Standaarddeviatie Calculator

Met onze gebruiksvriendelijke standaardafwijking calculator berekent u eenvoudig de standaardafwijking van een reeks getallen. Daarnaast geeft deze tool direct inzicht in aanvullende statistische gegevens, zoals het gemiddelde en de variantie. Ook berekent de calculator het betrouwbaarheidsinterval van uw dataset voor verschillende betrouwbaarheidsniveaus en genereert hij een overzichtelijke frequentieverdelingstabel.

Het gebruik is simpel: voer uw getallenreeks in (gescheiden door komma's), geef aan of de ingevoerde getallen een populatie of een steekproef vertegenwoordigen en klik op "Berekenen".

De Standaardafwijking

De standaardafwijking (ook wel standaarddeviatie genoemd) is een statistische maatstaf die de mate van spreiding of variabiliteit binnen een dataset weergeeft. Het toont de gemiddelde afstand van de individuele datapunten ten opzichte van het gemiddelde van de dataset. Hoe kleiner de standaardafwijking, hoe dichter de waarden bij het gemiddelde liggen. Omgekeerd geldt: hoe groter de standaardafwijking, hoe verder de datapunten van het gemiddelde verspreid zijn. Wiskundig gezien is de standaardafwijking de vierkantswortel van een andere spreidingsmaat, namelijk de variantie.

Bij het berekenen van de standaardafwijking maken we onderscheid tussen twee soorten datasets. Als de dataset alle mogelijke datapunten van uw onderzoeksobject bevat (de volledige populatie), spreken we van de populatiestandaardafwijking. Betreft de dataset echter slechts een deel van de populatie, dan spreken we van de steekproefstandaardafwijking.

De Populatiestandaardafwijking

We berekenen de populatiestandaardafwijking wanneer de dataset de volledige populatie bevat. Dit betekent dat alle relevante waarnemingen in de berekening zijn meegenomen. De populatiestandaardafwijking wordt aangeduid met σ (de kleine Griekse letter sigma).

De populatiestandaardafwijking wordt berekend met de volgende formule:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Waarbij:

• Σ de Griekse hoofdletter Sigma is, die in de wiskunde wordt gebruikt om een sommatie (optelling) aan te duiden;
• xᵢ staat voor elk individueel datapunt (elke waarneming), vanaf het eerste tot het N-de (laatste) datapunt;
• μ het populatiegemiddelde vertegenwoordigt;
• n de populatiegrootte is.

Voorbeeld van het berekenen van de populatiestandaardafwijking

Het volgende voorbeeld illustreert hoe u de standaardafwijking van populatiegegevens berekent.

Beleggers beschouwen aandelen vaak als een relatief risicovolle beleggingscategorie vanwege de hoge volatiliteit ten opzichte van andere activa. Een investeringsmanager wil de volatiliteit van een bepaald aandeel in de afgelopen maand analyseren. Hij hanteert de regel dat hij aandelen waarvan de standaardafwijking groter is dan of gelijk is aan het gemiddelde, niet aanbeveelt, omdat hij deze als "te riskant" beschouwt.

Hieronder staan alle dagelijkse slotkoersen (in USD) van dit aandeel in de afgelopen maand. Bereken de standaardafwijking en bepaal of de manager het aandeel als "te riskant" zal beoordelen:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Omdat de manager specifiek geïnteresseerd is in de aandelenkoersen van de afgelopen maand, en de bovenstaande lijst alle koersen van die maand bevat, hebben we hier te maken met de volledige populatie. Daarom gebruiken we de formule voor de populatiestandaardafwijking.

Om de standaardafwijking te vinden, berekent u eerst het gemiddelde. Onthoud dat het gemiddelde μ wordt verkregen door de som van alle getallen te delen door het totale aantal getallen.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Vervolgens trekt u het gemiddelde af van elk getal en kwadrateert u dit verschil. Tel al deze kwadraten bij elkaar op en deel de som door het totale aantal. Het resultaat hiervan wordt de variantie σ² genoemd.

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Neem ten slotte de vierkantswortel uit de variantie om de uiteindelijke standaardafwijking te bepalen.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Zoals u ziet, is de standaardafwijking van dit aandeel voor de afgelopen maand aanzienlijk kleiner dan het gemiddelde. De manager zal dit aandeel dus niet als "te riskant" bestempelen.

De Steekproefstandaardafwijking

De steekproefstandaardafwijking wordt toegepast wanneer de geanalyseerde dataset een steekproef is van de totale populatie. Het gaat hierbij om een kleinere groep waarnemingen die representatief is voor het geheel. Deze vorm van standaardafwijking wordt aangeduid met de letter s en berekent u met de volgende formule:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Waarbij:

• Σ staat voor sommatie;
• xᵢ elk individueel datapunt vertegenwoordigt;
• x̄ het steekproefgemiddelde is;
• n de steekproefgrootte aangeeft.

We illustreren de berekening van een steekproefstandaardafwijking met hetzelfde aandelenvoorbeeld. Stel dat de investeringsmanager nu geen toegang heeft tot de slotkoersen van álle handelsdagen van de afgelopen maand. In plaats daarvan beschikt hij over de slotkoersen van 5 willekeurige dagen. Hij zal de volatiliteit (standaardafwijking) van de aandelenkoersen dus moeten schatten op basis van deze beschikbare steekproef.

