Kalkylator för standardavvikelse

Vår kalkylator för standardavvikelse är ett kraftfullt och användarvänligt verktyg utformat för att beräkna standardavvikelsen för alla typer av datamängder. Utöver att beräkna standardavvikelse genererar den omedelbart viktiga statistiska insikter, inklusive medelvärde, varians och en detaljerad frekvenstabell. Dessutom beräknar detta verktyg konfidensintervallet för din datamängd över olika konfidensgrader.

För att komma igång anger du helt enkelt dina datapunkter separerade med kommatecken. Välj sedan om dina siffror representerar en hel population eller ett stickprov, och klicka på "Beräkna" för att se dina omfattande resultat.

Standardavvikelsen

Standardavvikelse är ett grundläggande statistiskt mått som indikerar graden av spridning, eller variabilitet, inom en given datamängd. Den representerar det genomsnittliga avståndet för dina datapunkter från datamängdens medelvärde. En lägre standardavvikelse innebär att datapunkterna samlas nära medelvärdet, medan en högre standardavvikelse indikerar att datan är brett utspridd. Rent matematiskt är standardavvikelsen kvadratroten ur variansen – ett annat viktigt mått på dataspridning.

Hur du beräknar standardavvikelsen beror helt på din datamängd. Om din data inkluderar varje enskild medlem i den grupp du studerar, ska du beräkna populationens standardavvikelse. Om din data däremot bara är en delmängd av en större grupp, ska du beräkna stickprovets standardavvikelse.

Populationens standardavvikelse

Du bör beräkna populationens standardavvikelse när din datamängd inkluderar varje möjlig observation inom den grupp du är intresserad av. Inom statistik betecknas populationens standardavvikelse med symbolen σ.

σ (uttalas "sigma") är en gemen grekisk bokstav. Formeln för populationens standardavvikelse är följande:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Där:

• Σ är den grekiska versala bokstaven Sigma, som betecknar summering inom matematiken;
• xᵢ representerar varje enskild datapunkt (observation) i datamängden, från det första värdet till det N:te (sista) värdet;
• μ representerar populationens medelvärde;
• N är den totala populationsstorleken.

Exempel på beräkning av en populations standardavvikelse

Följande exempel visar hur man beräknar standardavvikelsen för populationsdata.

Investerare betraktar ofta aktier som riskfyllda tillgångar på grund av deras höga prisvolatilitet jämfört med andra tillgångsslag. Antag att en investeringsansvarig vill analysera volatiliteten för specifika aktier under den föregående månaden. Han bestämmer sig för att inte rekommendera någon aktie till sina kunder om dess standardavvikelse är större än eller lika med dess medelvärde, och klassificerar därmed sådana tillgångar som "för riskfyllda."

Nedan visas alla dagliga stängningskurser (i USD) för en viss aktie under den föregående månaden. Låt oss beräkna standardavvikelsen för att avgöra om förvaltaren kommer att betrakta denna aktie som för riskfylld:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

Eftersom förvaltaren endast är intresserad av aktiekurserna från den föregående månaden, och vi har alla registrerade priser för den specifika tidsramen, arbetar vi med hela populationen. Därför kommer vi att använda formeln för populationens standardavvikelse.

För att ta fram standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet (μ). Kom ihåg att medelvärdet fås genom att dividera den totala summan av alla tal med det totala antalet tal.

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

Därefter subtraherar du medelvärdet från varje enskild datapunkt och kvadrerar skillnaden. Addera alla dessa kvadrerade skillnader och dividera resultatet med det totala antalet. Detta resultat är variansen (σ²).

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

Avslutningsvis drar du kvadratroten ur variansen för att fastställa populationens standardavvikelse.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

Som du kan se är standardavvikelsen för denna akties kurser för den föregående månaden (0.21) mindre än medelvärdet (1.097). Därför kommer förvaltaren inte att betrakta denna aktie som "för riskfylld."

Stickprovets standardavvikelse

Du bör beräkna stickprovets standardavvikelse när din datamängd endast är ett stickprov (en mindre delmängd) draget ur en större population av intresse. Stickprovets standardavvikelse betecknas med bokstaven s och beräknas med följande formel:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Där:

• Σ betecknar summering;
• xᵢ representerar varje enskild datapunkt;
• x̄ representerar stickprovets medelvärde;
• n är stickprovets storlek.

Låt oss illustrera hur man beräknar stickprovets standardavvikelse med en variation av det föregående exemplet. Antag att investeringsförvaltaren vill analysera samma aktie, men den här gången har han inte tillgång till stängningskurserna för varje enskild handelsdag under förra månaden. Istället har han bara stängningskurserna för ett slumpmässigt urval av 5 dagar. Han kommer att behöva uppskatta aktiens standardavvikelse med hjälp av denna begränsade stickprovsdata.

Låt oss anta att de 5 registrerade stängningskurserna är:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

Även om förvaltarens slutgiltiga intresse ligger i hela den föregående månaden, har han bara ett urval på 5 dagar. Eftersom vi har att göra med ett stickprov istället för en hel population, måste vi beräkna standardavvikelsen med formeln för stickprovets standardavvikelse.

