Kalkulator Pilihatur

Kalkulator pilihatur kami menentukan bilangan cara yang tepat untuk anda menyusun n objek yang berbeza, dengan mengambil sampel r elemen pada satu-satu masa. Ia mengira bilangan susunan yang mungkin bagi kumpulan di mana jujukan atau tertib elemen tertentu adalah sangat penting. Jumlah keseluruhan objek yang tersedia diwakili oleh n, manakala bilangan elemen dalam setiap kumpulan yang dipilih diwakili oleh r.

Sebagai contoh, jika kita ingin menyusun huruf XYZ ke dalam kumpulan yang mengandungi dua huruf setiap satu, kita boleh membentuk XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY, yang menghasilkan 6 cara yang berbeza.

Untuk menggunakan kalkulator nPr ini, hanya masukkan n (jumlah keseluruhan objek yang ingin disusun) dan r (bilangan elemen dalam setiap kumpulan sampel), kemudian klik "Calculate".

Pilihatur

Dalam matematik, pilihatur ialah susunan ahli-ahli suatu set ke dalam jujukan atau tertib yang tertentu. Jika sesuatu set sudah sedia tersusun, menyusun semula elemen-elemennya akan menghasilkan pilihatur yang baharu. Dalam mana-mana pilihatur, tertib susunan elemen adalah sangat penting. Sebagai contoh, jujukan AB dan BA mewakili dua pilihatur yang berbeza sama sekali. Jumlah keseluruhan pilihatur bagi n objek yang diambil dalam sampel r objek biasanya diwakili sebagai nPr.

Pengiraan bilangan pilihatur sangat bergantung pada jenis objek yang disusun dan sama ada pengulangan dibenarkan atau tidak. Melainkan dinyatakan sebaliknya, secara amnya diandaikan bahawa pengulangan tidak dibenarkan semasa mengira pilihatur.

Dalam artikel ini, kami akan menumpukan perhatian secara eksklusif pada contoh-contoh pilihatur tanpa pengulangan.

Pilihatur bergantung pada prinsip asas pembilangan. Prinsip ini menyatakan bahawa jika suatu eksperimen terdiri daripada k peristiwa berturutan, di mana peristiwa pertama boleh berlaku dalam n₁ cara, peristiwa kedua dalam n₂ cara, dan seterusnya sehingga peristiwa terakhir berlaku dalam nₖ cara, jumlah keseluruhan cara eksperimen itu boleh berlaku adalah hasil darab bagi setiap kejadian individu ini: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Katakan kita ingin menentukan bilangan pilihatur yang mungkin bagi huruf ABC tanpa sebarang pengulangan. Mana-mana daripada tiga huruf tersebut boleh diletakkan di tempat pertama, bermakna terdapat 3 cara untuk menetapkan huruf pertama.

Sebaik sahaja huruf pertama ditetapkan, dua huruf lagi berbaki. Mana-mana daripada dua huruf ini boleh dipilih sebagai huruf kedua, memberikan kita 2 cara untuk menetapkan huruf kedua. Selepas huruf kedua dipilih, hanya satu huruf sahaja yang tinggal, bermakna hanya ada 1 cara untuk menetapkan huruf ketiga.

Dengan menggunakan prinsip asas pembilangan, terdapat sejumlah 3 × 2 × 1 = 6 cara untuk menyusun huruf ABC. Susunan tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA.

Faktorial

Seperti yang ditunjukkan di atas, bilangan pilihatur bagi 3 objek yang berbeza dikira sebagai 3 × 2 × 1 = 6. Secara amnya, bilangan pilihatur untuk menyusun keseluruhan set n objek diberikan oleh n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Ini melibatkan pendaraban semua integer positif dari n turun sehingga 1. Dalam matematik, hasil darab integer n dan semua integer positif di bawahnya dipanggil faktorial, yang ditunjukkan dengan tanda seru (!).

Oleh itu, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, dan disebut sebagai "n faktorial".

Sila ambil perhatian bahawa mengikut konvensyen matematik, 0! = 1 dan 1! = 1.

Contoh Pilihatur

Balapan standard untuk acara larian pecut di Sukan Olimpik mempunyai 9 lorong. Walau bagaimanapun, untuk acara larian 100 meter, lorong 1 biasanya dibiarkan kosong. Sebaliknya, 8 pelari diletakkan di lorong 2 hingga 9. Berapakah bilangan cara yang mungkin untuk menyusun 8 pelari ini di sepanjang lorong 2 hingga 9?