Dit zijn de verzamelde slotkoersen voor deze 5 dagen:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Hoewel de manager de volatiliteit over de hele maand wil weten, beschikt hij slechts over een kleine subset (een steekproef) van 5 dagen. In dit geval gebruiken we daarom de formule voor de steekproefstandaardafwijking.

Bereken allereerst het steekproefgemiddelde.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Bereken vervolgens de variantie s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Neem ten slotte de vierkantswortel uit de variantie om de steekproefstandaardafwijking te krijgen.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Foutmarge

Een belangrijke statistische toepassing van de standaardafwijking is het bepalen van de "acceptabele" marge van waarden. Dit speelt een grote rol bij voorspellende analyses en statistische kwaliteitscontrole in de industrie. Wanneer we ervan uitgaan dat de onderliggende data een normale verdeling volgt, vormt deze reeks het betrouwbaarheidsinterval (zie het volgende hoofdstuk). Deze intervallen worden berekend voor verschillende betrouwbaarheidsniveaus.

De foutmarge bepaalt de spreidingsbreedte van het betrouwbaarheidsinterval. Met andere woorden: de foutmarge geeft de maximale afwijking (zowel naar boven als naar onderen) aan die we accepteren voor de gemeten parameter.

De foutmarge wordt berekend met de volgende formule:

$$Foutmarge = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

We gebruiken deze formule wanneer de populatiestandaardafwijking (σ) bekend is en de steekproef tegelijkertijd groot genoeg is (doorgaans n > 30).

Als de populatiestandaardafwijking onbekend is en de steekproef klein is (doorgaans n ≤ 30), gebruiken we een alternatieve formule:

$$Foutmarge = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

In deze tweede formule maken we gebruik van de steekproefstandaardafwijking s, omdat de werkelijke populatiestandaardafwijking σ ontbreekt.

De waarden \$z_{\alpha/2}\$ en \$t_{n-1, \alpha/2}\$ worden de kritieke waarden genoemd en worden bepaald aan de hand van respectievelijk de z-verdeling en t-verdeling. Het zijn wiskundige constanten die gekoppeld zijn aan specifieke betrouwbaarheidsniveaus.

In de statistiek zijn de meest gangbare betrouwbaarheidsniveaus 90%, 95% en 99%. De bijbehorende \$z_{\alpha/2}\$-waarden zijn 1,645 (voor 90%), 1,96 (voor 95%) en 2,575 (voor 99%).

De breuken \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ en \$\frac{s}{\sqrt n}\$ noemen we de standaardfout.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ wordt gebruikt wanneer de populatiestandaardafwijking σ bekend is en we werken met een grote steekproef (meestal n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ wordt gebruikt wanneer de populatiestandaardafwijking onbekend is en we een kleine steekproef hebben (meestal n ≤ 30). Omdat de populatiestandaardafwijking σ onbekend is, vervangen we deze in de formule door de berekende steekproefstandaardafwijking s.

Het Betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder toegelicht, is het betrouwbaarheidsinterval een reeks waarden waarbinnen het verwachte populatiegemiddelde hoogstwaarschijnlijk zal vallen, gegeven een bepaald betrouwbaarheidsniveau.

We kunnen bijvoorbeeld met 90% zekerheid stellen dat de gemiddelde lengte van een groep 13-jarige meisjes tussen de 59 inch en 66 inch ligt. Dit betekent dat als we herhaaldelijk willekeurige groepen 13-jarige meisjes zouden meten, het gevonden gemiddelde in 90% van de gevallen binnen dit interval valt.

Het betrouwbaarheidsinterval berekent u met de volgende formule:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ is het steekproefgemiddelde,
• \$z_{\alpha/2}\$ is de kritieke waarde,
• σ is de populatiestandaardafwijking,
• n is het aantal waarnemingen.

We gebruiken een andere formule wanneer de populatiestandaardafwijking σ niet bekend is en we daarom de steekproefstandaardafwijking s moeten gebruiken:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ is het steekproefgemiddelde,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ is de kritieke waarde,
• s is de steekproefstandaardafwijking,
• n is het aantal waarnemingen.

Zoals uitgelegd in het vorige hoofdstuk, vormen de delen \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ en \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ van de formule de foutmarge.

Voorbeeld van de berekening van het betrouwbaarheidsinterval

Stel dat we weten dat de bestudeerde dagelijkse aandelenkoersen normaal verdeeld zijn. We hebben de volgende steekproef van koersen verzameld:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

We willen berekenen binnen welke marges de gemiddelde aandelenkoers met 95% zekerheid zal fluctueren.

Omdat dit een kleine steekproef betreft en de populatiestandaardafwijking onbekend is, berekenen we het betrouwbaarheidsinterval op basis van de steekproefstandaardafwijking en de bijbehorende formule:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ is het steekproefgemiddelde: 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ is de kritieke waarde. Voor deze opgave is dit \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (de kritieke waarde voor een specifieke steekproefgrootte en betrouwbaarheidsniveau leest u doorgaans af in een t-tabel)
• s is de steekproefstandaardafwijking: 0,23
• n is het aantal waarnemingen: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ is de standaardfout: \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Als we deze getallen invullen in de formule:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

krijgen we:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Dit betekent dat we met 95% zekerheid kunnen stellen dat de gemiddelde aandelenprijs binnen het betrouwbaarheidsinterval (0,94, 1,26) ligt.