidades o rangos. Esto es útil en áreas como el aprendizaje de máquina, donde se necesitan comparar datos de diferentes fuentes para construir modelos.
• Normalizar datos: al convertir los datos en puntuaciones Z, podemos estandarizar los datos y facilitar la comparación y el análisis. Esto es útil en áreas como la visualización de datos, donde necesitamos presentar los datos de una manera comprensible.

La fórmula de puntuación Z

La puntuación Z para una población

Z = Puntuación bruta-Media poblacional / Desviación estándar de la población

Z = (X - μ) / σ

La puntuación Z de una muestra

Z = Puntuación bruta-Promedio de la muestra/Desviación estándar de la muestra

Z = (X - x̄) / s

Interpretación de los resultados de la puntuación Z obtenida

Puntuación Z positiva: una puntuación Z positiva significa que su punto de datos está por encima del valor promedio del conjunto de datos. En otras palabras, su punto de datos observado es más alto que el valor típico en el conjunto de datos.

Puntuación Z negativa: una puntuación Z negativa significa que su punto de datos está por debajo del valor promedio del conjunto de datos. En otras palabras, su punto de datos observado es más bajo que el valor típico en el conjunto de datos.

Puntuación Z: la puntuación Z le indica qué tan lejos está su punto de datos del promedio del conjunto de datos. Cuanto mayor sea la puntuación Z, más lejos estará el punto de datos observado del valor promedio.

Puntuación Z y desviación estándar

La puntuación Z y la desviación estándar están relacionadas porque la desviación estándar se usa para calcular la puntuación Z. De hecho, la desviación estándar es un componente clave de la fórmula de la puntuación Z.

La desviación estándar es una medida de la dispersión del conjunto de datos. Muestra qué tan lejos está cada punto de datos del valor promedio del conjunto de datos. Cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos.

La puntuación Z, por otro lado, le dice qué tan lejos está un punto de datos de la media del conjunto de datos en relación con la desviación estándar. Al usar la desviación estándar para calcular la puntuación Z, puede comparar un punto de datos con el conjunto de datos completo y ver qué tan inusual o típico es.

La puntuación Z y la distribución normal

La distribución normal es un tipo de distribución que a menudo se encuentra en muchos fenómenos del mundo real. Es una curva en forma de campana que representa la distribución de datos alrededor de la media de un conjunto de datos. La distribución normal también se conoce como distribución gaussiana, en honor al matemático Carl Friedrich Gauss.

La puntuación Z es una forma de medir qué tan lejos está un punto de datos de la media de un conjunto de datos en relación con la desviación estándar. Al convertir cada punto de datos en una puntuación Z, puede comparar un punto de datos individual con el conjunto de datos completo y ver qué tan inusual o típico es.

La conexión entre una puntuación Z y una distribución normal es que la punuación Z se puede usar para estandarizar los datos y ajustarlos a una distribución normal. Esto significa que puede convertir cualquier conjunto de datos en una distribución normal convirtiendo cada punto de datos en una puntuación Z. Esto es útil porque muchos métodos estadísticos asumen que los datos se distribuyen normalmente, por lo que convertir los datos a una distribución normal puede ayudarlo a usar estos métodos con mayor precisión.

Comparación de puntos de datos

La puntuación Z puede ayudarlo a comprender qué tan lejos está un punto de datos de la media de un conjunto de datos en relación con la desviación estándar.

Nuestro ejemplo de usar la puntuación Z para comparar puntos de datos se aplica a las finanzas. Por ejemplo, ha invertido en dos carteras de acciones diferentes y desea comparar su rendimiento. El rendimiento promedio de la cartera A es del 10 % con una desviación estándar del 2 %, y el rendimiento promedio de la cartera B es del 8 % con una desviación estándar del 3 %. Al convertir los rendimientos en puntajes Z, puede comparar los rendimientos de cada cartera y determinar cuál funciona mejor.

Otro ejemplo práctico del uso de la puntuación Z para comparar puntos de datos son los deportes. Por ejemplo, desea comparar el desempeño de dos jugadores de baloncesto, el jugador A y el jugador B. El jugador A obtiene un promedio de 20 puntos por juego con una desviación estándar de 5 puntos y el jugador B obtiene un promedio de 18 puntos por juego con una desviación estándar de 3 puntos. Al convertir las puntuaciones a puntuaciones Z, puede comparar el rendimiento de cada jugador y determinar qué jugador se está desempeñando mejor.