Menggunakan prinsip asas pembilangan:

• mana-mana daripada 8 pelari boleh diletakkan di lorong 2,
• mana-mana daripada 7 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 3,
• mana-mana daripada 6 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 4,
• mana-mana daripada 5 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 5,
• mana-mana daripada 4 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 6,
• mana-mana daripada 3 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 7,
• mana-mana daripada 2 pelari yang berbaki boleh diletakkan di lorong 8,
• 1 pelari yang berbaki diletakkan di lorong 9.

Oleh itu, jumlah pilihatur yang mungkin untuk menyusun 8 pelari di sepanjang 8 lorong yang tersedia ialah 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 cara.

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kalkulator pilihatur kami, hanya masukkan 8 dalam kedua-dua kotak n (objek) dan r (sampel), kemudian klik "Calculate" untuk mendapatkan 40,320 secara serta-merta.

Pilihatur bagi Subset

Dalam contoh-contoh sebelum ini, kita telah melihat pengiraan pilihatur apabila setiap objek dalam set digunakan dalam susunan tersebut. Walau bagaimanapun, terdapat banyak situasi di mana set objek yang lebih besar disusun ke dalam kumpulan kecil yang lebih kecil.

Dalam kes sebegini, jumlah keseluruhan objek yang tersedia diwakili oleh n, bilangan objek yang dipilih untuk kumpulan kecil (sampel) diwakili oleh r, dan formula berikut digunakan untuk mengira bilangan pilihatur:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ini ialah formula pilihatur standard yang digunakan untuk mengira susunan tanpa pengulangan apabila anda perlu menyusun sampel r tertentu yang diambil daripada set n yang lebih besar.

Jika anda perlu mengira bilangan cara untuk menyusun semua elemen dalam suatu set mengikut tertib tertentu tanpa pengulangan (di mana n bersamaan dengan r), formula tersebut diringkaskan menjadi:

$$ₙPᵣ=n!$$

Contoh

Kembali kepada contoh larian 100 meter, sebelum ini kita telah mengira jumlah keseluruhan cara kesemua lapan pelari boleh disusun di atas balapan. Sekarang, mari kita lihat pada pingat pula. Tiga pingat sedia untuk direbut: tempat pertama memenangi emas, tempat kedua memenangi perak, dan tempat ketiga memenangi gangsa. Daripada 8 pelari yang bermula, berapakah bilangan cara yang mungkin untuk pingat emas, perak, dan gangsa dianugerahkan?

Berdasarkan prinsip asas pembilangan, mana-mana daripada 8 pelari boleh menduduki tempat pertama. Sebaik sahaja pemenang pingat emas ditentukan, 7 pelari berbaki untuk bersaing merebut tempat kedua. Selepas pingat perak dianugerahkan, 6 pelari tinggal untuk bersaing merebut pingat gangsa di tempat ketiga. Oleh itu, jumlah keseluruhan pilihatur yang mungkin untuk tiga kedudukan teratas daripada 8 pelari ialah: 8 × 7 × 6 = 336

Sebagai alternatif, kita boleh menggunakan formula nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Memasukkan nilai nombor kita, kita mendapat:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Untuk mencari jawapan ini menggunakan kalkulator pilihatur, masukkan 8 ke dalam kotak n (objek) dan 3 ke dalam kotak r (sampel). Klik "Calculate", dan anda akan mendapat 336.

Pilihatur dan Gabungan: Perbezaannya

Satu lagi teknik pembilangan yang penting dalam matematik ialah gabungan. Gabungan mewakili pelbagai cara bilangan objek yang lebih kecil (sampel r) boleh dipilih daripada kumpulan objek yang lebih besar (n). Bilangan gabungan bagi r objek yang dipilih daripada n objek diwakili sebagai ₙCᵣ.

Semasa mendefinisikan pilihatur, kita telah menetapkan bahawa jujukan atau susunan adalah sangat penting. Ini adalah perbezaan utama antara pilihatur dan gabungan: dalam gabungan, tertib susunan tidak penting.

Sebagai contoh, sebelum ini kita telah maklum bahawa pilihatur bagi huruf XYZ yang diambil dalam kumpulan dua huruf menghasilkan enam susunan yang berbeza: XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY.

Walau bagaimanapun, gabungan bagi huruf XYZ dalam kumpulan dua huruf hanya menghasilkan tiga pasangan yang berbeza: XY, XZ, dan YZ. Disebabkan tertib susunan tidak penting dalam gabungan, XY dan YX dianggap sebagai pasangan yang sama sahaja. Perkara yang sama berlaku untuk XZ dan ZX, serta YZ dan ZY.