Först, beräkna stickprovets medelvärde (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

Därefter, beräkna stickprovets varians (s²).

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

Avslutningsvis drar du kvadratroten ur variansen för att få fram stickprovets standardavvikelse.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

Felmarginal

Ett av de mest värdefulla användningsområdena för standardavvikelse är att beräkna ett "acceptabelt" värdeintervall, vilket spelar en avgörande roll inom prediktiv analys och industriell statistisk kvalitetssäkring. Om den underliggande datan följer en normalfördelning, kallas detta intervall för konfidensintervall (beskrivs mer i detalj i nästa avsnitt). Dessa intervall beräknas vid olika konfidensgrader, vilka vanligtvis uttrycks i procent.

Felmarginalen är en nyckelkomponent i konfidensintervallet som dikterar dess totala bredd. I grund och botten fastställer felmarginalen de maximala och minimala acceptabla värdena för det mätvärde du analyserar.

Felmarginalen beräknas med denna formel:

$$Felmarginal\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Vi tillämpar denna formel när populationens standardavvikelse (σ) är känd, förutsatt att stickprovsstorleken är tillräckligt stor (vanligtvis n > 30).

När populationens standardavvikelse är okänd och stickprovet är litet (vanligtvis n ≤ 30), använder vi istället följande formel:

$$Felmarginal\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

I detta scenario ersätter vi populationens standardavvikelse (σ) med stickprovets standardavvikelse (s).

Komponenterna $z_{\alpha/2}$ och $t_{n-1, \alpha/2}$ kallas för kritiska värden. De bestäms med hjälp av z-statistik respektive t-statistik och fungerar som konstanter kopplade till din valda konfidensgrad.

De vanligaste konfidensgraderna som används i statistisk analys är 90 %, 95 % och 99 %. Deras motsvarande kritiska värden för $z_{\alpha/2}$ är 1.645 (för 90 %), 1.96 (för 95 %) och 2.575 (för 99 %).

Komponenterna $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ och $\frac{s}{\sqrt n}$ representerar standardfelet.

• $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ används när vi känner till populationens standardavvikelse (σ) och har en stor stickprovsstorlek (vanligtvis n > 30).
• $\frac{s}{\sqrt n}$ används när vi inte känner till populationens standardavvikelse och arbetar med en liten stickprovsstorlek (vanligtvis n ≤ 30). Eftersom σ är okänd måste vi förlita oss på standardavvikelsen från vårt tillgängliga stickprov (s).

Konfidensintervallet

Som nämnts ovan är konfidensintervallet ett statistiskt värdeintervall inom vilket en given populationsparameter förväntas hamna, baserat på en specifik konfidensgrad.

Till exempel kan en statistiker uppge att medellängden för 13-åriga flickor faller mellan 59 och 66 tum vid en 90-procentig konfidensgrad. Detta innebär att om vi skulle ta flera slumpmässiga stickprov av 13-åriga flickor, skulle deras medellängd hamna mellan dessa två gränser i ungefär 90 % av fallen.

När populationens standardavvikelse är känd beräknas konfidensintervallet med följande formel:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ är stickprovets medelvärde,
• $z_{\alpha/2}$ är det kritiska värdet,
• σ är populationens standardavvikelse,
• n är antalet observationer.

Om vi inte känner till populationens standardavvikelse (σ) och måste använda stickprovets standardavvikelse (s) i stället, använder vi denna alternativa formel:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ är stickprovets medelvärde,
• $t_{n-1,\alpha/2}$ är det kritiska värdet,
• s är stickprovets standardavvikelse,
• n är antalet observationer.

Som förklarats i föregående avsnitt representerar uttrycken $z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ och $t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$ felmarginalerna.

Exempel på beräkning av konfidensintervall

Antag att vi vet att de dagliga aktiekurser vi analyserar följer en normalfördelning. Vi har följande stickprov på 10 aktiekurser till vårt förfogande:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

Vi vill beräkna intervallet inom vilket den sanna genomsnittliga aktiekursen kommer att fluktuera, med en konfidensgrad på 95 %.

Eftersom detta är ett litet stickprov och populationens standardavvikelse är okänd, kommer vi att använda stickprovets standardavvikelse och den motsvarande t-statistiska formeln:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ är stickprovets medelvärde: 1.10
• $t_{n-1,\alpha/2}$ är det kritiska värdet: $t_{9, 0.025}$ = 2.26 (kritiska värden för en given stickprovsstorlek och konfidensgrad hittas vanligtvis i en standard t-tabell eller z-tabell)
• s är stickprovets standardavvikelse: 0.23
• n är antalet observationer: 10
• $\frac{s}{\sqrt n}$ är standardfelet: $\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07$

Nu sätter vi in dessa siffror i vår formel för konfidensintervall:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Genom att beräkna den nedre och övre gränsen får vi:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

Detta resultat innebär att vi med 95 % säkerhet kan konstatera att det sanna genomsnittliga aktiepriset för denna aktie ligger inom konfidensintervallet (0.94, 1.26).