Normalización de datos

La normalización de datos es el proceso de convertir datos a una escala estándar para que puedan compararse y analizarse fácilmente. Esto es importante porque los datos pueden tener diferentes formas y escalas, y la normalización de los datos garantiza que estén en la misma escala y facilita la comparación y el análisis.

Al convertir cada punto de datos en una puntuación Z, puede estandarizar los datos y ponerlos en la misma escala. Esto se debe a que la puntuación Z siempre está en una escala estándar, donde la media es 0 y la desviación estándar es 1.

Un ejemplo práctico del uso de la puntuación Z para normalizar los datos se relaciona con el campo de la psicología. Por ejemplo, desea comparar los resultados de dos pruebas de coeficiente intelectual, la prueba A y la prueba B. La prueba A tiene una puntuación media de 100 con una desviación estándar de 15 y la prueba B tiene una puntuación media de 110 con una desviación estándar de 10. Al convertir los puntajes a puntuación Z, los puntajes se pueden estandarizar y reducir a una sola escala, lo que facilita la comparación y el análisis.

Otro ejemplo práctico del uso de puntuación Z para normalizar datos es en educación. Por ejemplo, desea comparar las calificaciones de dos estudiantes, el estudiante A y el estudiante B. El estudiante A tiene una calificación promedio de 80 con una desviación estándar de 5 y el estudiante B tiene una calificación promedio de 90 con una desviación estándar de 3. Al convertir las calificaciones en coeficientes Z, puede estandarizar las calificaciones y hacer que todas estén en la misma escala, lo que facilita la comparación y el análisis.

Evaluación de la hipótesis

La prueba de hipótesis es una técnica estadística utilizada para determinar si existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula o la suposición estándar de que no existe una relación entre dos variables. Es importante en muchos campos, incluida la investigación médica, las ciencias sociales y los negocios, donde es fundamental tomar decisiones informadas basadas en datos.

Al probar hipótesis, los coeficientes Z se pueden usar para determinar la probabilidad de que ocurra un resultado particular. Por ejemplo, puede probar si el peso promedio de un grupo de personas difiere del peso promedio de toda la población. Puede utilizar la puntuación Z para determinar si la diferencia es estadísticamente significativa.

Un ejemplo práctico del uso de la puntuación Z para probar hipótesis se encuentra en el campo de la medicina. Por ejemplo, desea probar si un nuevo medicamento es eficaz para reducir los síntomas de una determinada enfermedad. Puede utilizar la puntuación Z para determinar si la diferencia de síntomas entre el grupo que toma el fármaco y el grupo de control es estadísticamente significativa.

Otro ejemplo práctico del uso de la puntuación Z para probar hipótesis está en el área de finanzas. Por ejemplo, desea probar si una acción en particular tiene un rendimiento más alto que la acción promedio en el mercado. Puede usar la puntuación Z para determinar si la diferencia en los rendimientos es estadísticamente significativa.

Escalado de características

El escalado de características es una técnica utilizada en el aprendizaje de máquina y otras aplicaciones de análisis de datos para garantizar que todas las características de un conjunto de datos tengan la misma escala. Esto es importante porque algunos algoritmos de aprendizaje de máquina son sensibles a la escala de los datos y pueden producir resultados inexactos si la escala no coincide.

Un método común para escalar características es la normalización de puntuación Z, también conocida como estandarización. En este proceso, cada rasgo se convierte para que su valor medio sea 0 y su desviación estándar sea 1. La fórmula para calcular la puntuación Z de una característica es la siguiente:

Z = (X - Media) / Desviación Estándar

donde X es el valor de la función, Media es la media de la función y Desviación estándar es la Desviación estándar de la función.

Un ejemplo práctico del uso de puntuación Z para escalar características se encuentra en el campo de la visión artificial. Cuando se trabaja con datos de imagen, generalmente se requiere escalar los valores de píxeles para que estén en el rango de 0 a 1. Esto se puede lograr normalizando la puntuación Z, ya que cada valor de píxel se puede transformar para que su valor medio sea 0, y su desviación estándar es 1.

