Kalkulator Kombinasi

Dalam matematik, terdapat beberapa strategi untuk menentukan bilangan cara unik anda boleh memilih objek daripada set yang diberikan. Namun, bagaimanakah sebenarnya anda mengira bilangan cara untuk memilih r hasil daripada n kemungkinan? Jawapannya bergantung kepada dua faktor penting: sama ada susunan pemilihan anda adalah penting, dan sama ada nilai tersebut dibenarkan untuk berulang.

Bilangan cara untuk memilih r hasil tanpa susunan daripada n kemungkinan dikenali sebagai kombinasi, yang ditunjukkan secara matematik sebagai C(n, r). Ini juga dikenali secara meluas sebagai pekali binomial. Kalkulator kombinasi kami (atau kalkulator nCr) menyediakan cara yang cepat dan boleh dipercayai untuk mengira bilangan tepat kombinasi bagi r objek daripada satu set n objek.

Peraturan untuk menggunakan kalkulator kombinasi

Bagi mana-mana set objek yang diberikan, terdapat bilangan cara tertentu untuk menyusun atau memilihnya berdasarkan parameter yang anda perlukan. Kalkulator ini mengira bilangan cara anda boleh memilih r objek daripada satu set n objek tanpa pengulangan, khususnya untuk senario di mana susunan pemilihan tidak penting.

Untuk menggunakan alat ini dengan berkesan, kalkulator memerlukan dua input utama:

• n = bilangan objek berbeza untuk dipilih, dan
• r = bilangan kedudukan yang perlu diisi.

Kriteria matematik yang penting untuk memasukkan data ke dalam kalkulator kombinasi adalah:

0 ≤ r ≤ n

Jika anda memasukkan nilai untuk r yang lebih besar daripada n, kalkulator akan segera memaparkan mesej:

"Masukkan nilai di mana n ≥ r ≥ 0".

Prinsip asas pembilangan

Prinsip Asas Pembilangan ialah tulang belakang matematik yang membimbing kita dalam mencari jumlah bilangan cara untuk menyelesaikan tugas berurutan yang berbeza. Ia dibina berdasarkan dua peraturan asas pembilangan.

Peraturan hasil tambah

Jika tugas pertama boleh diselesaikan dalam m cara, dan tugas kedua boleh diselesaikan dalam n cara, tetapi tugas-tugas ini tidak boleh dilakukan secara serentak, jumlah bilangan cara yang mungkin untuk menyelesaikan salah satu tugas dikira sebagai (m + n).

Peraturan hasil darab

Jika tugas pertama boleh dilakukan dalam m cara dan tugas kedua boleh dilakukan dalam n cara, dan kedua-dua tugas boleh dilakukan secara serentak (atau satu demi satu), maka terdapat (m × n) jumlah cara untuk melaksanakannya.

Contoh

Bayangkan sebuah kafeteria yang menjual 3 jenis pai (epal, strawberi, dan beri biru) dan 4 jenis minuman (jus oren, anggur, ceri, dan nanas). Kedua-dua minuman dan pai tersebut berharga RM2 setiap satu. Jika anda hanya mempunyai tepat RM2 di dalam poket anda, anda hanya mampu membeli satu item sahaja. Menggunakan peraturan hasil tambah, anda mempunyai 3 + 4 = 7 peluang berbeza untuk membuat satu pilihan.

Sekarang, andai kata anda ingin mencari bilangan cara untuk melambung syiling dan membaling dadu standard pada masa yang sama. Bilangan cara anda boleh melambung syiling ialah 2, memandangkan syiling mempunyai 2 muka. Begitu juga, terdapat 6 hasil yang mungkin apabila anda membaling dadu. Disebabkan anda melakukan kedua-dua tugas secara serentak, peraturan hasil darab digunakan: terdapat 2 × 6 = 12 jumlah cara untuk melambung syiling dan membaling dadu.

Seterusnya, jika anda ingin menarik 2 keping kad daripada dek standard 52 kad tanpa mengembalikannya semula, terdapat 52 cara yang mungkin untuk menarik kad pertama, dan baki 51 cara untuk menarik kad kedua. Oleh itu, jumlah cara untuk menarik dua kad unik tersebut ialah 52 × 51 = 2,652.

Ruang Sampel

Ruang sampel ialah senarai lengkap semua hasil yang mungkin dalam senario yang diberikan, biasanya ditunjukkan dengan huruf besar S. Sebagai contoh, ruang sampel untuk melambung syiling dan membaling dadu secara serentak ialah:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Seperti yang ditunjukkan, terdapat tepat dua belas hasil yang mungkin. Prinsip asas pembilangan membolehkan kita mengira jumlah kemungkinan ini dengan mudah tanpa perlu memetakan keseluruhan ruang sampel secara manual.