Formula yang digunakan untuk mengira bilangan gabungan bagi r objek daripada n objek ialah:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Contoh Mengira Gabungan

Dalam senario pelari di atas, kita telah mengira bilangan cara kita boleh menetapkan kedudukan tempat pertama, kedua, dan ketiga yang khusus daripada kumpulan 8 pelari. Namun, bagaimana jika kita hanya ingin mengetahui bilangan cara untuk memilih 3 pemenang pingat daripada 8 pelari tersebut, tanpa mengira kedudukan khusus mereka? Dalam kes ini, tidak kira siapa yang mendapat tempat pertama, kedua, atau ketiga—asalkan mereka terpilih untuk memenangi pingat.

Disebabkan tertib pingat yang tepat tidak penting di sini, kita menggunakan gabungan. Kita boleh menyelesaikan masalah ini menggunakan formula gabungan standard:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Bilangan cara 3 pemenang pingat tanpa kedudukan boleh dipilih daripada kumpulan 8 pelari diberikan oleh:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Contoh-Contoh Mengira Pilihatur

1. Seorang penerbit berita televisyen perlu memilih 3 daripada 5 penceramah jemputan yang tersedia untuk program analisis yang akan datang. Giliran penceramah berucap adalah sangat penting. Berapakah bilangan cara berbeza yang boleh digunakan oleh penerbit untuk menyusun pembentangan tersebut? Disebabkan tertib susunan adalah penting dan pengulangan tidak dibenarkan (seorang tetamu tidak boleh muncul dua kali dalam barisan yang sama), kita menggunakan formula untuk pilihatur:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Ini menunjukkan bahawa penerbit mempunyai 60 cara unik untuk menyusun penceramah jemputan tersebut.

2. Seorang pengkritik restoran terkemuka telah menyenaraikan pendek 10 premis sushi yang hebat di bandar untuk menentukan 3 restoran sushi terbaik. Premis-premis tersebut mesti dibentangkan dalam susunan tertentu untuk mencerminkan kedudukan akhir mereka, dan tiada restoran boleh muncul dalam kedudukan tersebut lebih daripada sekali. Disebabkan tertib susunan adalah sangat penting dan tiada pengulangan, kita memenuhi syarat teras untuk pilihatur. Kita menggunakan formula nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Apabila kita menyatakan bahawa "tertib susunan adalah penting" dalam pilihatur, ia tidak bermakna tertib tersebut mestilah dalam bentuk kedudukan berangka seperti pertama, kedua, atau ketiga. Tertib juga boleh ditakrifkan oleh peranan atau lokasi yang khusus dan berbeza di mana elemen-elemen kita ditugaskan.

Sebagai contoh, bayangkan pengurus sebuah syarikat pembaikan rumah. Beliau mempunyai empat arahan kerja khusus untuk diselesaikan hari ini: mengecat pejabat agensi visa, gudang kilang, kedai pakaian, dan sebuah bilik di rumah persendirian. Syarikat tersebut mempunyai enam orang tukang cat dalam kakitangannya. Setiap tukang cat hanya boleh dihantar ke 1 premis sehari, bermakna dua orang tukang cat secara automatik akan mendapat cuti hari ini.

Empat lokasi kerja yang unik (agensi visa, gudang, kedai, dan rumah persendirian) berfungsi sebagai persamaan bagi kedudukan 1, 2, 3, dan 4.

Pengurus menilai pilihan beliau:

• 6 tukang cat yang tersedia boleh ditugaskan ke pejabat agensi visa,
• 5 tukang cat yang berbaki untuk ditugaskan ke gudang kilang,
• 4 tukang cat yang berbaki untuk dihantar ke kedai pakaian,
• 3 tukang cat yang berbaki boleh ditugaskan ke rumah persendirian.

Secara intuitif, kita boleh mengira jumlah keseluruhan pilihan tugasan sebagai 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Disebabkan lokasi khusus bagi setiap tukang cat yang ditugaskan adalah sangat penting (tertib susunan adalah penting), dan tiada tukang cat boleh bekerja di lebih daripada satu lokasi dalam satu hari (tiada pengulangan), kita boleh menggunakan formula pilihatur kita dengan sempurna:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Akhirnya, terdapat tepat 360 cara berbeza untuk pengurus pembaikan rumah mengagihkan arahan kerja hari itu dalam kalangan tukang cat yang tersedia di bawah syarat-syarat yang diberikan.