Otro ejemplo práctico del uso de la puntuación Z para el escalado de funciones es el procesamiento del lenguaje natural. Cuando se trabaja con datos textuales, es una práctica común escalar los valores de frecuencia de término y frecuencia de documento inversa (TF-IDF) para que estén en el rango de 0 a 1. Esto también se puede lograr mediante la normalización de puntuación Z.

Modelado predictivo

El modelado predictivo es una técnica utilizada en el aprendizaje de máquina y otras aplicaciones de análisis de datos para hacer predicciones basadas en datos históricos. Implica generar un modelo en un conjunto de datos y usar ese modelo para hacer predicciones sobre datos nuevos e invisibles.

Un aspecto importante del modelado predictivo es la selección de características, que implica seleccionar las características más relevantes del conjunto de datos para usarlas en el modelo. A menudo, se prefieren las características que están altamente correlacionados con la variable objetivo porque es más probable que predigan dicha variable objetivo.

La puntuación Z se puede utilizar para identificar rasgos que están altamente correlacionados con la variable objetivo porque los rasgos que tienen una puntuación Z alta tienen más probabilidades de predecir la variable objetivo. La fórmula para calcular la puntuación Z de un rasgo es la siguiente:

Z = (X - Media) / Desviación Estándar

donde X es el valor de la función, Media es la media de la función y Desviación estándar es la Desviación estándar de la función.

Un ejemplo práctico del uso de puntuación Z en el modelado predicivo pertenece al campo de las finanzas. Al predecir los precios de las acciones, la puntuación Z del rendimiento pasado de la acción se puede utilizar para determinar su potencial de rendimiento futuro. Un puntaje Z alto indica que el rendimiento pasado de una acción está muy por encima del promedio y se puede proyectar para rendimientos más altos en el futuro.

Otro ejemplo práctico del uso de la puntuación Z en el modelado predictivo se encuentra en el campo de la atención médica. Al predecir los resultados del paciente, la puntuación Z se puede usar para determinar el potencial de un paciente para resultados futuros. Una puntuación Z alta indica que los resultados de salud de un paciente son significativamente peores que el promedio y pueden indicar malos resultados futuros.

Uso de la tabla de puntuación Z

Una tabla z, también conocida como tabla normal estándar o tabla normal unitaria, es una tabla que contiene valores estandarizados que se utilizan para calcular la probabilidad de que una determinada estadística caiga por debajo, por encima o entre la distribución normal estándar.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,0279	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,0438	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,1293	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,1591	0,16276	0,1664	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,2054	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,2224
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,2549
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,2673	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,2823	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,3665	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,379	0,381	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,4032	0,4049	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,4222	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,4452	0,4463	0,44738	0,44845	0,4495	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,4608	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,4732	0,47381	0,47441	0,475	0,47558	0,47615	0,4767
2	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,4803	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,483	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,485	0,48537	0,48574
2,2	0,4861	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,4884	0,4887	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,4901	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,4918	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,4943	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,4952
2,6	0,49534	0,49547	0,4956	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,4972	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,4976	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,499
3,1	0,49903	0,49906	0,4991	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,4994	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,4995
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,4996	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,4997	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,4998	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,4999	0,4999	0,4999	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997
4	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998

Para usar la tabla z, necesita encontrar la fila que corresponde a su puntuación z calculado y luego ubicar la columna correspondiente que le da el área (probabilidad) bajo la curva normal estándar. El valor resultante es la probabilidad aproximada de que una variable aleatoria de una distribución normal estándar sea menor o igual que su puntaje z calculado.

Por ejemplo, si tiene una puntuación z de 1,96, buscaría en la tabla z la fila que corresponde a 1,9 y la columna que corresponde a 0,06. El valor resultante le daría el área bajo la curva normal estándar a la derecha de 1,96. Este valor es aproximadamente 0,975, lo que significa que aproximadamente el 97,5 % de los datos de una distribución normal estándar serían menores o iguales a 1,96.

