피타고라스 정리 계산기

이 피타고라스 계산기는 직각삼각형의 다른 두 변의 길이가 알려져 있을 때, 세 번째 변의 길이를 찾습니다. 계산은 피타고라스 정리를 기반으로 수행됩니다.

사용 방법

알려진 변의 길이를 입력하고 ""계산하기""를 누르세요. 계산기는 다음 값을 반환합니다:

• 세 번째 변의 길이.
• 90°가 아닌 각도의 각도 값(도 및 라디안).
• 삼각형의 면적.
• 삼각형의 둘레.
• 빗변에 수직인 높이의 길이.

계산기는 또한 자세한 해결 방법을 반환하며, ""+ 계산 단계 표시""를 눌러 확장할 수 있습니다.

각 변의 입력 필드에는 전체 숫자 부분과 제곱근 부분이 포함되어 있어, 2√3, √3 등의 값을 편리하게 입력할 수 있습니다.

또한 삼각형의 다리인 a와 b의 값은 빗변인 c의 값보다 짧아야 합니다.

피타고라스 정리

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변(밑변)의 길이의 제곱의 합과 같다고 말합니다.

피타고라스 정리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

a² + b² = c²,

여기서 a와 b는 직각삼각형의 짧은 변(다리)의 길이이고, c는 가장 긴 변(빗변)의 길이입니다. 위의 방정식은 다음과 같이 설명될 수 있습니다: a의 제곱 더하기 b의 제곱은 c의 제곱과 같다.

피타고라스 정리 증명

넓이를 더해 피타고라스 정리를 증명해봅시다.

위 이미지에서, 변의 길이가 (a + b)인 정사각형은 변의 길이가 c인 정사각형과 a, b, c의 변을 가진 네 개의 직각삼각형으로 구성되어 있습니다. 이 정사각형의 넓이를 두 가지 다른 전략을 사용하여 찾아봅시다:

1. 변의 길이가 (a + b)인 정사각형의 면적은 (a + b)²로 계산될 수 있습니다:

A = (a + b)²

2. 같은 면적은 정사각형을 구성하는 도형들의 면적 합으로도 찾을 수 있습니다 – 변의 길이가 c인 정사각형의 면적과 a, b, c 변을 가진 삼각형 네 개의 면적. 변의 길이가 c인 정사각형의 면적은 c²로 계산됩니다. a, b, c 변을 가진 직각삼각형의 면적은 (ab)/2로 찾을 수 있습니다. 따라서,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

이 두 계산은 동일한 면적을 설명하기 때문에, 이들을 같게 할 수 있습니다:

(a + b)² = c² + 2ab

방정식 왼쪽의 제곱을 전개하면,

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

양쪽에서 2ab를 빼면,

a² + b² = c²

가 필요한 결과가 됩니다.

계산 알고리즘

직각삼각형의 변 찾기

직각삼각형의 두 변이 주어진 경우, 피타고라스 정리를 사용하여 세 번째 변을 찾을 수 있습니다. 예를 들어, a와 b 변이 주어진 경우, c 변의 길이는 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

마찬가지로,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

그리고,

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

직각삼각형의 각도 찾기

직각삼각형의 모든 세 변이 알려져 있으면, 90°가 아닌 삼각형의 각도는 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

• ∠α = arcsin(a/c) 또는 ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) 또는 ∠β = arccos(a/c)

여기서 ∠α는 변 'a'에 대한 반대 각도, ∠β는 변 'b'에 대한 반대 각도이고, 'c'는 빗변입니다. arcsin과 arccos 중 어느 것을 선택할지는 각도와 관련하여 고려하는 다리(a 또는 b)에 따라 달라집니다. arcsin을 사용할 때는 각도에 반대되는 다리를 사용하고, arccos를 사용할 때는 각도에 인접한 다리를 사용합니다. 두 접근법 모두 유효하며 직각삼각형에서 올바른 각도 측정값을 제공합니다.

직각삼각형의 면적

직각삼각형의 면적은 다리의 곱의 1/2로 계산할 수 있습니다:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

직각삼각형의 둘레

직각삼각형의 둘레는 모든 변의 합으로 계산됩니다:

P = a + b + c

빗변에 대한 높이

직각삼각형의 모든 세 변이 알려져 있으면, 빗변에 대한 높이 h는 다음과 같이 찾을 수 있습니다:

h = (a × b)/c

실생활 예시

피타고라스 정리는 건축 및 건설 분야에서 필요한 부품의 길이를 계산하고 건축된 건물의 각도가 직각인지 확인하기 위해 널리 사용됩니다. 이 정리를 적용하는 예를 살펴봅시다.

물체 배치

이사를 가고 있고, 길이가 4미터이고 높이가 3미터인 이사 트럭을 빌렸다고 상상해봅시다. 크고 무거운 물건은 많지 않지만, 4.5미터 길이의 사다리를 소유하고 있습니다. 이 사다리가 트럭에 맞을까요?

해결

사다리 길이 4.5미터는 트럭 길이 4미터를 초과하므로 사다리가 트럭 내부에 들어갈 수 있는 유일한 방법은 대각선입니다. 이것이 가능한지 확인하려면 트럭의 길이와 높이에 해당하는 변을 가진 삼각형의 빗변을 계산하기 위해 피타고라스 정리를 사용해야 합니다. 따라서, 우리의 경우 a = 4, b = 3이며, c를 찾아야 합니다:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4, b = 3인 삼각형의 빗변은 c = 5입니다. 따라서 트럭에 들어갈 수 있는 가장 긴 물체는 5미터입니다. 당신의 사다리는 4.5미터 길이입니다. 따라서 쉽게 맞을 것입니다!

정답

네, 사다리가 맞을 것입니다.

추가 계산

이 온라인 계산기는 주어진 삼각형의 추가적인 특성도 찾아냅니다. a = 4, b = 3, c = 5인 삼각형에 대한 이러한 특성을 계산해봅시다.

삼각형의 면적:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

삼각형의 둘레:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

빗변에 대한 높이:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

변 a에 대한 반대 각도:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48"" = 0.9273 라디안

변 b에 대한 반대 각도:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12"" = 0.6435 라디안