एवरेज कैलक्यूलेटर

हमारे 'ऑनलाइन औसत कैलकुलेटर' (Online Average Calculator) का उपयोग करके संख्याओं के किसी भी सेट का औसत (Average) निकालना बेहद आसान है। डेटा बॉक्स में, आप अपनी जानकारी सीधे टाइप कर सकते हैं या कॉपी-पेस्ट कर सकते हैं। बस यह सुनिश्चित करें कि संख्याओं के बीच अल्पविराम (comma) लगा हो। इसके बाद, "कैलकुलेट" (Calculate) बटन पर क्लिक करें।

यह औसत कैलकुलेटर आपको तुरंत औसत (अंकगणितीय माध्य), गणना की पूरी प्रक्रिया और संख्याओं के सेट से जुड़ा अन्य महत्वपूर्ण डेटा दिखाएगा।

औसत (Average)

औसत (Average) डेटा सेट में मौजूद सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाली एक एकल संख्या है। इसे सेट के सभी नंबरों का योग करके कुल संख्याओं से भाग देकर निकाला जाता है। सांख्यिकी में, औसत को 'केंद्रीय प्रवृत्ति' (Central Tendency) या डेटा के सारांश का सबसे महत्वपूर्ण मापदंड माना जाता है।

सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला औसत 'सरल अंकगणितीय माध्य' (Simple Arithmetic Mean) है। हालांकि, औसत के कई अन्य प्रकार भी होते हैं, जैसे ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean), भारित माध्य (Weighted Mean), संयुक्त अंकगणितीय माध्य और हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) आदि।

जनसंख्या (Population) के औसत को ग्रीक प्रतीक μ (Mu) द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि नमूने (Sample) के औसत को X̄ (X bar) द्वारा दर्शाया जाता है।

सरल औसत (Simple Average)

डेटा सेट के सभी मूल्यों के योग को डेटा बिंदुओं की कुल संख्या से भाग देकर सरल औसत निकाला जाता है। इसे अक्सर माध्य (Mean), अंकगणितीय माध्य या साधारण औसत भी कहा जाता है।

जनसंख्या (Population) का औसत निकालने के लिए, हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

μ = डेटा सेट के मानों का योग / जनसंख्या में डेटा मानों की कुल संख्या = ΣX / N

नमूने (Sample) का औसत निकालने के लिए, हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

X̄ = डेटा सेट के मानों का योग / नमूने में डेटा मानों की कुल संख्या = ΣX / n

आइए एक उदाहरण की मदद से औसत निकालना सीखें।

उदाहरण

जैस्मीन के पिछले सेमेस्टर के सात विषयों के अंक नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं। जैस्मीन के पिछले सेमेस्टर के अंकों का औसत क्या है?

सॉल्यूशन

औसत स्कोर = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

औसत एक ऐसा शब्द है जिससे हम सभी परिचित हैं। आपने दैनिक जीवन में औसत आय, उत्पादन की औसत लागत, औसत मूल्य, औसत स्कोर या ईंधन के औसत माइलेज के बारे में जरूर सुना होगा। इस आदर्श औसत को 'सरल औसत' या 'सरल अंकगणितीय माध्य' भी कहा जाता है।

हालांकि, कुछ विशेष स्थितियों में हम केंद्रीय प्रवृत्ति के अन्य मापदंडों का उपयोग करते हैं। आइए उन पर एक नज़र डालते हैं।

ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean)

जब समय के साथ औसत वृद्धि दर (Growth rate) निकालनी हो, तो अंकगणितीय माध्य एक सही विकल्प नहीं है। ऐसी गणनाओं के लिए—विशेषकर अकाउंटिंग और फाइनेंस में, जैसे चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) निकालने के लिए—'ज्यामितीय माध्य' (Geometric Mean) का उपयोग किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विकास दर को जोड़ा नहीं बल्कि गुणा किया जाता है।

आपके डेटा सेट का ज्यामितीय माध्य सभी डेटा बिंदुओं के गुणनफल (product) का nवां मूल (n-th root) होता है। इसे निकालने के लिए सभी मानों को आपस में गुणा किया जाता है और फिर परिणाम का nवां मूल निकाला जाता है, जहाँ 'n' डेटासेट में मौजूद आइटम्स की कुल संख्या है। अनुपात (ratios), प्रतिशत (percentages) और विकास दर का औसत निकालते समय ज्यामितीय माध्य बहुत उपयोगी होता है।

$$Geometric\ Mean = \sqrt[n]{x₁×x₁×x₁×…×x₁} = (x₁×x₁×x₁×…×x₁)^{\frac{1}{n}}$$

आइए पिछले उदाहरण का ज्यामितीय माध्य निकालें:

$$Geometric\ Mean = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31$$

ज्यामितीय माध्य हमेशा साधारण औसत (अंकगणितीय माध्य) के बराबर या उससे कम होता है।

हमारे उदाहरण में,

ज्यामितीय माध्य ≤ औसत

80.31 < 81

आप हमारे एवरेज कैलकुलेटर का उपयोग केवल अंकगणितीय माध्य निकालने के लिए ही नहीं, बल्कि अपने डेटा सेट का ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) ज्ञात करने के लिए भी कर सकते हैं।