Kombinasi

Kombinasi mewakili bilangan cara yang mungkin untuk memilih r hasil tanpa ulangan daripada n kemungkinan apabila susunan pemilihan adalah tidak penting sama sekali. Kombinasi objek ditulis sebagai C(n, r) dan biasanya dirujuk sebagai pekali binomial. Formula kombinasi standard (nCr) ditakrifkan sebagai:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Tanda seru (!) selepas nombor atau huruf menunjukkan faktorial matematik. Sebagai contoh, n! mewakili faktorial bagi nombor n—iaitu hasil darab semua integer positif dari 1 hingga n. Faktorial bagi 2 ialah 1 × 2. Faktorial bagi 3 ialah 1 × 2 × 3. Faktorial bagi 4 ialah 1 × 2 × 3 × 4, dan seterusnya. Sila ambil perhatian bahawa faktorial hanya boleh dikira untuk integer bukan negatif.

Ciri paling kritikal dalam mengira kombinasi dengan formula ini ialah pengulangan objek tidak dibenarkan, dan susunan susunan tidak penting.

Contoh 1

Katakan anda mempunyai satu set mudah yang mengandungi empat nombor:

{1, 2, 3, 4}

Dalam berapa banyakkah cara unik kita boleh menggabungkan dua elemen daripada set ini jika elemen yang sama tidak boleh diulang dalam satu pasangan?

Jika susunan elemen adalah penting, kita akan melihat kumpulan yang dibentuk oleh pilih atur:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Walau bagaimanapun, memandangkan susunan tidak penting dalam kombinasi, kita singkirkan pendua untuk mendapatkan:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Ini meninggalkan kita dengan 6 kombinasi yang mungkin. Kita boleh mengesahkan perkara ini menggunakan formula kombinasi. Dalam contoh ini, $n=4$ dan $r=2$. Oleh itu:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Pengiraan manual ini sepadan dengan sempurna dengan keputusan yang dijana oleh Kalkulator Kombinasi kami.

Contoh 2

Apakah kombinasi yang mungkin bagi huruf A, B, C, dan D apabila dikelompokkan dalam set 3? Jika susunan penting (pilih atur), terdapat 24 susunan yang mungkin. Walau bagaimanapun, dalam pembilangan kombinasi, susunan adalah tidak relevan. Disebabkan ini, hanya pengelompokan unik dalam baris pertama jadual di bawah yang relevan, memberikan kita tepat 4 kombinasi yang mungkin.

Daripada menyenaraikan semua susunan yang mungkin secara renyah, kita boleh mengira bilangan kombinasi dengan cepat menggunakan formula nCr. Di sini, kita mempunyai n=4 objek berbeza, dan kita mengambil r=3 pada satu-satu masa. Oleh itu:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Pilih Atur

Walaupun kombinasi mengabaikan susunan, pilih atur mentakrifkan bilangan cara untuk menyusun dan memilih objek apabila susunan objek tersebut adalah sangat penting. Formula standard untuk pilih atur (nPr) apabila memilih r objek daripada kumpulan n objek berbeza ialah:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dua ciri penentu dalam mengira pilih atur menggunakan formula ini ialah pengulangan objek tidak dibenarkan, dan urutan atau susunan khusus objek tersebut adalah sangat penting.

Contoh 3

Katakan terdapat 4 calon dalam satu temu duga kerja. Jawatankuasa pemilihan perlu menyusun kedudukan kesemua 4 calon dari tempat pertama hingga ke-4. Berikut adalah pecahan kemungkinannya:

• Calon pertama - terdapat 4 cara untuk memilih
• Calon ke-2 - terdapat 3 cara untuk memilih
• Calon ke-3 - terdapat 2 cara untuk memilih
• Calon ke-4 - hanya terdapat satu cara untuk memilih

Menggunakan peraturan hasil darab pembilangan, jumlah cara untuk menyusun kedudukan calon ialah 4 × 3 × 2 × 1 = 24, yang secara matematik adalah bersamaan dengan 4!. Katakan calon-calon tersebut ialah:

{A, B, C, D}

Ruang sampel untuk masalah ini, yang memaparkan kesemua 24 pilih atur yang mungkin, digariskan dalam jadual di bawah:

Daripada memetakan semua urutan berpotensi secara manual, kita boleh mengira bilangan susunan yang tepat menggunakan formula pilih atur. Untuk contoh ini, terdapat n = 4 objek, dan kita menyusun r = 4 elemen pada satu-satu masa. Oleh itu:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Perbezaan antara Kombinasi dan Pilih Atur

Apabila memutuskan pendekatan matematik yang ingin digunakan, ingat peraturan asas ini: perbezaan utama antara pilih atur dan kombinasi ialah susunan. Dalam kombinasi, susunan elemen yang dipilih adalah tidak penting (contohnya, memilih pasukan). Dalam pilih atur, susunan elemen yang dipilih adalah sangat penting (contohnya, meneka kata laluan atau menyusun kedudukan calon).