Es importante tener en cuenta que la tabla z solo funciona para una distribución normal estándar con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Si sus datos no siguen esta distribución, primero deberá estandarizarlos transformando los datos en puntuaciones z.

Hallar la probabilidad a partir de la puntuación Z

Cuando convertimos una variable distribuida normalmente en una puntuación z, podemos usar la tabla Z y encontrar la proporción del área bajo la curva normal. El área total bajo la curva normal estándar es igual a 1. Por lo tanto, la proporción del área cubierta por una curva normal es igual a la probabilidad de esa puntuación Z.

Ejemplo 1

Los pesos de los boxeadores se distribuyen normalmente con una media de 75 Kg y una desviación estándar de 3 Kg. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de un peleador seleccionado al azar sea;

• a) ¿Más de 78 kg?
• b) ¿Menos de 69 Kg?
• c) ¿Más de 72 kg?
• d) ¿Menos de 79,5 Kg?
• e) ¿Entre 72 Kg y 76,5 Kg?
• f) ¿Entre 72 Kg y 73,5 Kg?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un peleador elegido al azar pese más de 78 kg?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Primero, dibujaremos esto en una curva Z.

Ahora usaremos Tabla Z para encontrar la probabilidad relevante para la puntuación Z calculado.

Recuerde que Puntuación Z siempre da la probabilidad entre la puntuación Z y la media. Para obtener la probabilidad del área resaltada en el gráfico, debemos reducir esa probabilidad de 0,5. (La probabilidad total bajo la curva es 1, y la media de la distribución estándar se segrega igualmente en 2 partes. Por lo tanto, la probabilidad desde el punto medio hasta cualquier lado del final es 0,5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Por lo tanto, existe una probabilidad de 0.1587 de que el peso de un boxeador seleccionado al azar sea mayor a 78 Kg.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un peleador elegido al azar pese menos de 69 kg?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Primero, dibujaremos esto en una curva Z.

Ahora usaremos Tabla Z para encontrar la probabilidad relevante para la puntuación Z calculada.

Recuerde que puntuación Z siempre da la probabilidad entre la puntuación Z y la media. Para obtener la probabilidad del área resaltada en el gráfico, debemos reducir esa probabilidad de 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Por lo tanto, existe una probabilidad de 0,0228 de que el peso de un boxeador seleccionado al azar sea inferior a 69 kg.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de un boxeador seleccionado al azar esté entre 72 kg y 76,5 kg??

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Primero, dibujaremos esto en una curva Z.

Ahora usaremos Tabla Z para encontrar la probabilidad relevante para la puntuación Z calculada.

Recuerde que puntuación Z siempre da la probabilidad entre la puntuación Z y la media. Para obtener la probabilidad del área resaltada en el gráfico, puede sumar las probabilidades de las 2 puntuaciones Z.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Por lo tanto, existe una probabilidad de 0,5328 de que el peso de un jugador seleccionado al azar esté entre 72 Kg y 76,5 Kg.

En este caso, debe usar la calculadora de probabilidad entre dos puntuaciones Z para encontrar la respuesta rápidamente.

Encontrar los valores correspondientes para la probabilidad especificada

Cuando sabemos que la distribución es normal, podemos encontrar los valores correspondientes para las probabilidades específicas basadas en puntuación Z.

Ejemplo 2

Las calificaciones de los solicitantes en un examen competitivo tienen una distribución aproximadamente normal, con una media de 55 y una desviación estándar de 10. Si el 30 % de los mejores solicitantes aprueba el examen, encuentre el puntaje mínimo para aprobar.

Solución

En este caso, primero tenemos que encontrar la puntuación Z correspondiente para la probabilidad o porcentaje dado.

Para encontrar la puntuación Z, en realidad necesitamos encontrar la probabilidad en el área resaltada.

Se obtiene restando 0,30 a 0,50. Por lo tanto, la probabilidad del área resaltada es 0,20.

Ahora, en la tabla Z, tenemos que encontrar la probabilidad más cercana a 0,20. La puntuación Z correspondiente es 0,524.

Luego, tenemos que encontrar el valor de X usando la fórmula puntuación Z.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Por lo tanto, la puntuación mínima para aprobar el examen es 60,24.