भारित औसत (Weighted Average)

सरल अंकगणितीय माध्य में सभी मानों (values) को समान भार (weight) या महत्व दिया जाता है। लेकिन कई मामलों में, डेटासेट में मौजूद प्रत्येक मान का महत्व एक समान नहीं होता है।

पिछले उदाहरण में, हमने सभी अंकों को जोड़कर और विषयों की कुल संख्या से भाग देकर औसत निकाला था। उसमें हमने इस बात पर विचार नहीं किया कि प्रत्येक विषय का महत्व (क्रेडिट या वेटेज) कितना है।

जब डेटा के प्रत्येक हिस्से का महत्व अलग-अलग हो, तो हमें 'भारित औसत' (Weighted Average) का उपयोग करना चाहिए। भारित औसत निकालने के लिए, प्रत्येक मान को उसके संबंधित भार (Weight) से गुणा किया जाता है, और फिर उन सभी के योग को कुल भार से भाग दिया जाता है।

भारित औसत ज्ञात करने के लिए हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

भारित औसत = भारित मानों का योग / कुल भार = ΣWX / ΣW

उदाहरण

मान लें कि पिछले उदाहरण में प्रत्येक विषय का वेटेज (भार) अलग-अलग है। ऐसे में, पिछले सेमेस्टर के 7 विषयों में जैस्मीन के स्कोर की अपडेटेड डेटा तालिका इस प्रकार होगी:

पिछले सेमेस्टर से जैस्मीन के अंकों का भारित औसत (Weighted Average)

सॉल्यूशन

भारित औसत स्कोर = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3) /( 3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

माध्यिका (Median)

माध्यिका (Median) किसी डेटा सेट को न्यूनतम से अधिकतम (आरोही क्रम) या अधिकतम से न्यूनतम (अवरोही क्रम) में व्यवस्थित करने पर ठीक बीच में आने वाली संख्या होती है। दूसरे शब्दों में, माध्यिका वह बिंदु है जो डेटा ऐरे (Data Array) को दो बराबर हिस्सों में बांटता है। इसका अर्थ है कि आधे मान माध्यिका से छोटे होते हैं और आधे मान उससे बड़े होते हैं।

माध्यिका (Median) की गणना विधि

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके माध्यिका की स्थिति (Position) ज्ञात करनी होती है:

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item$$

यहाँ "n" डेटा सेट में मौजूद कुल आइटम्स की संख्या को दर्शाता है।

यदि सेट में आइटम्स की संख्या विषम (Odd) है, तो माध्यिका ठीक बीच वाले आइटम का मान होती है। लेकिन यदि डेटा बिंदुओं की कुल संख्या सम (Even) है, तो बीच की दो संख्याओं का औसत (Mean) ही माध्यिका कहलाता है।

माध्य (Mean) और माध्यिका (Median) के बीच अंतर

1. माध्य (Mean) या औसत की गणना डेटा सेट के सभी मानों को जोड़कर और फिर कुल संख्याओं (observations) से भाग देकर की जाती है। यह हमें एक ऐसा मान प्रदान करता है जो डेटा सेट के हर एक बिंदु को ध्यान में रखता है। इसके विपरीत, माध्यिका (Median) एक ऐसे डेटा सेट का मध्य मान (middle value) है जिसे क्रमानुसार व्यवस्थित किया गया हो। यह एक ऐसा केंद्रीय बिंदु प्रदान करता है जो डेटा सेट को आधा-आधा बांटता है, लेकिन यह सभी मानों के परिमाण (magnitude) से प्रभावित नहीं होता है।

2. माध्य और माध्यिका दोनों का अनुमान ग्राफिकल प्रतिनिधित्व (Graphical representation) से लगाया जा सकता है। एक सममित वितरण (Symmetrical distribution) में माध्य लगभग केंद्र में होता है, जबकि बॉक्स प्लॉट (Box plot) जैसे ग्राफ में माध्यिका को एक मध्य रेखा के रूप में स्पष्ट देखा जा सकता है।

