三角形計算機

三角形計算機

三角形計算機（三角形ツール・オンライン計算ツール）は、既知の3つの値から、三角形に関するあらゆる数値を瞬時に算出できる便利なオンライン三角形ソルバーです。この計算機は、三角形の辺の長さや角度を入力するだけで、以下の値を自動的に計算します：

• 残りの辺の長さ
• 残りの角度
• 面積（エリア）
• 周長（周囲長）
• 半周長
• 各辺を底辺としたときの高さ
• 各頂点から対辺への中線（中央値）の長さ
• 内接円の半径
• 外接円の半径

さらに、この計算機は頂点 A の座標が [0, 0] であると仮定して、各頂点の座標、重心、内接円の中心、および外接円の中心の座標も導き出します。

使用方法

この三角形計算機の使い方は非常にシンプルです。入力フィールドに、任意の3つの値（角度や辺の長さ）を入力してください。ただし、少なくとも1つは辺の長さを入力する必要があります。辺の長さが1つも指定されていない場合、無数の三角形が成立してしまうため計算ができません。

数値を入力したら、角度の単位（度、またはラジアン）を選択します。ラジアンを選択し、π（パイ）を使用する場合は pi と入力してください。例えば、角度が \$\frac{π}{3}\$ の場合は pi/3 と入力します。

既知の値を入力後、「計算」ボタンをクリックします。計算機は、不足しているすべての数値を瞬時に計算し、形状を視覚的に把握しやすいように三角形の概略図も表示します。計算結果の直下にある「計算ステップの表示」を展開すると、解を導き出すために使用された計算アルゴリズムや数学的公式を詳しく確認することができます。

入力したすべての値をリセットする場合は、「クリア」ボタンをクリックしてください。

入力値の制限に関する注意点

• 辺の長さの必須入力: 既知の値として、少なくとも1つの辺の長さを含める必要があります。
• 角度の合計: 「2つの角度と1つの辺の長さ」を入力する場合、入力する2つの角度の合計は、必ず 180°（または π ラジアン）未満でなければなりません。
• 辺の長さの条件（三角不等式）: 「3つの辺の長さ」を入力する場合、任意の2辺の長さの和が、残りの1辺の長さよりも大きくなるように設定してください。

計算例（実用ケース）

引っ越し作業で、友人からトラックを借りる状況を想像してみてください。荷台への積み下ろしが必要ですが、トラックにスロープ（ランプ）は付いていません。手元に持ち運び可能なスロープがありますが、その寸法がトラックの荷台の高さに合うかを確認する必要があります。

このスロープの傾斜角は固定されています。スロープを横から見た三角形について測定したところ、2つの辺の長さが 1 m と 0.8 m であり、1 m の辺に対する対角が 85度 であることがわかりました（画像参照）。また、トラックの荷台の高さは 0.5 m から 1 m の範囲で調整可能だとします。果たして、このスロープはトラックで使えるでしょうか？

与えられた条件:

• 辺 b = 1
• 辺 c = 0.8
• 角度 B = 85度

解法:

スロープがトラックに適合するかどうかを判断するには、前述の条件で三角形の計算を行い、残りの辺（高さに相当する辺 a）の長さが、トラックの高さの許容範囲内（0.5 < a < 1）に収まるかを確認する必要があります。

上記の値を三角形計算機に入力すると、必要なすべての答えが導き出されます。今回の目的では「不足している辺 a の長さ」だけが分かれば十分ですが、この三角形ソルバーは実用例で示されていないその他の値も含めて、すべて網羅して計算してくれます：

計算結果:

• 辺 a = 0.67376

• 辺 b = 1

• 辺 c = 0.8

• 角度 A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• 角度 B = 85° = 1.48353 rad

• 角度 C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

スロープの概略図は以下のようになります：

計算結果より a ≈ 0.674 となり、トラックの調整可能な高さの範囲である 0.5 < a < 1 に収まっていることがわかります。これは、スロープの高さがトラックの荷台にぴったりフィットすることを意味し、無事に友人（レンタル会社ではなく！）からトラックを借りて引っ越しを進めることができます。

三角形の定義と重要な公式

幾何学において、三角形とは、同一直線上にない3本の直線の交点（頂点）を線分で結んでできる平面図形です。また、3つの頂点と3つの辺（エッジ）を持つ多角形（ポリゴン）として定義されます。

三角形の成立条件（存在条件）

三角形が成立するためには、辺に関する条件と角度に関する条件の2つを満たす必要があります。

辺に関する条件は「三角不等式」に基づいています。これは、三角形の任意の2辺の長さの和は、常に残りの1辺の長さ以上でなければならないという定理です。もし、2辺の長さの和が3番目の辺の長さと等しくなった場合、その三角形は「退化三角形（縮退三角形）」と呼ばれます。

退化三角形とは、3つの頂点すべてが同じ直線上にある状態を指します。これは非常に特殊なケースであり、通常、基本的な幾何学では扱われないため、当計算機でも考慮の対象外としています。

角度に関する条件は、三角形の3つの内角の和が常に 180°（または π ラジアン）に等しいというものです。

三角形の基本的な測定値と計算式

三角形における最も重要な測定値の定義と、それらを求めるための数学的公式を見ていきましょう。

三角形の周長（周囲長） は、3つの辺の長さの合計であり、以下の式で求められます：

p = a + b + c

三角形の半周長（セミペリメーター） は、周長の半分であり、以下の式で計算されます：

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

三角形の面積（エリア） は、三角形が平面上で占める広さ（スペース）を表します。2つの辺の長さとその間の角度（夾角）がわかっている場合、面積は次のように計算できます：

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

三角形の高さ（高度） は、1つの頂点から対辺に下ろした垂線の長さです。三角形には3つの辺（底辺）があるため、高さも3つ存在します。辺 a に垂直な高さは通常 hₐ と表されます。同様に、他の2つの高さは \$h_b\$ および h꜀ と表されます。高さを求める最も簡単な方法は、面積を利用することです：

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

三角形の中線（中央値） は、三角形の頂点と、その対辺の中点を結んだ線分です。すべての三角形には3本の中線が存在します。

辺 a に対する中線は、通常 mₐ として表されます。同様に、他の2つの中線は \$m_b\$ および m꜀ として表されます。中線の長さは、以下の式で求めることができます：

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

内接円の半径（内半径） は、三角形の内側にあり、3つのすべての辺に接する円（内接円）の半径です。

内接円の半径 r の長さは、次のようにして求めることができます：

$$r=\frac{A}{s}$$

外接円の半径（円周半径） は、三角形の3つの頂点すべてを通過する円（外接円）の半径です。

外接円の半径 R の長さは、正弦定理（サインの法則）から導き出すことができます：

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

正弦定理は、三角形の未知の辺の長さや角度を見つける際にも非常に役立ちます。また、もう一つの重要な公式として**余弦定理（コサインの法則）**があります：

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

上記の公式を活用することで、すべての三角形の測定値を正確に計算することが可能です。当オンライン三角形計算機は、内部でこれらの数式を駆使して欠損値を自動計算しています。