3. माध्य और माध्यिका दोनों का उपयोग उन्नत सांख्यिकीय विश्लेषण में होता है। माध्य विशेष रूप से उन डेटा के लिए उपयोगी होता है जो सामान्य रूप से वितरित (Normally distributed) होते हैं और जिनमें चरम मान (Outliers) नहीं होते हैं। विचरण (Variance) और मानक विचलन (Standard Deviation) निकालने में माध्य का ही प्रयोग होता है। वहीं, जब डेटा विषम (Skewed) हो या उसमें चरम मान (Outliers) मौजूद हों, तब केंद्रीय प्रवृत्ति मापने के लिए माध्यिका एक बेहतर और सटीक विकल्प है, और इसका उपयोग अक्सर उन नॉन-पैरामेट्रिक परीक्षणों में किया जाता है जो किसी विशिष्ट डेटा वितरण की मान्यता नहीं रखते।

माध्य (Mean) का उपयोग कब करें

जब डेटा सेट का वितरण सममित (symmetrical) हो और उसमें कोई आउटलायर (चरम मान) न हो, तब माध्य, केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे उपयुक्त माप होता है। यह डेटा के केंद्र का एक विश्वसनीय संकेतक है क्योंकि इसमें हर एक मान को शामिल किया जाता है। यदि डेटा सेट में आउटलायर्स हैं, तो केंद्रीय प्रवृत्ति का सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए गणना से पहले उन्हें हटा देना एक अच्छा अभ्यास माना जाता है।

माध्यिका (Median) का उपयोग कब करें

जब डेटा का वितरण विषम (Skewed) हो या जब डेटा सेट में आउटलायर्स (असामान्य या चरम मान) मौजूद हों, तब माध्यिका का उपयोग करना सबसे अच्छा रहता है। इसका कारण यह है कि माध्यिका (जो क्रमानुसार व्यवस्थित डेटा का मध्य मान है) चरम मानों के प्रभाव से अप्रभावित रहती है, जबकि माध्य इन चरम मानों से बुरी तरह प्रभावित हो सकता है। ऐसे मामलों में, माध्यिका एक बेहतर केंद्रीय मान प्रदान करती है जो आउटलायर्स के कारण बिना बिगड़े अधिकांश डेटा का सही प्रतिनिधित्व करती है।

आइए आउटलायर (Outlier) के प्रभाव को समझने के लिए अपने मूल उदाहरण में कुछ बदलाव करके देखते हैं।

उदाहरण

मान लें कि जैस्मीन ने 'इंटरनेशनल स्टडीज' में 92 के बजाय केवल 15 अंक प्राप्त किए। अब पिछले सेमेस्टर के विषयों से जैस्मीन के नए अंकों का औसत क्या होगा?

सॉल्यूशन

औसत स्कोर = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

अब औसत स्कोर 70 हो गया है। एक विषय में बहुत कम अंक (15) आने के कारण औसत 81 से गिरकर 70 हो गया (11 अंकों की भारी गिरावट)। आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि एक चरम संख्या (Outlier) ने औसत को किस तरह प्रभावित किया।

इस तरह की स्थिति में, डेटा की केंद्रीय प्रवृत्ति का पता लगाने के लिए माध्य (Mean) की तुलना में माध्यिका (Median) एक बहुत बेहतर तरीका है। आइए देखते हैं कि मूल डेटा और बदले हुए डेटा के लिए माध्यिका कैसे निकाली जाती है, जिससे यह बात और स्पष्ट हो जाएगी।

उदाहरण

नीचे दी गई तालिका में पिछले सेमेस्टर के सात विषयों के लिए जैस्मीन के मूल (original) अंक दिए गए हैं। इन अंकों की माध्यिका (Median) क्या है?

सॉल्यूशन

सबसे पहले चरण के रूप में, हम सभी अंकों को एक क्रम में व्यवस्थित करेंगे। आप अपनी सुविधानुसार इन्हें आरोही (Ascending) या अवरोही (Descending) क्रम में रख सकते हैं।

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}item = 4^{th}item$$

इसके बाद, हम देखेंगे कि हमारे व्यवस्थित डेटा सेट का चौथा आइटम कौन सा है। यह 84 है। इसलिए, इस डेटा सेट की माध्यिका 84 है। अब, हम आउटलायर (चरम मान) वाले संशोधित डेटा सेट की माध्यिका निकालेंगे।

उदाहरण

मान लीजिए कि जैस्मीन को 'इंटरनेशनल स्टडीज' में 92 के बजाय 15 अंक मिले। इस नई स्थिति में उनके अंकों की माध्यिका क्या होगी?

सॉल्यूशन

सबसे पहले चरण के रूप में, हम सभी अंकों को एक सरणी (Array) के रूप में आरोही क्रम में व्यवस्थित करेंगे।

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}item = 4^{th}item$$

अब, हम जाँचेंगे कि हमारे डेटा सेट का चौथा आइटम क्या है। यह 84 है और यही डेटा सेट की माध्यिका (Median) का प्रतिनिधित्व करता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, भले ही इस मामले में एक आउटलायर (चरम मान) मौजूद है, फिर भी माध्यिका पर कोई प्रभाव नहीं पड़ा है।